《机械设计优化方法》PPT课件.ppt

机械优化设计,太原科技大学 张学良,第三章 一维优化方法,3.1 进退法确定初始搜索区间,欲求一元函数f (x) 的极小点，首先必须确定极小点所在的区间，然后再不断缩小此区间，从而求得其极小点的数值近似解。所以，一维搜索包括两个内容：其一是确定包含有极小点的搜索区间，其二是缩短区间获得极小点。,一维搜索时，假设一元函数 f (x) 具有凸性（单谷性），即在所考虑区间具有唯一的极小点 x*。,进退法的基本思想：按照一定规则试算若干个点，比较其函数值的大小，直到找到按“大小大”变化的单谷区间为止。,x1,x2,h0,2h0,x3,1. 选择一个适当的初始步长 h=h0 。,从任意点 x1 出发，以 x1 和 x2 = x1 + h 为两个试算点，计算两点处的函数值。,f1 = f (x1 ) f2 = f (x2 ),3. 比较f1 和 f2 的大小,若 f1 f2 ， h 2h ，继续做前进计算 x3 = x2 + h = x2 + 2 h0 ，并计算f3 = f (x3 ),若 f1 f2 ，h -h ，则做后退计算。 x1与x2 进行置换: x1 x2 ， x2 x1 f1 f2 ， f2 f1 x3 = x2 + h,x1,x2,x2,x1,x3,-h0,h0,4. 比较f2 和 f3 的大小,若 f3 f2 ，则满足f1 f2 f3 ，对于前进计算，函数极小点必在区间x1 , x3内，令 a = x1 , b = x3，初始搜索区间a, b确定。,对于后退计算，函数极小点必在区间x3 , x1内，令 a = x3 , b = x1，初始搜索区间a, b确定。,若 f3 f2 ，对于前进计算，函数极小点还在 x3 右侧，放弃x1 , 作置换： x1 x2 ， x2 x3 ，f1 f2 ， f2 f3 h 2h，再取新点 x3 = x2 + h ，并求 f3 = f (x3 ) ，返回 4。,对于后退计算，函数极小点还在 x3 左侧，放弃x1 , 作置换： x1 x2 ， x2 x3 ，f1 f2 ， f2 f3 h 2h，再取新点 x3 = x2 + h ，并求 f3 = f (x3 ) ，返回 4。,3.2 黄金分割法,黄金分割法的基本原理,在目标函数的初始搜索区间a, b内任取两点x1 、 x2 ，且 x1 x2 ，计算 f1 = f (x1 ) ， f2 = f (x2 )。,比较f1 和 f2 的大小：,当 f1 f2 时， 去掉（ x2 ，b，保留a， x2 区间缩短为a， x2 。作置换 b x2 ，新区间形成。,在新区间 a, b内如此反复进行，直至区间足够短，就可以找到最优点。,当 f1 f2 时， 去掉a ， x1 )，保留x1 ，b 区间缩短为x1 ，b 。作置换 a x1 ，新区间形成。,该方法的缺陷是：每次需要计算两个新点。,要提高计算效率，就得减少每次计算的点数，因此只能每次增加一个计算点，这就要求新区间与原区间满足一定的比例关系，所选的两个计算点在区间 a, b 内的位置应是对称的。,设区间 a, b的长度为1，即单位长度区间，在其上初取两对称点 x1 、 x2 ，且满足 a x2 = X， a x1 = 1 - X,计算 f1 = f (x1 ) ， f2 = f (x2 )，并比较 f1 和 f2 的大小。,当 f1 f2 时， 去掉（ x2 ，b，保留a， x2 区间缩短为a， x2 。作置换 b x2 ，新区间a, b 形成，点 x1 留在新区间a, b 内。,那么 X 该取多大呢？,留在新区间a, b 内的点 x1 留应该相当于去掉的 x2 点在旧区间内的位置，因此应该满足如下关系：,ax2 / ab = a x1 / ax2,即 X / 1 = (1 X ) / X,解得 X = 0.618,若f1 f2 ，可以求得同样的值。,可见，新区间是原区间的0.618。所以称为0.618法或黄金分割法。,黄金分割法的计算步骤及算法框图 （略）,举例： 用黄金分割法求目标函数 f (x) = x2 - 5 x + 2 的最优解。