高中数学第7章解析几何初步7.3.1圆的标准方程学案湘教版必修3.docx

73.1圆的标准方程学习目标1会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点2会根据已知条件求圆的标准方程3能准确判断点与圆的位置关系知识链接1平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆2确定一个圆的基本要素是圆心和半径3平面上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式|AB|预习导引1圆的定义圆是在平面上到一个固定点的距离等于一个固定长度的所有的点组成的集合，这个固定的点就是圆心这个固定的长度就是半径2定理4：圆心为点(a，b)、半径为r的圆的方程为(xa)2(yb)2r2，称之为圆的标准方程3圆心在原点(0，0)，半径为r的圆的方程为x2y2r24点与圆的位置关系设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置有如表所示的对应关系.位置关系点在圆外点在圆上点在圆内d与r的关系drdrdr要点一点与圆的位置关系例1已知点A(1，2)不在圆C：(xa)2(ya)22a2的内部，求实数a的取值范围解由题意，点A在圆C上或圆C的外部，(1a)2(2a)22a2，2a50，a，又a0，a的取值范围是(0，)规律方法判断点P(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系有几何法与代数法两种，对于几何法，主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小对于代数法，主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程，具体判断方法如下：当(x0a)2(y0b)2r2时，点在圆外跟踪演练1点P(m2，5)与圆x2y224的位置关系是()A在圆外 B在圆内C在圆上 D不确定答案A解析把点P(m2，5)代入圆的方程x2y224得m42524，故点P在圆外要点二求圆的标准方程例2求过点A(1，1)，B(1，1)且圆心在直线xy20上的圆的方程解法一设点C为圆心，点C在直线xy20上，可设点C的坐标为(a，2a)又该圆经过A，B两点，|CA|CB|.，解得a1.圆心坐标为C(1，1)，半径长r|CA|2.故所求圆的标准方程为(x1)2(y1)24.法二由已知可得线段AB的中点坐标为(0，0)，kAB1，所以弦AB的垂直平分线的斜率为k1，所以AB的垂直平分线的方程为y01(x0)，即yx.则圆心是直线yx与xy20的交点，由得即圆心为(1，1)，圆的半径为2，故所求圆的标准方程为(x1)2(y1)24.规律方法直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程跟踪演练2以两点A(3，1)和B(5，5)为直径端点的圆的方程是()A(x1)2(y2)210 B(x1)2(y2)2100C(x1)2(y2)25 D(x1)2(y2)225答案D解析线段AB的中点坐标为(1，2)，以AB为直径的圆的圆心坐标为(1，2)，半径r5.所求圆的方程为(x1)2(y2)225.要点三圆的方程的综合应用例3已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1，0)，B(5，0)，(1)求此圆的标准方程；(2)设P(x，y)为圆C上任意一点，求P(x，y)到直线xy10的距离的最大值和最小值解(1)由已知，得C(3，0)，r2，所求圆的方程为(x3)2y24.(2)圆心C到直线xy10的距离d2.P到直线的最大距离为22，最小距离为22.规律方法解答此类题目经常应用圆的性质，解题过程中用数形结合的思想能有效地找到解题的捷径，即过圆心作已知直线的垂线，便于求解此题跟踪演练3已知圆C：(x3)2(y4)21，点A(0，1)，B(0，1)，设P是圆C上的动点，令d|PA|2|PB|2，求d的最大值及最小值解设P(x，y)，则d|PA|2|PB|22(x2y2)2.|CO|2324225，|CO|5，(51)2x2y2(51)2，即16x2y236.d的最小值为216234，最大值为236274.1圆(x2)2(y3)22的圆心和半径分别是()A(2，3)，1 B(2，3)，3C(2，3)， D(2，3)，答案D解析由圆的标准方程可得圆心坐标为(2，3)，半径为.2以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是()Ax2y22 Bx2y24C(x2)2(y2)28 Dx2y2答案B解析以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x2y24.3已知两圆C1：(x5)2(y3)29和C2：(x2)2(y1)25，则两圆圆心间的距离为_答案5解析C1圆心为(5，3)，C2圆心为(2，1)，则d5.4圆的直径端点为A(2，0)，B(2，2)，则此圆的标准方程为_答案(x2)2(y1)21解析圆心C(2，1)，半径r1，圆的标准方程为(x2)2(y1)21.5点(1，1)在圆(x2)2y2m上，则圆的方程是_答案(x2)2y210解析因为点(1，1)在圆(x2)2y2m上，故(12)212m，m10，即圆的方程为(x2)2y210.1确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r.