朱卫华《大学物理》振动.ppt

第四章,振动与波动,一些振动现象,一些振动现象,一些振动现象,一些振动现象,演示程序,t,x,一些振动现象,4-1 简谐运动,振动的定义,机械振动 电磁振动 ,任一物理量(如位移、电 流等)在某一数值附近反复变化,纪念国际远程通讯展览会在柏林举行并纪念电视技术100周年,4-1 简谐运动,振动分类,3、受迫振动外界作用力下的振动,1、自由振动没有能量的输入与输出,2、阻尼振动振幅减少的振动（介质阻尼和辐射阻尼）,4、随机振动用概率统计的方法研究,本章主要研究自由振动，而自由振动中最基本的振动是简谐振动，它是其它一切振动的基础。,本章主要研究自由振动，而自由振动中最基本的振动是简谐振动，它是其它一切振动的基础。,4.1.1 简谐运动的描述,一. 简谐振动的定义,二. 描述简谐振动的特征量,1. 振幅 A物体离开平衡 位置的最大距离,2. 周期T 和圆频率,T 2， = 1/T (Hz) = 2 (1/s),3. 相位,(1) 、( t + )是 t 时刻的相位,(2) 、 是t =0时刻的相位 初相,相位是确定物体振动状态的物理量，不同的相反映不同的态,旋转矢量的长度,旋转矢量与参考方向x 的夹角,旋转矢量旋转的方向,旋转矢量旋转的角速度,振动位相,振动圆频率,振幅 A,逆时针,4.1.2简谐振动与旋转矢量,1、旋转矢量的构造,M,M 点在x 轴上投影 P点 的运动规律,M,P,x,M,P,x,v,0,M,P,x,v,0,M,P,x,v,0,M,P,x,v,0,M,P,x,v,0,M,P,x,v,0,M,P,x,v,0,M,P,x,v,0,M,P,x,v,0,M,P,x,v,0,M,P,x,v,0,M,P,x,v,0,M,P,x,v,0,M,P,x,v,0,M,P,x,v,0,M,P,x,v,0,M,P,x,v,0,M,P,x,v,0,M,P,x,v,0,M,P,x,v,0,M,P,x,v,0,M,P,x,v,0,M,P,x,v,0,M,P,x,v,0,M,P,x,v,0,例1、(1) X0 -A； （2）在平衡位置向X轴正方向运动； （3）在 X012 A 处向X轴负方向运动； （4）在 ,处向正 方向运动。试用旋转矢量 法确定相应的相位。,解,（1）,X,o,X,（2）,例1、(1) X0 -A； （2）在平衡位置向X轴正方向运动； （3）在 X012 A 处向X轴负方向运动； （4）在 ,处向正 方向运动。试用旋转矢量法 确定相应的相位。,称振动 2 超前振动 1,振动1滞于后振动 2,0,二、位相差,旋转矢量确定相位差,两矢量之间的夹角,两振动同步,1,2,0,二、位相差, = (2k+1) , ( k =0,1,2,),0,两振动反相,速度也是简谐振动,V比 x 领先/2,2.加速度,加速度也是简谐振动与x反相,三.简谐振动的速度、加速度,1.速度,x,v,a-t曲线,例2. 一质点沿x 轴作简谐振动，振幅为12cm，周期为2s。当t = 0时, 位移为6 cm，且向x 轴正方向运动。求1、振动方程。2、t = 0.5 s时，质点的速度和加速度。3、如果在某时刻质点位于x = -6 cm，且向 x 轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。,解：,(1)设简谐振动表达式为,已知：A =12 cm , T = 2 s ，,初始条件：,t = 0 时， x0 = 0.06 m , v0 0,振动方程,初始条件：,t = 0 时， x0 = 0.06 m , v0 0,2、t = 0.5 s时，质点的速度和加速度,3、如果在某时刻质点位于x = -6 cm，且向 x 轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。