《勾股定理复习课》PPT课件.ppt

一、重、难点 重点：勾股定理及其逆定理的应用。 难点：勾股定理及其逆定理的应用。,知识点一：勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2c2） 要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题,知识点二：勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2c2，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释：用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2a2+b2，则ABC是以C为直角的直角三角形（若c2a2+b2，则ABC是以C为钝角的钝角三角形；若c2a2+b2，则ABC为锐角三角形）。,知识点三：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 知识点四：互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。,第二部分 学习笔记,1.直角三角形的边、角之间分别存在什么关系？ 角与角之间的关系：在ABC中，C=90，有A+B=90； 边与边之间的关系：在ABC中，C=90，有,2.勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c，那么 即直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。 教材通过计算分别以直角三角形三边为边长的正方形的面积来探索勾股定理即.,3.如何判断一个三角形是直角三角形？ 如果A+B=90，那么ABC是直角三角形 如果 ，那么ABC是直角三角形,4.勾股数组：满足直角三角形三边的三个正整数，叫做勾股数。常见的勾股数组： 3，4，5； 6，8，10； 3k, 4k, 5k. 5, 12, 13; 10, 24, 26; 5k, 12k, 13k 7,24,25; 14,48,50; 7k, 24k, 25k. 8,15,17; 16,30,34; 8k, 15k, 17k 柏拉图： 毕达哥拉斯： 丟番图：,5.与勾股定理有关的几个常用的结论： （1）在RtABC中，A=30C=90，则a：b：c=1： ：2 （2）在RtABC中，A=B=45，则a：b：c=1：1： （3）直角三角形两直角边的乘积等于斜边与斜边上的高的积。设斜边上的高为h,则 （4）在蚂蚁怎样走最近中，如果长方体中长、宽、高分别为a,b,c,且abc，则自长方体外侧绕行对角的最短距离为,第三部分 经典例题精析,类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法 1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。 举一反三 【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。 总结升华：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为,【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。 【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。 总结升华： 【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ） A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40 【变式5】四边形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。,勾股定理的直接用法 1、在RtABC中，C=90 (1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a. 举一反三 【变式】:如图B=ACD=90, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?,类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在 中， ， AC=70 ，AB=30 . 求：BC的长.,举一反三【变式1】如图，已知： ， ， 于P. 求证： . 【变式2】已知：如图，B=D=90，A=60，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。,类型二：勾股定理的应用 2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且QPN30，点A处有一所中学，AP160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？,（一）用勾股定理求两点之间的距离问题 3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60方向走了 到达B点，然后再沿北偏西30方向走了500m到达目的地C点。 （1）求A、C两点之间的距离。 （2）确定目的地C在营地A的什么方向。,【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?,（二）用勾股定理求最短问题 4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线,举一反三 【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高为4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程 解：,举一反三 【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了_步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。,【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。 （1）直接写出单位正三角形的高与面积。 （2）图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多少？ （3）求出图中线段AC的长（可作辅助线）。,类型四：利用勾股定理作长为 的线段 5、作长为 、 、 的线段。 举一反三 【变式】在数轴上表示 的点。