,3.3 二次插值法（抛物线法）,基本思想：在目标函数极小点所在区间内，利用三个点的函数值构造一个二次插值多项式 (x) = ax2 + b x + c 是来近似表达原目标函数f (x)，并用 (x)的极小点x*近似代替f (x) 的最优点x* 。当这种近似代替不满足精度,要求时，按照一定规律缩短区间，并在新区间内重新构造三点二次插值多项式，再求其极小点。如此反复，直到满足精度要求为止。,在目标函数极小点所在区间内取三点 x1 =a， x2 =(a+b)/2， x3 = b ，计算相应的目标函数值f 1 、 f 2 、 f 3 ，则应有, (x1 ) = a x1 2 + b x1 + c = f 1 (x2 ) = a x2 2 + b x2 + c = f 2 (x3 ) = a x3 2 + b x3 + c = f 3,解该线性方程组，可以得到a 、b 、 c，并由此可以求得,x* = （ x1 + x3 - d1 / d2 ）/ 2 d1 = ( f3 f1 ) / ( x3 - x1 ） d2 = ( f2 f1 ) / ( x2 - x1 ）- d1 /(x2 x3 ) f = f (x* ),检验收敛准则 | x* - x2 | 1 ？ 若满足，以x*代替f (x) 的最优点x*，并输出x* = x* ， f * = f (x* )。,若不满足，缩短区间后重复上述迭代计算过程，直至满足要求为止。,缩短区间分两种情况，即,1) x* x2,2) x* x2,i ) f f 2 ; ii ) f f 2,i ) f f 2 ; ii ) f f 2,举例： 用二次插值法求目标函数 f (x) = x2 - 5 x + 2 的最优解。,二次插值法的计算步骤及算法框图 （略）,海赛矩阵,设目标函数f (X)在某点X（k）处存在连续的一阶、二阶偏导数：,则函数f (X)在X（k）点的n2个二阶偏导数所构成的 nn 阶方阵称为函数f (X)在X（k）点的海赛矩阵。,若函数f (X)的一阶偏导数在定义域内处处连续可微，则海赛矩阵为对称方阵。,目标函数的近似表达泰勒展开,一元函数f (x)的泰勒展开：,二元函数f (x1，x2)的泰勒展开：,n元函数f (X)的泰勒展开：,可计算函数与等值面 给定一组设计变量的值，就对应一个确定的目标函数值f(X)=C，具有这种性质的函数叫可计算函数。反之，给定目标函数f(X)的值C，即f(X)=C，那么将有无限多个设计点X使该式成立，这些设计点在n维设计空间中将组成一个点集，称之为等值曲面（三维空间）或等值超曲面（n3），通称等值面。在二维平面中为等值线。若给定一系列目标函数的值，将在设计空间得到一组等值面（线）族。,目标函数的等值线（面）,f(X)=ax12+2bx1x2+cx22 a0 c0 ac-b20,一、最速下降方向负梯度方向,2.2 最速下降方向和共轭方向,函数的方向导数,n元函数的方向导数:,与负梯度方向成锐角的方向为目标函数值的下降方向，成钝角的方向为目标函数值的增加方向。,目标函数的梯度方向是目标函数等值线（面）在同一点的法向矢量方向。,f(X(k),-f(X(k),X(k),t,所以，目标函数在某一点的最速下降方向为负梯度方向,两个向量的共轭 设两个非零向量S(0)、S(1)及对称正定矩阵H，若满足,二、共轭方向,则称S(0)、S(1)关于H共轭，或称S(0)与S(1)为共轭方向。 若H为单位阵，即H=I，则S(0)与S(1)正交。,一组向量的共轭 设有一组非零向量S(0)、S(1) S(n-1)及对称正定矩阵H，若满足,则称它们关于H共轭，或称它们为一组共轭方向。 若H为单位阵，则称它们相互正交。,凸集 一个点集（或区域），如果连接其中任意两点的线段都全部包含在该点集内，则称该点集为凸集。否则，称为非凸集。,2.3 凸集、凸函数与凸规划,凸函数 设函数f (X)定义域为凸集G，X(1)、X(2)为凸集G上的任意两点，若函数f (X)在线段X(1)X(2)上的函数值总小于或等于用f (X(1)及f (X(2)作线性内插所得的值，则称函数f (X)为凸集G上的凸函数，即满足,的函数f (X)为凸函数。若同时去掉式中的等号，则称函数f (X)为严格凸函数。