《积分及其应用习题》PPT课件.ppt

第三章 习题课,板块一: 不定积分的计算方法 板块二: 定积分的概念、性质及计算 板块三: 定积分应用,板块一,一、 求不定积分的基本方法,二、几种特殊类型的积分,不定积分的计算方法,一、 求不定积分的基本方法,1. 直接积分法,通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 .,2. 换元积分法,(注意常见的换元积分类型),(代换: ),3. 分部积分法,使用原则:,1) 由,易求出 v ;,2),比,好求 .,一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三” 的顺序,排前者取为 u ,排后者取为,多次分部积分的 规 律,快速计算表格:,特别: 当 u 为 n 次多项式时,计算大为简便 .,例1. 求,解:,原式,例2. 求,解:,原式,分析:,例3. 求,解 :,原式,分部积分,例4. 设,解:,令,求积分,即,而,例5. 求,解:,例6. 求,解: 取,说明: 此法特别适用于,如下类型的积分:,例7. 设,证:,证明递推公式:,例8. 求,解:,设,则,因,连续 ,得,得,利用,二、几种特殊类型的积分,1. 一般积分方法,有理函数,分解,多项式及 部分分式之和,指数函数有理式,指数代换,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,2. 需要注意的问题,(1) 一般方法不一定是最简便的方法 ,(2) 初等函数的原函数不一定是初等函数 ,要注意综合,使用各种基本积分法, 简便计算 .,因此不一,定都能积出.,例如 ,例10. 求,解: 令,则,原式,例11. 求,解: 令,比较同类项系数, 故, 原式,说明: 此技巧适用于形为,的积分.,例12.,解：,因为,及,例13.,求不定积分,解:,原式,例14.,解:,I =,例15. 求,解:,( n 为自然数),令,则,板块二,一、与定积分概念有关的问题的解法,二、有关定积分计算和证明的方法,定积分及其相关问题,一、与定积分概念有关的问题的解法,1. 用定积分概念与性质求极限,2. 用定积分性质估值,3. 与变限积分有关的问题,例1. 求,解: 因为,时,所以,利用夹逼准则得,因为,依赖于,且,1) 思考例1下列做法对吗 ?,利用积分中值定理,原式,不对 !,说明:,2) 此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项 .,解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和：,已知,利用夹逼准则可知,例2. 求,思考:,提示:由上题,故,练习: 1.,求极限,解：,原式,2. 求极限,提示：,原式,左边,= 右边,例3.,估计下列积分值,解: 因为,即,例4. 证明,证: 令,则,令,得,故,例5.,设,在,上是单调递减的连续函数，,试证,都有不等式,证明：显然,时结论成立.,(用积分中值定理),当,时,故所给不等式成立 .,明对于任何,例6.,提示：,且由方程,确定 y 是 x 的函数 , 求,方程两端对 x 求导, 得,再令 x = 1, 得,再对 y 求导, 得,故,例7.,求可微函数 f (x) 使满足,解: 等式两边对 x 求导, 得,不妨设 f (x)0,则,注意 f (0) = 0, 得,例8. 求多项式 f (x) 使它满足方程,解: 令,则,代入原方程得,两边求导:,可见 f (x) 应为二次多项式 ,设,代入 式比较同次幂系数 , 得,故,再求导:,二、有关定积分计算和证明的方法,1. 熟练运用定积分计算的常用公式和方法,2. 注意特殊形式定积分的计算,3. 利用各种积分技巧计算定积分,4. 有关定积分命题的证明方法,思考: 下列作法是否正确?,例9. 求,解: 令,则,原式,例10. 求,解:,例11. 选择一个常数 c , 使,解: 令,则,因为被积函数为奇函数 , 故选择 c 使,即,可使原式为 0 .,例12. 设,解:,例13. 若,解: 令,试证 :,则,因为,对右端第二个积分令,综上所述,例14. 证明恒等式,证: 令,则,因此,又,故所证等式成立 .,例15.,试证,使,分析:,要证,即,故作辅助函数,至少存在一点,证明: 令,在,上连续,在,至少,使,即,因在,上,连续且不为0 ,从而不变号,因此,故所证等式成立 .,故由罗尔定理知 ,存在一点,思考: 本题能否用柯西中值定理证明 ?,如果能, 怎样设辅助函数?,提示:,设辅助函数,例16.,设函数 f (x) 在a, b 上连续,在(a, b) 内可导, 且,(1) 在(a, b) 内 f (x) 0 ;,(2) 在(a, b) 内存在点 , 使,(3) 在(a, b) 内存在与 相异的点 , 使,(03考研),证: (1),由 f (x)在a, b上连续,知 f (a) = 0.,所以f (x),在(a, b)内单调增,因此,(2) 设,满足柯西中值定理条件,于是存在,即,(3) 因,在a, 上用拉格朗日中值定理,代入(2)中结论得,因此得,例17. 设,证: 设,且,试证 :,则,故 F(x) 单调不减 ,即 成立.,板块三,1. 定积分的应用,几何方面 :,面积、,体积、,弧长、,表面积 .,物理方面 :,质量、,作功、,侧压力、,引力、,2. 基本方法 :,微元分析法,微元形状 :,条、,段、,带、,片、,扇、,环、,壳 等.,转动惯量 .,定积分的应用,例1. 求抛物线,在(0,1) 内的一条切线, 使它与,两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.,解: 设抛物线上切点为,则该点处的切线方程为,它与 x , y 轴的交点分别为,所指面积,且为最小点 .,故所求切线为,得 0 , 1 上的唯一驻点,例2. 设非负函数,曲线,与直线,及坐标轴所围图形,(1) 求函数,(2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体,解: (1),由方程得,面积为 2 ,体积最小 ?,即,故得,又,(2) 旋转体体积,又,为唯一极小点,因此,时 V 取最小值 .,例3. 证明曲边扇形,绕极轴,证: 先求,上微曲边扇形,绕极轴旋转而成的体积,体积微元,故,旋转而成的体积为,故所求旋转体体积为,例4. 求由,与,所围区域绕,旋转所得旋转体体积.,解: 曲线与直线的交点坐标为,曲线上任一点,到直线,的距离为,则,例5. 半径为 R , 密度为,的球沉入深为H ( H 2 R ),的水池底, 水的密度,多少功 ?,解:,建立坐标系如图 .,则对应,上球的薄片提到水面上的微功为,提出水面后的微功为,现将其从水池中取出, 需做,微元体积,所受重力,上升高度,因此微功元素为,球从水中提出所做的功为,“偶倍奇零”,例6. 设有半径为 R 的半球形容器如图.,(1) 以每秒 a 升的速度向空容器中注水, 求水深为,为h (0 h R ) 时水面上升的速度 .,(2) 设容器中已注满水 , 求将其全部抽出所做的功最,少应为多少 ?,解: 过球心的纵截面建立坐标系如图.,则半圆方程为,设经过 t 秒容器内水深为h ,(1) 求,