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空间向量的数量积运算,制作 张志明,一 复习引入,已知两个非零向量 , 作 , 则 叫做向量 的夹角.,已知两个非零向量 ,它们的夹角为 ,我们把 叫做向量 的数量积,记做 ,即 = .,1 向量的夹角:,2 平面向量数量积:,3 平面向量数量积的性质,4 平面向量数量积的运算律,（交换律）,（分配律）,（数乘结合律）,二 新课,因为向量可以自由平移，所以空间中任意两个向量可以平移到同一平面内，即空间任意两个向量共面. 因此，平面中两个向量的夹角及数量积等相关概念、性质可以推广到空间.,2 空间向量夹角的性质,(1)显然 ;,(2)规定 ;,(3)当 时，同向;当 时， 称 ;当 时，反向.,3 空间向量数量积的定义,练习 已知正方体AC边长 为1,求：,已知空间两个非零向量 ， 叫做向量 的数量积,记做 , 即 = .,4 空间两个向量数量积的性质,5 数量积满足的运算律,（交换律）,（数乘结合律）,（分配律）,三 课堂练习,例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且lm，ln，求证：l。,分析：由定义可知，只需证l与平面内任意直线g垂直。,l,要证l与g垂直，只需证lg0,而m，n不平行，由共面向量定理知，存在唯一的有序实数对(x,y)使得 g=xm+yn,要证lg0,只需l g= xlm+yln=0,而lm0 ，ln0,故 lg0,三典型例题,例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且lm，ln，求证：l。,证明：在内作不与m、n重合的任一条直线g,在l、m、n、g上取非零向 量l、m、n、g，因m与n相交，得向量m、n不平行，由共面向量定理 可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使 g=xm+yn, lg=xlm+yln lm=0,ln=0 lg=0 lg lg 这就证明了直线l垂直于平面内的任一条直线，所以l,例2：已知：在空间四边形OABC中，OABC， OBAC，求证：OCAB,巩固练习：利用向量知识证明三垂线定理,例3 如图，已知线段 在平面 内，线段 ，线段 ，线段 ，如果 ， 求点 、 之间的距离。,解：,例4 已知在平行六面体 中， ， ， 求对角线 的长。,1.已知线段 、 在平面 内， ，线段 ，如果 ，求 、 之间的距离.,解：,2.已知空间四边形 的每条边和对角线的长都等于 ，点 分别是边 的中点。 求证： 。,同理，,3.已知空间四边形 ，求证： 。,证明：,4.如图，已知正方体 ， 和 相交于 点 ，连
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