近世代数课件--2.11同态与不变子群.ppt

11.同态与不变子群,11.1 自然同态 11.2 同态映射的核 11.3 同态基本定理 11.4 子群的同态像和逆像,不变子群，商群与同态映射之间存在几个极端重要的关系知道了这几个关系，我们才能看出不变子群和商群的重要意义,11.1 自然同态,定理 一个群 同它的每一个商 群同态,证明 我们规定 到 的一个法则 : 这显然是 到 的一个满射并且,对于 的 任意两个元 和 来说， 所以它是一个同态满射证完 上述 称为自然同态.,由群 的一个子群可以推测整个群 的性质假如我们有一个不变子群 ，就同时有两个群可以供我们利用，一个是 本身，另一个是商群 现在定理又告诉我们， 与 同态，这样帮助推测 的性质 在一定意义之下，定理的逆定理也是对的,11.2 同态映射的核,定义 假定 是一个群 到另一个群 的一个同态 满射 的单位元 在 之下的所有逆象所作成的 的子集叫做同态满射的核, 记为 ,即: ,记 ,它有以下性质: (1) 是不变子群 (2) (3) (4),证明: 1.分两步 1) 是子群 2) , 对于任意 2. 3. 同学自行给出. 4. 同学自行给出.,11.3 同态基本定理,定理 假定 和 是两个群，并且 同态，那么 这里 是同态满射的核.,证明: 证明的关键点是构造一个同构映射 (启发: 1.必然联想到 2. 离同构有多远? 3.写出 ) 可以证明 是一个 与 间的同构映射因为：,1) 无歧义 ， 这就是说，在 之下 的一个元素只有一个唯一的象； 2) 是单映射.上面的过程可逆. 3) 是满射.给了 的一个任意元 ，在 里至少有一个元 满足条件 ，由定义， 这就是说， 是 到 的满射；,4) 保持运算 综上所述, 证完,定理告诉我们，一个群 和它的一个商群同态，定理告诉我么，抽象地来看， 只能和它的商群同态，所以我们可以说，定理正是定理的反面我们知道，当群 与群 同态的时候， 的性质并不同 的完全一样但定理告诉我们，这时我们一定找得到 的一个不变子群 ，使得 的性质和商群 的完全一样从这里我们可以看出，不变子群和商群的重要意义,11.4 子群的同态像和逆(原)像,回忆一个子集关于映射的像与逆像,定义 假定 是集合 到集合 的一个映射 1. 是 的一个子集, 称为 在 之下的象，它刚好包含所有 的元在 之下的象 2. 是 的一个子集, 在 之下的逆象 刚好包含所有 中在 之下的像属于 的元.,定理 假定 和 是两个群，并且 与 同态那么在这个同态满射之下的 （） 的一个子群 的象 是 的一个子群； （） 的一个不变子群 的象 是 的一个不变子群,证明 我们用 来表示给定的同态满射 （）假定 ， 是 的两个任意元，那么有 使得 ， 那么在 之下， (?),(由于 是子群， ，因此由于 是 的在 之 下的象， ) 这样， 是 的一个子群,（） 是 的一个不变子群，由（），我们知 道 是 的一个子群假定 是 的任意元， 是 的任意元，而且在 之下， (?) 是 的一个不变子群证完,定理 假定 和 是两个群，并且 与 同态那么在这个同态满射之下的 （） 的一个子群 的逆象 是 的一个子群； （） 的一个不变子群 的逆象 是 的一个不变子群,证明 我们用 来表示给定的同态满射 （）假定 ， 是 的两个任意元，并且在 之下， ， ， 我们需要证明 .注意,由于 是 的逆象，因而 ， ,进一步 (?),即: 所以 这样， ， 是 的一个子群,（） 既是 的一个不变子群，由（），我们 知道 是 的一个子群假定 是 的任意元， 是 的任意元，并且在 之下， ，,我