《系统的时域分析》PPT课件.ppt

2019/6/13,1,系统的,时域分析,返 回,2019/6/13,2,线性时不变系统的描述及特点,连续时间LTI系统的响应,连续时间LTI系统的冲激响应,卷积积分及其性质,离散时间LTI系统的响应,离散时间LTI系统的单位脉冲响应,卷积和及其性质,冲激响应表示的系统特性,2019/6/13,3,线性时不变系统的描述及特点,连续LTI系统用N阶常系数线性微分方程描述,ai 、 bj为常数。,离散LTI系统用N阶常系数线性差分方程描述,ai 、 bj为常数。,线性时不变(LTI)系统的描述,2019/6/13,4,线性时不变系统的特点,由于LTI系统具有线性特性和时不变特性，因此具有:,1）微分特性或差分特性：,若 T f(t)=y(t),则,若 Tfk= yk,则 T fk -fk-1= yk - yk-1,2）积分特性或求和特性：,若 T f(t)=y(t),则,若 Tfk= yk,则,2019/6/13,5,例 已知LTI系统在f1(t)激励下产生的响应为y1(t) ，试求系统在f2(t)激励下产生的响应 y2(t) 。,解：,从f1(t)和f2(t)图形可以看得出，f2(t)与f1(t)存在以下关系,根据线性时不变性质，y2(t)与y1(t)之间也存在同样的关系,2019/6/13,6,连续时间LTI系统的响应,经典时域分析方法,系统的零输入响应和零状态响应,齐次解 特解 全解,2019/6/13,7,一. 经典时域分析方法:,求解微分方程,连续LTI系统用N阶常系数线性微分方程描述,微分方程的全解即系统的完全响应, 由齐次解yh(t)和特解yp(t)组成,2019/6/13,8,齐次解yh(t)是齐次方程,的解，它由特征方程,的n 个特征根：1，2，3，n确定,2019/6/13,9,当一部分i（假设有 j 个）为单根（各不相同）时，齐次方程与这些根相应解的形式为：,一部分i （假设有r 个）是相同的（r 重根），齐次方程与这些根相应解的形式为：,齐次解yh(t) 又称为自然响应、固有响应,2019/6/13,10,特解yp(t)的形式由方程右边激励信号 的形式确定,特解：,表2列出了特解 的各种形式。选定特解后将它代入原微分方程，求出各待定系数，就求出了特解,特解又叫受迫（强制、强迫）响应,2019/6/13,11,表2 不同特征根所对应的特解,返 回,2019/6/13,12,完全解（全响应）： 。将初始条件代入该式，求出待定系数 Cj 及 Dr 。至此，微分方程就求解完毕。,2019/6/13,13,例 已知某二阶线性时不变连续时间系统的微分方程 初始条件y(0)=1, y (0)=2, 输入信号f (t)=e-t u(t)，求系统的完全响应y(t)。,解: (1) 求齐次方程 y(t)+6y(t)+8y(t) = 0 的齐次解yh(t),特征根为,齐次解yh(t),特征方程,t0,2019/6/13,14,(2) 求特解yp(t),由输入f (t)的形式，设方程的特解为,yp(t) = Ce-t,将特解带入原微分方程,即可求得常数C=1/3。,2019/6/13,15,代入初值, 全解为, 全解为,2019/6/13,16,经典法不足之处,若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。 若激励信号发生变化，则须全部重新求解。 若初始条件发生变化，则须全部重新求解。 这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响 应的物理概念。,2019/6/13,17,二、系统的零输入响应和零状态响应,LTI系统的响应也可分为零输入响应和零状态响应。,即,1. 零输入响应是输入信号为零时，仅由系统的初始状态所引起的响应。,数学模型:,求解方法（也是求齐次解）： 根据微分方程的特征根确定零输入响应的形式,再由初始条件确定待定系数,2019/6/13,18,例 已知某线性时不变系统的微分方程为:,y“ (t)+5y (t) +6y (t) =4f(t), t0 系统的初始状态为y(0-) = 1，y (0-) = 3，求系统的零输入响应yzi(t)。,解: 系统的特征方程为,系统的特征根为,y(0-)=yzi(0-)=K1+K2=1 y (0-)= yzi(0-)= - 2K1-3K2 =3,2019/6/13,19,解得 K1= 6，K2= -5,2019/6/13,20,例 已知某线性时不变系统的微分方程为： y“ (t)+2y (t) +5y (t) = 4f (t )+3f(t), t0 系统的初始状态为y(0-) = 1，y(0-) = 3，求系统的零输入响应yzi(t)。,解: 系统的特征方程为,系统的特征根为,y(0-)=y (0-)=K1=1 y (0-)= y(0-)= -K1+2K2 =3,解得 K1= 1，K2= 2,2019/6/13,21,2.