,(2) 设在某一时刻 t1 x = - 0.06 m,代入振动方程,设在某一时刻 t2 x = 0,旋转矢量法确定时间,4.1.3 简谐振动的动力学方程（特征）,一. 简谐振动的动力学方程(以水平弹簧振子为例),1. 受力特点: 线性恢复力 (F= -kx),2. 动力学方程,固有(圆)频率,决定于系统内在性质,x(t)=Acos( t+),由初始条件求振幅和相位,x(t)=Acos( t+),4.1.4.简谐振动的能量(以水平弹簧振子为例),1.简谐振动系统的能量特点,(1)动能,(2)势能,(3) 机械能,简谐振动系统机械能守恒,演示程序,简谐振动的三种表示方法描述,解：, 例4 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程.,b,自然长度,mg,b,0,x,平衡位置,自然长度,自然 长度,b,平衡 位置,x,任意位置时小球所受到的合外力为：,可见小球作谐振动。由,得：,mg - kb = 0,mg,F,0,X,当,得,例5：,k=?,k2,(c),l,l2,1,k1,k1,(a),k2,F,k2,k1,(b),k=?,F,例5：,k=?,k1,(a),k2,F,(a),k2,k1,(b),k=?,F,(b),结论,串联,并联,材料应变,t = 0时,以及振动方程。,求：, 例 6 一谐振动的振动曲线如图所示。,x,1.0,0,t,解：,t =1时,x,1.0,t,例 7：有一单摆，长为l=1.0m,小球质量为m=10g,初始时该小球在摆角00.06rad处，以角速度 00.2rad/s 向平衡位置运动。试求：（1）、圆频率，频率，周 期。 （2）、角振幅和初相。 （3）、写出小球的振动方程。,mg,+,L,转,动,正,方,向,解：由转动定律：,m,mg,+,L,转,动,正,方,向,拓展问题-复摆振动周期,同学们研究,例8. 质量为m的比重计，放在密度为 的液体中。已知比重计圆管的直径为d。试证明，比重计推动后，在竖直方向的振动为简谐振动。并计算周期。,解：,取平衡位置为坐标原点,平衡时：,浮力：,其中V 为比重计的排水体积,0,0,x,x,例 一台钟的等效摆长为 l =0.995m，摆锤可以上下移动以调节周期。该钟每天快1分27秒，假设将此摆当作质量集中在摆锤中心的一个单摆来考虑，则应将摆锤向下移动多少距离才能使钟走得准确？,解：,一天24小时摆动的次数为,由式（1）、（2）得,一天产生的总误差,4-2-1 简谐振动的合成,一. 两个同方向同频率的简谐振动的合成,1.分振动,x1=A1cos( t+ 1),2.合振动,x2=A2cos( t+ 2),x = x1+ x2,x =A cos( t+ ),合振动是简谐振动,3.两种特殊情况,(1) 若两分振动同相,则 A=A1+A2 , 两分振动相互加强,2.合振动,(k=0,1,2,),x =A cos( t+ ),合振动是简谐振动,3.两种特殊情况,2.合振动,(2) 若两分振动反相,则A=|A1-A2|, 两分振动相互减弱,(k=0,1,2,),如 A1=A2 , 则 A=0,旋转矢量法求合振动,x1=A1cos( t+ 1),x2=A2cos( t+ 2),二. 同方向N个同频率的简谐振动的合成,R,二. 同方向N个同频率的简谐振动的合成,例9 . 两个同方向的简谐振动曲线(如图所示) 1、求合振动的振幅。 2、求合振动的振动方程。,解：,同学们练习,例10：三个同方向同频率的谐振动,试用旋转矢量法求合振动的方程,解：三个对应的旋转矢量如图所示,2.合振动,合振动不是简谐振动,x = x1+ x2,三. 同方向不同频率的简谐振动的合成,1.分振动,x1=Acos 1 t x2=Acos 2t,当 2 1时 2- 1 2+ 1,其中,随缓变,随快变,合振动可看作振幅缓变的简谐振动,2.