,类型五：逆命题与勾股定理逆定理 6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 1原命题：猫有四只脚 2原命题：对顶角相等（正确） 3原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等（正确） 4原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等（正确） 7、如果ABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ABC的形状。,举一反三【变式1】四边形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。,【变式2】已知:ABC的三边分别为m2n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且mn),判断ABC是否为直角三角形.,【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF= AB。 请问FE与DE是否垂直?请说明。,类型三：数学思想方法 （一）转化的思想方法 我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决 3、如图所示，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DEDF，若BE=12，CF=5求线段EF的长。,总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。 （二）方程的思想方法 4、如图所示，已知ABC中，C=90，A=60， ，求a、b、c的值。,总结升华：在直角三角形中，30的锐角的所对的直角边是 举一反三： 【变式】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。,用勾股定理解题应注意的几个问题 勾股定理是中学几何中一个很重要的定理，是继学习三角形三边关系之后用来描述特殊三角形三边关系的又一个重要的结论它揭示了直角三角形三边长的内在联系，反映了三边之间特殊的平方关系，它为我们利用代数方法来研究几何图形提供了新的途径和方法，因此应用十分广泛但在应用勾股定理时，经常会出现这样或那样的错误，那么怎样正确运用勾股定理呢？ 一、注意分清直角边和斜边 例1 在Rt中，a=8，b=10，求第三边长c 错解:由勾股定理，得 ， 所以第三边长为 ,二、注意定理的应用条件 例2 已知中，三边长a、b、c为整数，其中a=3，b=4，求第三边c的长 错解: 由勾股定理，得 ， ， ,三、注意定理和逆定理的区别 例3 判断下列三条线断能否构成直角三角形：a=3、b=4、c=5 错解: ，即 ，所以根据勾股定理可知，a、b、c能构成直角三角形,四、注意解题语言叙述 例4 已知三角形的三边长为5、12、13，试说明三角形是直角三角形 错解:因为直角边是5和12，斜边是13 ，所以，故三角形是直角三角形,五、注意分类讨论 例5 在Rt 中，已知两边长为3、4，求第三边的长 错解: 因为是直角三角形，的第三边长为,第四部分 中考题萃 一、填空题 1.（甘肃省白银市）已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为_ 2.（江西省）如图，已知点F的坐标为(3，0)，点A、B分别是某函数图象与x轴，y轴的交点，点P是此图像上的一动点，设点P的横坐标为x，PF的长为d，且d与x之间满足关系：d=5- x(0x5),则结论：AF=2； BF=5； OA=5； OB=3中，正确结论的序号是_ . 3.（永州）一棵树因雪灾于A处折断，测得树梢触地点B到树根C处的距离为4米，ABC约45，树干AC垂直于地面，那么此树在未折断之前的高度约为_米（答案可保留根号）,4.（湖州市）利用图（1）或图（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为_，该定理的结论其数学表达式是_ （4题）,5.（荆州市）如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5610(单位：)，在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13， 小孔到图中边AB距离为1，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为h，则h的最小值大约为_.（精确到个位，参考数据： ）,二、选择题 1.园丁住宅小区有一块草坪如图所示，已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且 ，这块草坪的面积是（ ） A24米 B36米 C48米 D72米,2.如图，分别以直角 的三边 为直径向外作半圆设直线AB左边阴影部分的面积为 ，右边阴影部分的面积和为 ，则（ ）,A,B,C,D无法确定,14、（1）已知直角三角形的两边长分别为3和4.求该三角形的周长； （2）ABC中，AD为高，AB=15,AC=13,AD=12.求ABC的面积,15已知，如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，如果AB=8cm，BC=10cm，求EC的长,16某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，ACB=90，AC=80米，BC=60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？,例2.四边形ABCD中DAB60，BDRt，BC1，CD2,求对角线AC的长。,例3.已知ABC中，ABAC，B2A 求证：AB2BC2ABBC,例4.如图已知ABC中，ADBC，ABCDACBD 求证：ABAC,11.已知RtABC中， M是BC的中点，E，F分别在AB，AC MEMF，求证：EF2BE2CF2,12.RtABC中，ABC90，C60，BC2，D是AC的中点，从D作DEAC与CB的延长线交于点E，以AB、BE为邻边作矩形ABEF，连结DF，则DF的长是。,三、解答题 一架长5米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底3米如果梯子的顶端沿墙下滑1米，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动1米吗？用所学知识，论证你的结论,10.假期中，小明和同学们到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图，他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走了3千米，再折向北走了6千米处往东一拐，仅走了1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？,11.P为正方形ABCD内一点，将ABP绕B顺时针旋转90到CBE的位置，若BPa. 求：以PE为边长的正方形的面积.,12.已知:如图13,ABC中,AB=10,BC=