四川省德阳市2024届高三下学期“三诊”考试数学试题（理）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省德阳市2024届高三下学期“三诊”考试数学试题（理）第Ⅰ卷(选择题)一、选择题1.已知集合，，若，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗集合，，又，则，所以实数a的取值范围是.故选：B2.欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位i，cosθ和sinθ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”，若复数满足，则正确的是（）A.的共轭复数为 B.的实部为1C.的虚部为i D.的模为1〖答案〗D〖解析〗由可得，所以，可得，所以的共轭复数为，即A错误；的实部为0，即B错误；的虚部为，所以C错误；的模为1，可知D正确.故选：D3.在的展开式中的系数是（）A.30 B.35 C.55 D.60〖答案〗C〖解析〗由二项展开式的通项可得展开式中含的项包括两项，即，所以展开式中的系数是55.故选：C4.已知函数，且，则的值是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗函数，求导得，由，得，解得，所以.故选：B5.执行下面的程序框图，输出的（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗根据流程框图可知，第一次计算结果为；第二次循环计算可得；第三次循环计算可得，不满足，循环结束，此时输出.故选：A6.已知向量，为坐标原点，动点满足约束条件，则的最大值为（）A. B.2 C. D.3〖答案〗D〖解析〗易知，所以约束条件即为，画出可行域如下图阴影部分所示：将目标函数变形可得，当其在轴上的截距最小时，的取值最大；对直线，令，则，则，显然当直线平移到过点时，取最大值3.故选：D7.2023年7月28日至8月8日，第31届世界夏季大学生运动会在成都市举行，组委会将5名大学生分配到A，B，C三个路口进行引导工作，每个路口至少分配一人，每人只能去一个路口．若甲、乙要求去同一个路口，则不同的分配方案共有（）A.18种 B.24种 C.36种 D.48种〖答案〗C〖解析〗第一步：先将5名大学生分成三组，每组人数为1，1，3或1，2，2；当分为1，1，3时，且甲、乙要求去同一个路口，则甲、乙必须在3人组，因此只需从剩下的3人中任选一人，其余两人各自一组，共有种分法；当分为1，2，2时，且甲、乙要求去同一个路口，则将剩下的3人分成两组即可，共有种分法；第二步：再将分好的三组人员分配到三个路口，共有种分配方案；因此共种.故选：C8.α，β，γ为不同的平面，m，n，l为不同的直线，则m⊥β的一个充分条件是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为α，β，γ为不同的平面，m，n，l为不同的直线，则m⊥β的一个充分条件是，选A.9.如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系．(a，b．为常数)，若该果蔬在7℃的保鲜时间为288小时，在21℃的保鲜时间为32小时，且该果蔬所需物流时间为4天，则物流过程中果蔬的储藏温度(假设物流过程中恒温)最高不能超过（）A.14℃ B.15℃ C.13℃ D.16℃〖答案〗A〖解析〗依题意，，则，即，显然，设物流过程中果蔬的储藏温度为t℃，于是，解得，因此，所以物流过程中果蔬的储藏温度最高不能超过14℃.故选：A10.“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为，则该多面体外接球的表面积为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗将“阿基米德多面体”补全为正方体，如下图所示：不妨取两棱中点为，由题知，易知，可得，所以正方体的棱长为2，该多面体的外接球即为正方体的棱切球，所以棱切球的直径为该正方体的面对角线，长度为，因此该多面体的外接球的半径为，所以其表面积为.故选：A.11.设是双曲线的左、右焦点，O是坐标原点，点P是C上异于实轴端点的任意一点，若则C的离心率为（）A. B. C.3 D.2〖答案〗D〖解析〗令双曲线的焦点，设，则，即有，，同理，而，故，因此，即，所以双曲线C的离心率.故选：D.12.已知函数及其导函数的定义域均为，且，，则不等式的解集是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗构造函数，则；因为，所以当时，，即，此时在上单调递增；当时，，即，此时在上单调递减；又，所以，即；所以函数图象上的点关于的对称点也在函数图象上，即函数图象关于直线对称，不等式变形为，即；可得，又在上单调递增，在上单调递减，所以，解得.故选：C.第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题13.已知函数f(x)═cos(x+θ)是奇函数，则θ的最小正值为___________．〖答案〗〖解析〗由函数为奇函数，可得，则的最小正值为.故〖答案〗为：.14.在中，角的对边分别为；已知,若向量满足，则的面积为__________．〖答案〗〖解析〗根据题意由可得，整理可得；又可知，即可得，解得；所以的面积为.故〖答案〗为：15.已知两点，若直线上存在唯一点P满足，则实数m的值为__________．