系统的零状态响应,当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励f(t)产生的响应称为系统的零状态响应，用yzs(t)表示。,求解系统的零状态响应yzs(t)方法：,1) 直接求解初始状态为零的微分方程。,与经典法类似，只是初始状态为零,2019/6/13,22,对照经典法：,经典法的自然响应 的系数由初始状态和激励信号共同决定；零输入响应 的系数由仅由系统的初始状态来决定,2019/6/13,23,2) 卷积法：,利用信号分解和线性时不变系统的特性求解。,卷积法求解系统零状态响应yzs(t)的思路,1) 将任意信号分解为单位冲激信号的线性组合 2) 求出单位冲激信号作用在系统上的零状态响应 冲激响应 3) 利用线性时不变系统的特性，即可求出任意信号f(t)激励下系统的零状态响应yzs (t),2019/6/13,24,卷积法求解系统零状态响应yzs (t)推导,由时不变特性,由齐次特性,由积分特性,设：,2019/6/13,25,连续时间LTI系统的单位冲激响应,单位冲激响应 ：系统在单位冲激信号 激励下的零状态响应。,N 阶连续时间LTI系统的冲激响应h(t)满足,在 以后， ，上面的微分方程式变为：,2019/6/13,26,当其特征根为 、 、 、 （设均为单根）时，其解也就是零输入响应，为,故 nm 时,nm 时, 为使方程两边平衡, h(t)应含有冲激及其高阶导数，即,将h(t)代入微分方程，使方程两边平衡，确定系数Ci ， Aj,2019/6/13,27,例1 已知某线性时不变系统的微分方程为 试求系统的冲激响应。,解： 当f (t) = d (t)时，y(t) = h(t)，即,微分方程式的特征根 = -3, 且nm, 故h(t)的形式为,解得A=2,2019/6/13,28,例2 已知某线性时不变系统的微分方程为 试求系统的冲激响应。,解： 当f (t) = d (t)时，y(t) = h(t)，即,动态方程式的特征根 = -6, 且n=m, 故h(t)的形式为,解得A= -16, B =3,2019/6/13,29,1) 由系统的特征根来确定u(t)前的指数形式。,2) 由微分方程右边d (t)的最高阶导数与方程 左边h(t)的最高阶导数确定d (j)(t)项。,冲激平衡法小结,问题：还可如何求？,2019/6/13,30,例1 已知某线性时不变系统的微分方程为 试求系统的冲激响应。,2019/6/13,31,卷积积分的计算和性质,一、卷积积分的计算,卷积的定义：,1. 将f(t)和h(t)中的自变量由t改为；,卷积的计算步骤：,2. 把其中一个信号翻转得h(-)，再平移t；,3. 将f(t) 与h(t- t)相乘；对乘积后信号的积分。,4. 不断改变平移量t，计算f(t) h(t- t)的积分。,2019/6/13,32,例,解：,2019/6/13,33,例 计算 y(t) = p1(t) * p1(t)。,a) - t -1,b) -1 t 0,y (t) = 0,2019/6/13,34,c) 0 t 1,d) t 1,y (t) = 0,例 计算 y(t) = p1(t) * p1(t)。,2019/6/13,35,c) 0 t 1,d) t 1,y (t) = 0,a) - t -1,b) -1 t 0,y (t) = 0,例 计算 y(t) = p1(t) * p1(t)。,2019/6/13,36,二、卷积的性质,1) 交换律 f1(t) * f2(t) = f2(t) * f1(t) 2) 分配律 ( f1(t) + f2(t) ) * f3(t) = f1(t) * f3(t) + f2(t) * f3(t) 3) 结合律 ( f1(t) * f2(t) ) * f3(t) = f1(t) * ( f2(t) * f3(t) ) 4) 平移特性 已知 f1(t) * f2(t) = y(t) 则 f1(t - t1) * f2(t - t2) = y(t - t1 - t2) 5) 展缩特性,2019/6/13,37,一、连续时间系统零状态响应的求解,t 表示计算系统响应的抽样点向量,a=a3, a2, a1, a0; b=b3, b2, b1, b0; sys=tf(b,a),y=lsim(sys,f,t),sys=tf(b,a),b和a分别为微分方程右端和左端各项的系数向量,f 是系统输入信号向量，,sys 是LTI系统模型，借助tf函数获得,利用MATLAB进行系统的时域分析,2019/6/13,38,二、连续系统冲激响应和阶跃响应求解,连续时间系统冲激响应可用impulse函数直接求出，其调用形式为,y=impulse(sys, t),连续时间系统阶跃响应可用step函数直接求出，其调用形式为,y=step(sys, t),t 表示计算系统响应的抽样点向量 sys 是LTI系统模型,2019/6/13,39,离散时间LTI系统的响应,迭代法求系统响应 经典时域法求系统响应 卷积法求系统响应 零输入响应求解 零状态响应求解,2019/6/13,40,离散时间LTI系统的响应,离散时间LTI系统 的数学模型为,2. 