2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程专题突破四圆锥曲线的定点、定值与最值问题学案.docx

专题突破四圆锥曲线的定点、定值与最值问题与圆锥曲线有关的定点、定值问题是高考考查的热点，难度较大，此类问题常常作为第19题或第20题的第二问，常以直线与圆锥曲线的位置关系为背景，以坐标运算为基础，一般是证明满足条件的直线过定点，目标代数式为定值，或计算面积、长度、数量积等的最大值、最小值求解此类问题的关键是引进变化的参数表示直线方程、数量积等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量一、定点问题例1已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是PBQ的角平分线，证明：直线l过定点(1)解如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，得|O1A|O1M|，当O1不在y轴上时，过O1作O1HMN交MN于H，则H是MN的中点，|O1M|，又|O1A|，化简得y28x(x0)又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标为(0,0)也满足方程y28x，动圆圆心的轨迹C的方程为y28x.(2)证明由题意，设直线l的方程为ykxb(k0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将ykxb代入y28x中，得k2x2(2bk8)xb20.其中32kb640.由根与系数的关系得，x1x2，x1x2，因为x轴是PBQ的角平分线，所以，即y1(x21)y2(x11)0，(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)0，2kx1x2(bk)(x1x2)2b0将，代入得2kb2(kb)(82bk)2k2b0，kb，此时0，直线l的方程为yk(x1)，即直线l过定点(1,0)点评求定点问题，需要注意两个方面：一是抓“特值”，涉及的定点多在两条坐标轴上，所以可以先从斜率不存在或斜率为0的特殊情况入手找出定点，为解题指明方向二是抓“参数之间的关系”，定点问题多是直线过定点，所以要抓住问题的核心，实质就是求解直线方程中参数之间的关系，所以要熟悉直线方程的特殊形式，若直线的方程为ykxb，则直线ykxb恒过点(0，b)，若直线方程为yk(xa)，则直线恒过点(a,0)跟踪训练1设椭圆E：1(ab0)的离心率为e，且过点.(1)求椭圆E的方程；(2)设椭圆E的左顶点是A，若直线l：xmyt0与椭圆E相交于不同的两点M，N(M，N与A均不重合)，若以MN为直径的圆过点A，试判定直线l是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标考点椭圆中的定值、定点问题题点椭圆中的定点问题解(1)由e2，可得a22b2，椭圆方程为1，代入点可得b22，a24，故椭圆E的方程为1.(2)由xmyt0得xmyt，把它代入E的方程得(m22)y22mtyt240，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y2，y1y2，x1x2m(y1y2)2t，x1x2(my1t)(my2t)m2y1y2tm(y1y2)t2.因为以MN为直径的圆过点A，所以AMAN，所以(x12，y1)(x22，y2)x1x22(x1x2)4y1y2240.因为M，N与A均不重合，所以t2，所以t，直线l的方程是xmy，直线l过定点T，由于点T在椭圆内部，故满足判别式大于0，所以直线l过定点T.二、定值问题例2已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，点(2，)在C上(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值考点题点(1)解由题意有，1，解得a28，b24.所以C的方程为1.(2)证明方法一设直线l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将ykxb代入1，得(2k21)x24kbx2b280.故xM，yMkxMb.于是直线OM的斜率kOM，即kOMk.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值方法二设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，则得0，kAB.又kOM，kABkOM.直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值点评(1)求定值问题的常用方法：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值(2)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思路是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关在这类问题中选择消元的方向是非常关键的跟踪训练2(2018江西南昌高二检测)已知点F为抛物线C：y24x的焦点，点D(1,2)为抛物线C上一点(1)直线l过点F交抛物线C于A，B两点，若|AB|5，求直线l的方程；(2)过点D作两条倾斜角互补的直线分别交抛物线C于异于点D的两点P，Q，试证明直线PQ的斜率为定值，并求出该定值考点抛物线中的定值、定点问题题点抛物线中的定值问题解(1)依题意，点F的坐标为(1,0)设直线l的方程为xmy1，联立方程消去x并整理得y24my40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24m，y1y24，故|AB|y1y2|4(m21)5，解得m，故直线l的方程为2xy20或2xy20.