电磁场与电磁波课后习题答案杨儒贵编着第二版第7章.doc

第七章 时变电磁场7-1 设真空中电荷量为q的点电荷以速度向正z方向匀速运动，在t = 0时刻经过坐标原点，计算任一点位移电流。（不考虑滞后效应）习题图7-1P(r,f,z)xzvtdz=vdtRro解 选取圆柱坐标系，由题意知点电荷在任意时刻的位置为，且产生的场强与角度无关，如习题图7-1所示。设为空间任一点，则点电荷在点产生的电场强度为，其中为点电荷到点的位置矢量，即。那么，由，得。7-2 已知真空平板电容器的极板面积为S，间距为d，当外加电压时，计算电容器中的位移电流，且证明它等于引线中的传导电流。解 在电容器中电场为，则，所以产生的位移电流为；已知真空平板电容器的电容为，所带电量为，则传导电流为；可见，位移电流与传导电流相等。7-3 已知正弦电磁场的频率为100GHz，试求铜及淡水中位移电流密度与传导电流密度之比。解 设电场随时间正弦变化，且，则位移电流，其振幅值为传导电流，振幅为，可见；在海水中，则； 在铜中，则。7-4 设真空中的磁感应强度为试求空间位移电流密度的瞬时值。解 由麦克斯韦方程知，而真空中传导电流，则位移电流为，求得7-5 试证真空中麦克斯韦方程对于下列变换具有不变性式中为真空中的光速。证明 由于真空中，那么，及应满足的麦克斯韦方程可简化为， 即 。将及代入该方程，即得，而式中。因此，上式可简化为即；同理可证，即麦克斯韦方程对该变换具有不变性。7-6 对于上题中的变换，试证总能量密度也具有不变性。证明 变换后的总能量密度为分别将变换后的及代入得，考虑到，代入上式，得7-7 用直接代入法证明式（7-5-3）是式（7-5-1）的解。证明 我们首先求出7-5-3式的一阶偏导数得，；然后再求得其二阶偏导得，式中，代表相应变量的一阶导数；、代表相应变量的二阶导数。显然，e1m1s1e2m2s2d1d2V习题图7-87-8 若平板电容器中填充两层媒质，第一层媒质厚度为d1，第二层媒质厚度为d2，极板面积为S，电容器的外加电压，试求两种媒质参数分别为下列两种情况时：； 。；。电容器中的电场强度，损耗功率及储能。解 设两种媒质中的电场强度分别为和，由于两种媒质均为非理想介质，则电容器中将有传导电流，且其在两媒质的分界面上应该连续，即，而，则有：即得，损耗功率为系统的储能为当时，则电容器中传导电流中断，媒质中存在位移电流，两媒质之间的分界面上逐渐积累表面电荷，最后导致媒质中的电场为零。此时，。损耗功率为零，系统能量仅储藏在媒质中，即。7-9 已知电磁波的合成电场的瞬时值为式中。试求合成磁场的瞬时值及复值。解 根据题意，电场分量E1的复值为。电场分量E2的瞬时值可写为对应的复值为那么，合成电场的复值为由，得求得对应的磁场分量的瞬时值分别为7-10 用直接代入法证明，式（7-10-2a）及式（7-10-2b）分别是式（7-10-1a）及式（7-10-1b）的解。证明 将7-10-2a式代入7-10-1a式的左边，由于其中的拉普拉斯算子是对场点r的运算，因此与源点无关，可将其放入积分号之内。考虑到，再令则的表达式可写为 式中其中令，则同理可得则利用公式，得综上所述，又知，最后求出那么，将上式代入，得 考虑到及函数的对称性，则上述积分式可表示为当时，则即得同法可证7-10-1b；故7-10-2式是7-10-1式的解。7-11 已知某真空区域中时变电磁场的时变磁场瞬时值为试求电场强度的复数形式、能量密度及能流密度矢量的平均值。解 由，可得其复值为因真空中传导电流为零，得即能量密度的平均值能流密度的平均值7-12 已知真空中正弦电场的复矢量为 试证电场强度E的等相面为平面； 试求磁感应强度B、平均储能密度w及复能流密度矢量Sc。解 令空间相位因子，即显然这是一个平面方程。因此，等相面为平面。由麦克斯韦方程，求得磁感应强度和磁场强度分别为 平均能量密度为复能流密度矢量为。7-13 若真空中正弦电磁场的电场复矢量为试求电场强度的瞬时值E(r,t)，磁感应强度的复矢量B(r)及复能流密度矢量Sc。解 由可知求得，则（rad/s）那么电场强度的瞬时值为同上题，由麦克斯韦方程，求得磁感应强度为复能流密度矢量为。7-14 已知真空中时变电磁场的电场强度在球坐标系中的瞬时值为式中，试求磁场强度的复数形式、储能密度及能流密度的平均值。解 由获知电场的复数形式为同理由，得 那么，储能密度及能流密度的平均值分别为7-15 若真空中两个时变电磁场的电场强度分别为试证总平均能流密度等于两个时变场的平均能流密度之和。证明 令合成电场强度和磁场强度分别为；根据给定的电场强度两个分量，由麦克斯韦方程，可以分别求得磁场强度的两个分量为；对应的瞬时值分别为；则总能流密度的瞬时值为式中的周期为；的周期为。而及也是周期函数，但是它们的周期为。因此，总能流密度的时间平均值为由此可见，第一项为第一个时变电磁场的能流密度的时间平均值，第二项为第二个时变电磁场的能流密度的时间平均值。但是式中第三项积分值为零，因为由于T12既是正弦函数的周期的整倍数，又是正弦函数的周期的整倍数，因此对于周期T12的平均值一定为零。积分演算的结果也会是零。这就证实7-16 已知及，试证此时复能量定理为 并解释其物理意义。证明 已知又知及，那么，则即其物理意义是，流进有源区内的复能流密度矢量通量的实部等于内的损耗功率以及源区本身的损耗功率。因此，复能流密度矢量的实部代表单向流动的能量，虚部表示能量的转换。7-17 若考虑媒质极化和磁化损耗，认为，。试证