经典时域分析方法:,求解差分方程,3. 卷积法:,系统完全响应 = 零输入响应+零状态响应,求解齐次差分方程得到零输入响应,利用卷积和可求出零状态响应,系统响应求解方法:,1. 迭代法:,2019/6/13,41,一、迭代法,已知 n 个初始状态 y-1, y-2, y-2, y-n 和输入，由差分方程迭代出系统的输出。,2019/6/13,42,例 一阶线性常系数差分方程 yk-0.5yk-1=uk, y-1 = 1，用迭代法求解差分方程。,解： 将差分方程写成,代入初始状态，可求得,依此类推,缺点：很难得到闭合形式的解。但它非常适合用于计算机计算。,2019/6/13,43,二、经典时域分析方法,差分方程的全解即系统的完全响应, 由齐次解yhk和特解ypk组成:,齐次解yhk的形式由齐次方程的特征根确定,特解ypk的形式由方程右边激励信号的形式确定,2019/6/13,44, 齐次解 : 差分方程：,特征方程,齐次解的形式,(1) 特征根是不等实根 r1, r2, , rn,(2) 特征根是等实根 r1=r2=rn,(3) 特征根是成对共轭复根,2019/6/13,45, 特解：,与微分方程相同，特解形式与输入相关，求解方法也几乎与连续的一样。,常用激励信号对应的特解形式,ak (a不是特征根),ak (a是特征根),2019/6/13,46,例已知某二阶线性时不变离散时间系统的差分方程 yk-5yk-1+6yk-2 = f k 初始条件y0 = 0，y1 = -1，输入信号 f k = 2k uk，求系统的完全响应yk。,特征根为,齐次解yhk,解 ： (1) 求齐次方程yk-5yk-1+6yk-2 = 0的齐次解yhk,特征方程为,2019/6/13,47,(2) 求特解ypk,由输入f k的形式，设方程的特解为,将特解带入原差分方程即可求得常数A= -2。,(3) 求方程的全解，即系统的完全响应yk,解得 C1= -1，C2= 1,2019/6/13,48,经典法不足之处,若差分方程右边激励项较复杂，则难以处理。 若激励信号发生变化，则须全部重新求解。 若初始条件发生变化，则须全部重新求解。 这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响 应的物理概念。,2019/6/13,49,三、卷积法,系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应,1.系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应。,数学模型:,求解方法： 根据差分方程的特征根确定零输入响应的形式,再由初始状态确定待定系数。,2019/6/13,50,例 已知某线性时不变系统的动态方程式为: yk+3yk-1+2yk-2=fk 系统的初始状态为y-1=0， y-2= 1/2，求系统的零输入响应yzik 。,解： 系统的特征方程为,系统的特征根为,解得 C1=1，C2= -2,2019/6/13,51,例 已知某线性时不变系统的动态方程式为: yk+4yk-1+4yk-2=fk 系统的初始状态为y-1=0， y-2= 1/2，求系统的零输入响应yzik 。,解： 系统的特征方程为,系统的特征根为,（两相等实根）,解得 C1 = 4, C2= 4,2019/6/13,52,例 已知某线性时不变系统的差分方程式为: yk-0.5yk-1+yk-2 -0.5yk-3 =fk 系统的初始状态为y-1 = 2， y-2= -1， y-3= 8，求系统的零输入响应yzik 。,解： 系统的特征方程为,系统的特征根为,解得 C1= 1，C2= 0 ，C5= 5,2019/6/13,53,系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应,求解系统的零状态响应yzs k方法： 1) 直接求解初始状态为零的差分方程。 2) 卷积法： 利用信号分解和线性时不变系统的特性求解。,当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励f k产生的响应称为系统的零状态响应，用yzs k表示。,2.系统的零状态响应,2019/6/13,54,卷积法求解系统零状态响应yzs k的思路,1) 将任意信号分解为单位脉冲序列的线性组合 2) 求出单位脉冲序列作用在系统上的响应 单位脉冲响应 3) 利用线性时不变系统的特性，即可求出任意序列f k激励下系统的零状态响应yf k 。,2019/6/13,55,卷积法求解系统零状态响应yzs k推导,由时不变特性,由齐次特性,由叠加特性,设：,2019/6/13,56,离散时间系统的单位脉冲响应,单位脉冲响应hk定义 hk的求解 迭代法 等效初始条件法,2019/6/13,57,一、单位脉冲响应hk定义,单位脉冲序列 k作用于离散时间LTI系统所产生的零状态响应称为单位脉冲响应, 用符号hk表示。