另依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率2讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、简捷.一、基础达标1圆心为(1，2)，半径为3的圆的方程是()A(x1)2(y2)29 B(x1)2(y2)23C(x1)2(y2)23 D(x1)2(y2)29答案D解析由题意可知，圆的方程为(x1)2(y2)29，故选D.2圆心为(0，4)，且过点(3，0)的圆的方程为()Ax2(y4)225 Bx2(y4)225C(x4)2y225 D(x4)2y225答案A解析由题意，圆的半径r5，则圆的方程为x2(y4)225.3与圆(x3)2(y2)24关于直线x1对称的圆的方程为()A(x5)2(y2)24B(x3)2(y2)24C(x5)2(y2)24D(x3)2y24答案A解析已知圆的圆心(3，2)关于直线x1的对称点为(5，2)，所求圆的方程为(x5)2(y2)24.4若点(4a1，3a2)不在圆(x1)2(y2)225的外部，则a的取值范围是()A|a| B|a|1C|a| D|a|1答案D解析由已知，得(4a)2(3a)225.a21，|a|1.5圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为_答案x2(y2)21解析设圆心(0，b)，则圆的方程为(x0)2(yb)21，把(1，2)代入得12(2b)21，b2.圆的方程为x2(y2)21.6已知点P(x，y)在圆x2y21上，则的最大值为_答案1解析的几何意义是圆上的点P(x，y)到点(1，1)的距离，因此其最大值为圆心(0，0)到点(1，1)的距离加半径，即为1.7已知直线l与圆C相交于点P(1，0)和点Q(0，1)(1)求圆心所在的直线方程；(2)若圆C的半径为1，求圆C的方程解(1)PQ的方程为xy10，PQ中点M，kPQ1，所以圆心所在直线过点M，且斜率为1，所以圆心所在的直线方程为yx.(2)由条件设圆的方程为：(xa)2(yb)21.由圆过P，Q点得：解得或所以圆C方程为：x2y21或(x1)2(y1)21.二、能力提升8已知一圆的圆心为点A(2，3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的方程是()A(x2)2(y3)213 B(x2)2(y3)213C(x2)2(y3)252 D(x2)2(y3)252答案B解析如图，结合圆的性质可知，圆的半径r.故所求圆的方程为(x2)2(y3)213.9若实数x，y满足(x5)2(y12)2142，则x2y2的最小值为()A2 B1 C. D.答案B解析由几何意义可知最小值为141.10已知实数x，y满足y，则t的取值范围是_答案解析y表示上半圆，t可以看作动点(x，y)与定点(1，3)连线的斜率如图：A(1，3)，B(3，0)，C(3，0)，则kAB，kAC，t或t.11求圆心在直线x2y30上，且过点A(2，3)，B(2，5)的圆的标准方程解法一设点C为圆心，点C在直线l：x2y30上，可设点C的坐标为(2a3，a)又该圆经过A，B两点，|CA|CB|.，解得a2.圆心坐标为C(1，2)，半径r.故所求圆的标准方程为(x1)2(y2)210.法二设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，由条件知解得故所求圆的标准方程为(x1)2(y2)210.三、探究与创新12平面直角坐标系中有A(0，1)，B(2，1)，C(3，4)，D(1，2)四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？解能设过A(0，1)，B(2，1)，C(3，4)的圆的方程为(xa)2(yb)2r2.将A，B，C三点的坐标分别代入得解得圆的方程为(x1)2(y3)25.将D(1，2)的坐标代入上式圆的方程左边，(11)2(23)2415，即D点坐标适合此圆的方程故A，B，C，D四点在同一圆上13(1)如果实数x，y满足(x2)2y23，求的最大值和最小值；(2)已知实数x，y满足方程x2(y1)2，求的取值范围解(1)法一如图，当过原点的直线l与圆(x2)2y23相切于上方时最大，过圆心A(2，0)作切线l的垂线交于B，在RtAB