(2)方法一设直线DP的斜率为k(k0)，则直线DQ的斜率为k.令t，联立方程消去x并整理得y24ty8t40.设P(xP，yP)，因为点D的坐标为(1,2)，所以2yP8t4，故yP4t2.从而点P的坐标为(4t24t1,4t2)，用t替换点P坐标中的t可得点Q的坐标为(4t24t1，4t2)，所以直线PQ的斜率为1，即直线PQ的斜率为定值1.方法二设P(x3，y3)，Q(x4，y4)，因为P，Q在抛物线y24x上，所以所以yy4(x3x4)因为x3x4，所以kPQ.同理，kDP，kDQ.因为kDPkDQ，所以，所以y3y44，即直线PQ的斜率kPQ1(定值)三、最值、范围问题与圆锥曲线有关的最值与范围问题是高考考查的重点，多以直线和椭圆相交或直线和抛物线相切、相交为前提，考查弦长、面积或相关代数式的最值与范围问题，该问题综合性较强，具有一定的难度，其中最值与范围问题多与三角函数、平面几何等知识综合考查，形式多样例3设椭圆M：1(ab0)的离心率与双曲线x2y21的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.(1)求椭圆M的方程；(2)若直线yxm交椭圆M于A，B两点，P(1，)为椭圆M上一点，求PAB面积的最大值考点直线与椭圆的位置关系题点椭圆中的定点、定值、取值范围问题解(1)由题意可知，双曲线的离心率为，则椭圆的离心率e.由得a2，c，b，故椭圆M的方程为1.(2)联立方程消去y，得4x22mxm240，由8m216(m24)0，得2mn0)，椭圆C2：(0，且1)，则称椭圆C2是椭圆C1的倍相似椭圆已知C2是椭圆C的3倍相似椭圆，若椭圆C的任意一条切线l交椭圆C2于M，N两点，试求弦长|MN|的取值范围考点直线与椭圆的位置关系题点椭圆中的定点、定值、取值范围问题解(1)设椭圆C的方程为1(ab0)，直线AB的方程为1.F1(1,0)到直线AB的距离db，整理得a2b27(a1)2.又b2a21，解得a2，b，椭圆C的方程为1.(2)椭圆C的3倍相似椭圆C2的方程为1.若切线l垂直于x轴，则其方程为x2，易求得|MN|2；若切线l不垂直于x轴，可设其方程为ykxp，将ykxp代入椭圆C的方程，得(34k2)x28kpx4p2120，(8kp)24(34k2)(4p212)48(4k23p2)0，即p24k23.记M，N两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，将ykxp代入椭圆C2的方程，得(34k2)x28kpx4p2360，此时x1x2，x1x2，|x1x2|，|MN|42.34k23，11，即20)上的不同两点，满足0(O是原点)求证：(1)A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积均为定值；(2)直线AB过定点考点抛物线中的定值、定点问题题点抛物线中的定点问题证明由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)0，OAOB，x1x2y1y2，(y1y2)24p2x1x2.由得y1y24p2且x1x24p2，A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积均为定值(2)当直线AB垂直于x轴时，易知直线AB方程为x2p.当直线AB与x轴不垂直时，由(1)中，得(y1y2)(y1y2)2p(x1x2)，直线AB的方程为yy1(xx1)，yxy1x(x2p)故直线AB过定点(2p,0)4已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1和F2，离心率e，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为4.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设A，B是直线l：x2上的不同两点，若0，求|AB|的最小值考点直线与椭圆的位置关系题点椭圆中的定点、定值、取值范围问题解(1)由题意得解得椭圆的标准方程为1.(2)由(1)知，F1(，0)，F2(，0)，设直线l：x2上的不同两点A，B的坐标分别为A(2，y1)，B(2，y2)，则(3，y1)，(，y2)，由0得，y1y260，即y2，不妨设y10，则|AB|y1y2|y12.当且仅当y1，y2时取等号，|AB|的最小值为2.5.如图，椭圆E：1(ab0)经过点A(0，1)，且离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.考点直线与椭圆的位置关系题点椭圆中的定点、定值、取值范围问题(1)解由题设知，b1，结合a2b2c2，解得a.所以椭圆的方程为y21.(2)证明由题设知，直线PQ的方程为yk(x1)1(k2)，代入y21，得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0.由已知4k(k1)24(12k2)2k(k2)0，得k0且k2，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x20，则x1x2，x1x2.从而直线AP，AQ的斜率之和kAPkAQ2k(2k)2k(2k)2k(2k)2k2(k1)2.所以直线AP与AQ的斜率之和为定值2.6(2018全国)设抛物线C：y22x，点A(2,0)，B(2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：ABMABN.(1)解当l与x轴垂直时，l的方程为x2，可得点M的坐标为(2,2)或(2，2)所以直线BM的方程为yx1或yx1.即x2y20或x2y20.(2)证明当l与