数理统计-概率与概率分布.ppt

第三章 概率与概率分布,要点,概率基础知识 几种常见的理论分布 统计数的分布,事件,在自然界中,有许多现象是可以预言在一定条件下是否出现. 例如 水在标准大气压条件下,温度加热到100时肯定沸腾-必然事件(记为U) 又如 必然事件的反面,种子的发芽率不可能超过100%-不可能事件(记为V) 再如 小麦播种后可能发芽也可能不发芽,这种在确定条件下可能出现也可不出现的现象-随机事件,简称事件,概率基础知识,频率和概率,事件A在n次重复试验中发生了m次,则 事件A发生的频率为W(A)=m/n 事件A发生的概率为P (A),例 某批玉米种子的发芽试验结果,0W(A) 1 0 P(A) 1,概率的计算,事件的相互联系(韦恩图),独立事件 事件A的发生与事件B的发生毫无联系,反之亦然,则称事件A和时间B互为独立事件. 完全事件系 A1+A2+An=U A1、A2、An两两互斥,概率的计算法则,加法定理 互斥事件的和事件等于事件A和B的概率之和 P(A+B)=P(A)+P(B) A、B为对立事件,概率之和为1 P(A)+P(B)=1 P(B)=P( )=1-P(A) 完全事件系的和事件的概率为1 P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An)=1,例 调查某玉米田,一惠株占67.2%,双惠株占30.7%空惠占2.1%,试计算一惠株和双惠株的概率。,乘法定理 如果事件A和事件B为独立事件,则事件A与事件B同时发生的概率即它们的积事件等于事件A和事件B各自概率的乘积 P(AB)= P(A)P(B) 如果A1、A2、An彼此独立 P(A1A2An)= P(A1) P(A2) P(An) 对于混合事件 P(A+B)=P(A)+P(B)- P(A)P(B),例 播种玉米时,每穴播种两粒种子,已知玉米种子的发芽率为90%，试求每穴两粒种子均发芽的概率和一粒种子发芽的概率。,计算条件概率,概率分布 离散随机变量,随机变量:是一次试验的结果的数值性描述 离散随机变量: 指有限个数值或一系列无穷个数值的随机变量,例,值 概率 0 1/4 = 0.25 1 2/4 = 0.50 2 1/4 = 0.25,事件: 抛2个硬币. 数是正面的个数,离散概率分布,列出所有可能的 Xi, f (Xi) Xi = 随机变量的值 (结果) P(Xi) = 取这个值的概率 相互排斥 (没有重叠) 穷举性 (没有漏下) 0 f (Xi) 1 S f (Xi) = 1,离散随机变量的度量,数学期望（Expected Value） 或平均值度量随机变量的中心位置 E (x ) = = xp (x ) 方差（Variance） 随机变量的取值离均值的变异程度 Var(x ) = 2 = (x - )2p(x ) 标准差 = (x - )2p(x ),现有甲、乙两种股票，在未来不同经济状况下的可能报酬率和相应的概率如下：,试计算两种股票的预期报酬率和标准差。并比较风险的大小。,即乙股票的报酬率高，风险也高。,重要的离散概率分布,Binomial Probability Distributions 二项分布,二项试验的性质 试验由一个包括 n 次相同的试验的序列组成 每次试验只有两个结果, 构成对立事件 成功的概率为 p, 每次试验都相同 试验都是独立的,Binomial Probability Distributions 二项分布,二项分布函数 其中 f (x ) = n 次试验中成功 x 次的概率 n = 试验次数 p = 每次试验中成功的概率,例：某车间里共有9台车床，每台车床使用电力是间歇的，平均每小时约有12分钟使用电力。假定车工们使用电力与否是相互独立的，试问在同一时刻有7台或7台以上的车床使用电力的概率为多少？ 最多有一台使用电力的概率为多少？,解：设同一时刻使用电力的车床数为X，则服从二项 分布。,例、滨海市保险公司发现索赔要求中有15%是因为被盗而提出的。现在知道1999年中，公司共收到20个索赔要求，试求其中包含7个或7个以上被盗索赔的概率。