〖答案〗〖解析〗设点，则，由，得，因此点在以原点为圆心，1为半径的圆上，显然直线与此圆相切，则，解得，所以实数m的值为.故〖答案〗为：16.已知F为抛物线的焦点，过点F的直线l与抛物线C相交于不同的两点A、B，若抛物线C在A、B两点处的切线相交于点P，则的最小值为_______．〖答案〗5〖解析〗由抛物线可知，显然直线的斜率一定存在，可设直线的方程为，；如下图所示：联立抛物线和直线的方程，消去可得；由韦达定理可得；利用焦点弦公式可得；由可得，求导可得，所以抛物线在点处的切线方程为，由，整理可得；同理可得点处的切线方程为；联立解得，即；可得；所以，令，则；利用对勾函数性质可知函数在上单调递增，所以，当且仅当时，等号成立；即的最小值为5.故〖答案〗为：5三、解答题17.已知是等差数列，是等比数列，且的前n项和为，在①，②这两个条件中任选其中一个，完成下面问题的解答．（1）求数列和的通项公式;（2）设数列的前n项和为，是否存在，使得若存在，求出所有满足题意的；若不存在，请说明理由．解：（1）设等差数列的公差为，由可得，解得；所以，即数列的通项公式为设等比数列的公比为，若选择条件①，，由且，可得，即，解得，所以是以为首项，公比为2的等比数列，可得；即数列的通项公式为；若选择条件②，，令，则，所以公比，此时，经检验满足题意，即是以为首项，公比为2的等比数列，所以（2）假设满足题意得存在，因，所以，两式相减可得；所以，因为，所以；所以由可得，即，又，所以，即，解得，因此满足题意的存在，且.18.某公司为了确定下季度的前期广告投入计划，收集并整理了近6个月广告投入量x(单位：万元)和收益y(单位：万元)的数据如表(其中有些数据污损不清)：月份123456广告投入量2

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收益

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他们分别用两种模型①，②进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值．（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型?（2）残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除．（i）剔除异常数据后，求出（1）中所选模型的回归方程；（ii）若广告投入量x=19，则（1）中所选模型收益的预报值是多少万元?(精确到0.01)附：对于一组数据其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：.解：（1）由于模型①残差波动小，应该选择模型①.（2）（i）剔除异常数据，即3月份的数据，剩下数据的平均数为，，，，，，，所以所选模型的回归方程为.（ii）若广告投入量，则该模型收益的预报值是(万元).19.如图，在三棱柱中，底面是等边三角形，，D为的中点，过的平面交棱于E，交于F．（1）求证:平面⊥平面；（2）若是等边三角形，，求二面角的正弦值．（1）证明：连接，因为，所以，所以.因为D为BC的中点，所以.因为，D为BC的中点，所以因为平面，所以平面，又，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：取的中点，连接，因为是等边三角形，所以，由(1)可知平面，则两两垂直，故以为原点，所在直线为轴，过作的平行线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，因为底面是边长为的等边三角形，所以，因为是等边三角形，所以，所以则，设平面的法向量为，由，令，得.易知平面的一个法向量为，记二面角的大小为，则，故二面角正弦值为.20.已知椭圆的离心率为其左右焦点分别为下顶点为A，右顶点为B，的面积为（1）求椭圆C的方程;（2）设不过原点O的直线交C于M、N两点，且直线的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围．解：（1）依题意，又，又，所以，所以椭圆C的方程为.（2）由题意可知，直线的斜率存在且不为0，故可设直线：，，联立直线和椭圆，化简得，由题意可知，即，且，则，又直线的斜率依次成等比数列.即，则，所以且，设点O到直线的距离为，又，所以，令，，显然在上为增函数，在上为减函数，所以，即，所以，故面积的取值范围为.21.设函数，．（1）试研究在区间上的极值点；（2）当时，，求实数a的取值范围．解：（1）函数，求导得，令，求导得，设，则，当时，，当且仅当时取等号，则在上单调递增，即有，于是函数在上单调递增，因此，所以在区间上没有极值点.（2）由（1）知，当，则，设，求导得，设，求导得，则函数在上单调递增，有，即，函数在上单调递增，于是，即，则对任意的恒成立，当时，，则当时，对任意的恒成立，当时，设，求导得，显然，而函数在上的图象连续不断，则存在实数，使得对于任意的，均有，因此函数在上单调递减，则当时，，即，不符合题意，综上所述，实数的取值范围为.请考生在22、23二题中任选一题作答．[选修4--4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)，直线l的方程为．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的普通方程和直线l的极坐标方程；（2）点P的极坐标为，设直线l与曲线C的交点为A、B两点，若线段AB的中点为D，求线段PD的长．解：（1）由曲线的参数方程为（为参数），消去参