《导数的基本概念》PPT课件.ppt

2019年6月9日星期日,1,第二章 导数与微分,微积分学的创始人:,德国数学家 Leibniz,微分学,导数,描述函数变化快慢,微分,描述函数变化程度,都是描述物质运动的工具,(从微观上研究函数),英国数学家 Newton,2019年6月9日星期日,2,一、问题的提出,六、小结与思考判断题,二、导数的定义,三、由定义求导数举例,四、导数的意义,五、可导与连续的关系,第二章,第一节 导数的基本概念,2019年6月9日星期日,3,一、问题的提出,1、直线运动的速度问题,如图,取极限得,瞬时速度,2019年6月9日星期日,4,2、切线问题,切线：割线的极限,播放,M,N,T,割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.,2019年6月9日星期日,5,2019年6月9日星期日,6,两个问题的共性:,瞬时速度,切线斜率,所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .,类似问题还有:,加速度,角速度,线密度,电流强度,是速度增量与时间增量之比的极限,是转角增量与时间增量之比的极限,是质量增量与长度增量之比的极限,是电量增量与时间增量之比的极限,变化率问题,2019年6月9日星期日,7,二、导数的定义,定义1 .设函数,在点,存在,并称此极限为,记作:,即,则称函数,若,的某邻域内有定义 ,2019年6月9日星期日,8,运动质点的位置函数,在 时刻的瞬时速度,曲线,在 M 点处的切线斜率,若上述极限不存在 ,在点 不可导.,若,也称,在,就说函数,的导数为无穷大 .,2019年6月9日星期日,9,右导数,3、单侧导数,左导数,判断函数在某一点可导的充分必要条件：,注意：,2019年6月9日星期日,10,例,解,2019年6月9日星期日,11,若函数在开区间 I 内每点都可导,记作:,注意:,就称函数在 I 内可导.,4、导函数,2019年6月9日星期日,12,三、 由定义求导数举例,步骤:,例1 .,解,2019年6月9日星期日,13,例2 .,解,更一般地,例如,2019年6月9日星期日,14,例3. 求函数,的导数.,解:,则,即,类似可证得,2019年6月9日星期日,15,例4 .,解,2019年6月9日星期日,16,例5 .,解,2019年6月9日星期日,17,四、 导数的意义,1、 几何意义,切线方程为,法线方程为,若,切线与 x 轴垂直 .,2019年6月9日星期日,18,2019年6月9日星期日,19,例6 .,解,由导数几何意义, 切线斜率为,切线方程：,法线方程：,2019年6月9日星期日,20,2、简单的物理意义,1）变速直线运动中路程对时间的导数为物体的瞬时速度.,2）交流电路中电量对时间的导数为电流强度.,3）非均匀物体中质量对长度(面积,体积)的导数为物体的线(面,体)密度.,2019年6月9日星期日,21,五、 可导与连续的关系,结论：可导的函数一定是连续的。,证,2019年6月9日星期日,22,解,注意: 反之不成立.即连续不一定可导。如,2019年6月9日星期日,23,内容小结,1. 导数的实质:,3. 导数的几何意义:,4. 可导必连续, 但连续不一定可导;,5. 已学求导公式 :,6. 判断可导性,不连续, 一定不可导.,直接用导数定义;,看左右导数是否存在且相等.,2.,增量比的极限;,切线的斜率;,2019年6月9日星期日,24,1、初等函数在其定义区间内必可导？,2、初等函数的导数仍是初等函数？,思考与练习,作业 P85 2 , 5 , 6, 9, 13, 14(2) , 16 , 18,2019年6月9日星期日,25,4. 设,存在 , 则,5. 已知,则,6. 若,时,恒有,问,是否在,可导?,解:,由题设,由夹逼准则,故,在,可导, 且,2019年6月9日星期日,26,7. 设, 问 a 取何值时,在,都存在,并求出,解:,故,时,此时,在,都存在,显然该函数在 x = 0 连续 .,2019年6月9日星期日,27,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,2019年6月9日星期日,28,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,2019年6月9日星期日,29,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,2019年6月9日星期日,30,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,2019年6月9日星期日,31,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,2019年6月9日星期日,32,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,2019年6月9日星期日,33,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,2019年6月9日星期日,34,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,2019年6月9日星期日,3