,Binomial Distribution Characteristics 二项分布的特征,n = 5 p = 0.1,n = 5 p = 0.5,数学期望（均值）,标准方差,m,s,E,X,np,np,p,=,=,=,-,(,),(,),1,0,.2,.4,.6,0,1,2,3,4,5,X,P(X),.2,.4,.6,0,1,2,3,4,5,X,P(X),e.g. m = 5 (0.1) = 0.5,e.g. s = 5(0.5)(1 - 0.5) = 1.118,0,Poisson Distribution 泊松分布,泊松试验的性质： 有很小的p值和很大的n值的二项分布 p0.1 and np5 实验独立.,Poisson Probability Distribution Function 泊松概率分布函数,泊松概率分布函数： 其中 f (x ) = 在一个区间发生 x 次的概率 = np=2 e = 2.71828,Poisson Distribution Characteristics 泊松分布的特征,Hypergeometric Probability Distribution 超几何分布,超几何试验的性质 试验由 n 次试验组成. 每次试验有两个结果, 成功和失败. 成功的概率为 p, 每次试验中是变化的. 试验不是独立的,Hypergeometric Probability Distribution 超几何概率分布,超几何概率分布函数 其中 f (x ) = n 次试验中成功 x 次的概率 n = 试验次数 N = 总体中元素个数 r = 总体中成功的元素个数,Hypergeometric Characteristics 超几何分布的特征,The Normal Distribution 正态分布,钟形 对称 均值,中位数，众数相等 随机变量无限取值,The Mathematical Model 数学模型,f(X) = 随机变量X的分布密度函数 p = 3.14159; e = 2.71828 s = 总体标准方差 X = 随机变量取值 (- X ) m = 总体均值,Many Normal Distributions 许多正态分布,变动参数 s 和 m, 我们得到许多不同的正态分布,标准正态分布：当正态分布 ， 时，则称 服从标准正态分布，分别 用 表示概率密度函数和分布函数，即 标准化：若 ，则可以将其标准化。即 服从标准正态分布。,例 服从标准正态分布，查标准正态分布表求概率。,The Standardized Normal Distribution 标准正态分布,标准正态分布表 m = 0 and s = 1,Standardizing Example 标准化例,Example:P(2.9 X 7.1) = .1664 举例计算 P(2.9 X 7.1),Finding Z Values for Known Probabilities 已知概率找Z值,Finding X Values for Known Probabilities 已知概率找X值,例 意趣玩具厂准备实行计件超产奖，为此需要对生产定额做出新规定。根据以往的记录，可知各个工人每月装配的产品数服从正态分布 。假定车间希望有10%的工人能拿到超产奖，试问工人每月需完成多少件产品才能或得奖金？ 解：设X为工人每月装配的产品数，设C是能拿到超产奖的工人完成定额。根据题意，有,能拿到超产奖的工人完成定额 4077件。,查表求解正态分布的概率: 用Excel计算正态分布的概率 插入/fx/统计函数/Normdist/按对话框的提示键入所需变量（Cumulation是逻辑值，true是要求计算累计概率，flase是要求计算概率密度值）。 用Excel计算已知累计概率相对应的x 插入/fx/统计/Norminv/按对话框的提示键入所需变量。,Exponential Distributions 指数分布,e = 2.71828,l = 到达的均值,X = 连续随机变量,The Uniform Probability Distribution 均匀分布,随机变量在一个区间内均匀分布，对应的概率与区间的长度成正比例,均匀分别密度函数 f (x) = 1/(b - a) for a x b = 0 elsewhere 数学期望 E(x) = (a + b)/2 方差 Var(x) = (b - a)2/12,大数定律大量随机变量的平均数具有统计稳定性的总称。 贝努里大数定律： 设 是 次重复独