合振动,x = x1+ x2,合振动频率,振幅部分,合振动可看作振幅缓变的简谐振动,振幅,拍频（振幅变化的频率）,两个同方向不同频率简谐运动的合成(视频),频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍.,拍现象视频,例11：第一音叉和第二音叉（f2=438Hz)的标准音叉同时振动，它们每秒产生2个拍频 。当第一个音叉的臂上涂了一层石腊时，拍频减少。试问第一个音叉的频率是多少？,解,四 垂直方向简谐振动的合成*,x=A1cos( t+ 1) y=A2cos( t+ 2),合运动一般是一个椭圆，椭圆的性质在 A1 、A2确定之后, 主要决定于 = 2- 1,1、同频率简谐振动,合振动仍为谐振动，振幅为,x,0,合运动一般是在 2A1 ( x向 )、2A2 ( y向 ) 范围内的一个椭圆,椭圆的性质 (方位、长短轴、左右旋 )在 A1 、A2确定之后, 主要决定于 = 2- 1,用旋转矢量描绘振动合成图,2 、 两相互垂直不同频率的简谐运动的合成,测量振动频率和相位,李 萨 如 图,李 萨 如 图演示,4-2-2 振动的分解*,一、 两个频率比为1:2的简谐运动的合成 的特点,如果将一系列角频率是某个基本角频率（亦称主频）的整数倍的简谐运动叠加，则其合振动仍然是以为角频率的周期性振动，但一般不再是简谐运动。,一个以为频率的周期性函数 f (t)，可以用傅里叶级数的余弦项表示为：,主频,n 次谐频,二、傅里叶级数展开,x,t,T,A,周期信号的频谱-分立谱,锯齿波频谱,分立谱,一个非周期性振动可分解为无限多个频率连续变化的简谐振动,四 傅里叶变换,矩形脉冲频谱分析,正弦脉冲串傅里叶变换演示程序,4-3 阻尼振动、受迫振动和共振*,4-3-1 阻尼振动,振动系统在回复力和阻力作用下发生的减幅振动,4-3-1 阻尼振动,振动系统在回复力和阻力作用下发生的减幅振动, ：阻尼系数,4-3 阻尼振动、受迫振动和共振*,令,无阻尼时振子的固有频率,阻尼因子,动力学方程,4-3-1阻尼振动,阻尼振动方程解讨论,振幅随时间按指数规律迅速减少。阻尼越大，减幅越迅速。振动周期大于自由振动周期振幅,方程解,1.阻尼较小时,振动特点,振动曲线,1.阻尼较小时,是质点不作往复运动的一个极限,从最大位移缓慢回到平衡位置，不作往复运动。,阻尼振动方程解讨论,2.阻尼较大时,3.临界阻尼时,a：小阻尼,b：过阻尼,c：临界阻尼,处于临界阻尼这种状态物体从运动到静止所需的时间是最短的。在灵敏电流计等精密仪表中，为了使人们能较快地进行读数测量，常使电流计偏转系统处于临界阻尼状态下工作。,临界阻尼的应用,例 . 一物体悬挂在弹簧下作阻尼振动。开始时其振幅为120 mm，经过2.4分钟后，振幅减为60 mm。问：阻尼系数为多少？,解：,阻尼振动方程,4-3-2 受迫振动和共振*,4-3-2 受迫振动和共振*,系统在周期性的外力持续作用下所发生的振动。,1. 受迫振动,设：,令,方程的解,动力学方程,4-3-2 受迫振动和共振*,稳定后的振动表达式,受迫振动的频率与策动力的频率相等,受迫振动的振幅,受迫振动的初相位,结论：稳态响应的振幅,初相位与外力频率有关,4-3-2 受迫振动和共振*,共振：当策动力的频率为某一特定值时，受迫振动的振幅将达到极大值的现象。,2. 共振,共振频率,共振振幅,0为固有频率,阻尼系数 越小，共振角频率r 越接近于系统的固有频率 O ，同时共振振幅Ar也越大。,共振振幅,共振频率,受迫振动的特性曲线演示,1940年，Tacoma Narrows大桥在通车4个月零6天后因大风引起扭转振动，又因振动频率接近于大桥的共振频率而突然坍塌。,例 一物体放在水平平板上，此板沿水平方向作谐振动，2Hz,物体与板面间的摩擦系数0.50，问：（1）、要使物体在板上不滑动，振幅的最大值是多少？（2）、若使该板作竖直方向的谐振动，A5Cm,使物体与板保持接触的最大频率是多少