,凸规划 对于约束优化问题,若函数f (X)、gj(X)均为凸函数，则称此约束优化问题为凸规划。,凸规划的性质 1）凸规划的可行域为凸集 2）凸规划的任何局部最优解就是全局最优解,2.4 优化问题的几何解释,2.5 优化方法的简单分类,按有无约束分类 无约束优化方法、约束优化方法 按目标函数的维数分类 一维优化方法、多维优化方法 按目标函数的数目分类 单目标优化方法、多目标优化方法 按求优途径的不同分类 直接法、解析法（间接法）、实验法、图解法,2.6 迭代方法及其收敛准则,无论是直接法还是解析法，求优的过程都是采用数值迭代法，且迭代公式的形式一致。,迭代方法,X (k+1)=X (k) + (k) S(k) (k =0 , 1 , 2 , ),两个特性,1）下降性: f (X (k+1) f (X (1) f (X (k) f (X (k+1) f (X *),确定步长 (k) 的方法,1）定步长法,取(k) = p (p为常数) ，检验下列不等式 f (X (k) + (k) S(k) ) f (X (k) ？,若成立，则继续下一步迭代计算；,否则，取(k) = p （0 1），再检验不 等式 f (X (k) + (k) S(k) ) f (X (k) ？ 直至满足为止。,2）最优步长法,用一维寻优方法确定(k)：,若成立，则继续下一步迭代计算；,否则，取(k) = p （0 1），再检验不 等式 f (X (k) + (k) S(k) ) f (X (k) ？ 直至满足为止。,搜索方向S(k) 的讨论,1）三种常用搜索方向,负梯度方向：S(k) = - f (X (k),共轭方向：将n维优化问题转化为每一个循环n次一维搜索，依次取n个相互共轭的方向为搜索方向。,随机搜索方向： S(k) 随机产生，只要求沿S(k) 方向所得X (k+1)点处函数值下降。,2）S(k) 与 - f (X (k)和 f (X (k+1)的关系,目标函数下降： f (X (k) + (k) S(k) ) f (X (k) 0,f (X (k) + (k) S(k) ) f (X (k) (k) T f (X (k) S(k),故 (k) T f (X (k) S(k) 0 T f (X (k) S(k) 0,用一维优化方法确定(k) 时，必须满足： f (X (k) + S(k) ) =0,所以 T f (X (k) + S(k) ) S(k) =0 即 T f (X (k+1) ) S(k) =0 第k次迭代的搜索方向S(k) 与目标函数在本次迭代所得点X (k+1)处的梯度方向 f (X (k+1) )正交。,X (k),X (k+1),S(k),- f (X (k+1) ),3）共轭搜索方向的一个重要性质,n维正定二次函数的n次收敛性,即 对于n维正定二次函数，若相继以一组相互共轭的向量S(0) 、 S(1) 、 S(n-1) 为搜索方向，则不论从任何初始点出发，经过n次一维搜索，就可以得到该正定二次函数的极小点。,收敛性与收敛准则,迭代算法应具有收敛性，即产生的极小点序列或者其中某一点就是极小点，或者序列有一个极限，它是目标函数的极小点。,点距准则： | X (k+1) X (k) |1 （ 1 0）,函数下降量准则： | f (X (k+1) ) f (X (k) ) |2 （ 2 0）,梯度准则： | f (X (k) |3 （ 3 0）,管支柱质量：,正常工作条件:,强度条件,稳定条件,边界条件,数学模型 用一组设计变量描述优化设计对象的设计内容,即描述优化意图(目标、指标)和有关限制条件的数学表达式，称为优化设计的数学模型。 数学模型的三要素 设计变量、约束条件、目标函数,1.2 优化设计的基本概念,设计变量,设计变量,设计常量,基本设计参数,优化问题的维数：设计变量的个数,一维优化问题，n维优化问题,设计变量向量：,或,连续设计变量、离散设计变量,设计空间 它是所有设计方案的集合。 2. 可行设计与不可行设计 有些设计方案有些是工程上所不能接受的。如果一个设计方案满足所有对它提出的要求，就称为可行设计，反之称为不可行设计。 约束条件 一个可行设计必须满足的设计限