概率论习题答案.pdf

第十一次作业 一填空题： 1设随机变量(, )X Y的概率密度为 () 0, ( , ) 0 x y aex y f x y ， ，其他 ，则a 1 ，(2,1)P XY 123 1 eee 。 2若二维随机变量(, )X Y的联合分布列为 XY01 0 1 6 1 4 1 1 3 1 4 则随机变量(, )X Y的联合分布函数为 0,00 1/ 6,01,01 ( , )5/12,01,1 1/ 2,1,01 1,1,1 xor y xy F x yxy xy xy 3. 设随机变量2 , 1, 4 1 2 1 4 1 101 iXi,且满足1)0( 21 XXP， 则)( 21 XXP0. 二. 选择题 （1）设(, )X Y服从二维均匀的分布，联合密度函数为 , 01, ( , ) 0, Axyx f x y 其它 ，则常数A=(A).B （A） 1 2 (B) 1(C)2(D)4. （2）设（X，Y）的分布函数为),(yxF，则,bYaXP=（ C） A),(baFB1),(baF C), 0(),(), 0(1aFbFbaF D),(),(),(1aFbFbaF （3）设 1( ) F x， 2( ) F x为两个分布函数，其相应的概率密度为 12 ( ),( )f xfx是连续 函数，则可以作为某个连续随机变量的概率密度函数的是（D） A 12 ( )( )f x fxB 12 2( )( )f x F x C 12 ( )( )f x F xD 1221 ( )( )( )( )f x F xfx F x 三.计算题 1. 设二维随机向量( , ) 仅取(1,1),(2,3),(4,5)三个点，且取它们的概率相同，求 ( , ) 的联合分布列。 解： 135 1 1 3 00 20 1 3 0 400 1 3 2. 某箱装有 100 件产品，其中一、二、三等品分别为 80，10，10 件，现在从中 随机抽取一件，记 1 1,2 3 0 i i Xi 抽到 等品 （， ） 其他 试求随机变量 12 XX和的联合概率分布。 解：令“1,2,3 i Aii抽到 等品“，,则 123 ,A A A两两不相容. 123 ()0.8,()()0.1P AP AP A 123 (0,0)()0.1P XXP A 122 (0,1)()0.1P XXP A 121 (1,0)()0.8P XXP A 12 (1,1)( )0P XXP 3 将一硬币抛掷 3 次，X表示 3 次中出现正面的次数，Y表示 3 次中出现正面 次数与反面次数之差的绝对值，求X和Y的联合分布率。 解：当连抛三次出现三次反面时，),(YX的取值为)3 , 0(； 出现一次正面两次反面时，),(YX的取值为) 1 , 1 (； 出现两次正面一次反面时，),(YX的取值为) 1 , 2(； 出现三次正面时，),(YX的取值为)3 , 3(。 并且 8 1 ) 2 1 (3, 0 3 YXP； 8 3 ) 2 1 ( 1 3 1, 1 3 YXP； 8 3 ) 2 1 ( 1 3 1, 2 3 YXP； 8 1 ) 2 1 (3, 3 3 YXP 所以，),(YX的联合概率分布为： Y X 13 00 8 1 1 8 3 0 2 8 3 0 30 8 1 4设随机向量(, )X Y的联合概率密度函数为 (6),02, 24 ( , ) 0, Axyxy p x y 其他 （1）确定常数A;（2）求1,3, 4P XYP XY 解： （1）根据规范性有( , )1p x y dxdy A 1 8 （2） 13 02 13 1,3(6) 88 P XYxy dxdy 24 02 12 (4)(6) 83 x P XYxy dydx 5. 若随机变量,X Y的概率分布分别为 X01Y-101 P 1 3 2 3 P1 3 1 3 1 3 且满足 22 ()1P XY。求二维随机变量(,)X Y的联合概率分布。 解：由于 22 ()1P XY，故 22 ()0P XY。故有 (0,1)(1,0)(0,1)0P XYP XYP XY ， 易得(,)X Y的联合概率分布如下： X Y 01 -101 3 01 3 0 101 3 第十二次作业 一. 填空题： 1. 如果随机向量),(的联合分布列为 01 00.1b 1a0.4 并且 2 (1|1) 3 P，则 a=0.3, b=0.2. 2.),(的联合分布列为 012 -11 15 t1 5 1s1 5 3 10 若, 相互独立，则（s,t）=（0.1， 2 15 ） 。 3. 设(, )X Y在以原点为中心，r为半径的圆域R上服从均匀分布，求 X 的边缘概 率密度为 rx rx r xr xpX |, 0 |, 2 )(2 22 . 二. 选择题 （1）设随机变量X服从正态分布 2 ,4N,随机变量Y服从正态分布 2 ,5N， 记 1 4pP X， 2 5pP Y,则(A)(A) (A)对任何实数,都有 12 pp (B)对任何实数,都有 12 pp (C)仅对的个别值,有 12 pp (D)对任何实数,都有 12 pp （2）设随机变量X的可能取值为 12 ,x x，Y的可能取值为 123 ,y yy，若 1111 (,)() ()P Xx YyP Xx P Yy，则随机变量X和Y（C） A一定独立B一定不独立C不一定独立D 以上答案都不对 （3）. 设随机变量X，Y相互独立，服从相同的两点分布 11 1 21 2 ，则（ A ） A 1 2 P XY B 1 3 P XY C0 P XY D 1 4 P XY 三. 计算题 1设随机变量, 的联合分布列为 （1） 求边缘分布列； （2） 在1的条件下，的条件分布列； （3） 问和是否独立？ 解： （1） 012 P5 12 1 2 1 12 012 P7 12 7 18 1 36 （2） (0,1)4 (0|1) (1)7 P P P (1,1)3 (1|1) (1)7 P P P (0,1) (2|1)0 (1) P P P （3）(0,0)(0) (0)PPP 和不独立 2 设 二 维 连 续 型 随 机 变 量(, )X Y的 联 合 概 率 密 度 函 数 为 ( , ) ( , ) 0 Axyx yG f x y 其他 其中( , )|02,0Gx yxyx， （1） 求系数A； （2）X和Y的边缘密度函数； （3） | ( | ) X Y fx y； （4） X 和 Y 是否独立，为什么？ 解： （1）根据规范性( , )1f x y dxdy 1 2 A （2） 3 0 1 ( , ),02 ( ) 24 0, x X x f x y dyxydyx fx 其他 3 21 ( , ),02 ( ) 24 0, y Y y f x y dxxydxyy fy 其他 （3） | ( , ) ( | ) ( ) X Y Y f x y fx y fy 2 | 2 ( , ) 4( | ) 0 X Y x x yG yfx y 其他 （4）G不是矩形区间，X 和 Y 不独立 3设随机变量（X，Y）的联合密度为： | 1,| 1 ( , ) 0 Cxy x y 其它 试求：常数C； 1 2 P XY及 22 1P XY；X和Y的边缘密度函数 解：( , )1x y dxdy , 14 C ,得常数