,对 N 阶LTI离散时间系统， hk满足方程,2019/6/13,58,二、 hk的求解,求解方法:,2) 等效初始条件法,将d k-j对系统的瞬时作用转化为系统的等效初始条件。,等效初始条件由差分方程和h-1 = h-2 = = h-n = 0 递推求出。,1) 迭代法,2019/6/13,59,例1 描述某离散因果LTI系统的差分方程为 求系统的单位脉冲响应hk。,解：hk满足方程,1) 求等效初始条件,对于因果系统有h-1 = h-2 = 0，代入上面方程可推出,注意：选择初始条件的基本原则是必须将dk的作用体现在初始条件中,可以选择h0和h1 或h-1和h0作为初始条件,2019/6/13,60,解：hk满足方程,2) 求差分方程的齐次解,特征方程为,特征根为,齐次解的表达式为,代入初始条件，有,解得 C1=-1，C2= 2,2019/6/13,61,卷积和的计算与性质,图解法计算卷积和 卷积和的性质 交换律 结合律 分配律 位移特性 差分与求和特性,2019/6/13,62,一、图解法计算卷积和,卷积和的定义为,计算步骤：,1) 将f k、hk中的自变量由k改为n； 2) 把其中一个信号翻转，如将hn翻转得 h-n ； 3) 把h-n平移k，k是参变量。k0图形右移，k0图形左移。 4) 将f n与 hk-n 相乘； 5) 对乘积后的图形求和。,2019/6/13,63,例1 已知f k = uk，hk = akuk，0a1，计算yk = f k*hk,2019/6/13,64,例1 已知f k = uk，hk = akuk，0a1，计算yk = f k*hk,k 0, f n与hk-n图形没有相遇,yk=0,2019/6/13,65,例1 已知f k = uk，hk = akuk，0a1，计算yk = f k*hk,k 0, f n与hk-n图形相遇,2019/6/13,66,例1 已知f k = uk，hk = akuk，0a1，计算yk = f k*hk,k 0，f n与hk-n图形相遇,k 0， f n与hk-n图形没有相遇,yk=0,2019/6/13,67,例2 计算 yk = RNk* RNk,2019/6/13,68,例2 计算 yk = RNk* RNk,k 0时, RN n与RN k-n图形没有相遇,yk = 0,0 k N -1时，重合区间为0，k,2019/6/13,69,例2 计算 yk = RNk* RNk,N-1 k 2N -2时，重合区间为k -(N-1) ，N-1,k 2N-2时，RN n与RN k-n图形不再相遇,yk = 0,2019/6/13,70,例2 计算 yk = RNk* RNk,k 0时, RN n与RN k-n图形没有相遇,yk = 0,0 k N -1时，重合区间为0，k,N-1 k 2N -2时， 重合区间为k -(N-1) ，N-1,k 2N-2时，RN n与RN k-n图形不再相遇,yk = 0,2019/6/13,71,三、卷积和的性质,交换律:,fk * hk = hk * fk,fk * h1k * h2k = f k * h1 k * h2 k,f k * h1 k + h2 k = f k * h1 k + f k * h2 k,结合律:,分配律:,2019/6/13,72,三、卷积和的性质,位移特性：,f k * d k-n = f k-n,推论：若fk*hk=yk，则,f k-n * hk- l = yk- (n+l),差分与求和特性：若fk*hk=yk,2019/6/13,73,解:,例5 计算 与 的卷积和。,利用位移特性,2019/6/13,74,冲激响应表示的系统特性,级联系统的冲激响应 并联系统的冲激响应 因果系统 稳定系统,2019/6/13,75,一、级联系统的冲激响应,根据卷积积分的结合律性质，有,h(t),2019/6/13,76,结论:,1)级联系统的冲激响应等于两个子系统冲激响应的卷积。,2)交换两个级联系统的先后连接次序不影响系统总的冲激响应。,两个离散时间系统的级联也有同样的结论。,2019/6/13,77,二、并联系统的冲激响应,应用卷积积分的分配律性质，有,h(t),2019/6/13,78,结论:,并联系统的冲激响应等于两个子系统冲激响应之和。,两个离散时间系统的并联也有同样的结论。,2019/6/13,79,例1 求图示系统的冲激响应，其中h1(t) = e-3t u(t)，h2(t) =(t -1) ，h3(t) = u(t)。,解：,子系统h1(t) 与h2(t) 级联， h3(t)支路与h1(t) h2(t) 级联支路并联。,2019/6/13,80,例2 求图示系统的单位脉冲响应，其中h1k =2kuk， h2k = dk-1 ，h3k = 3kuk， h4k = uk。,解：,子系统h2k与h3k 级联，h1k支路、全通支路与h2k h3k 级联支路并联，再与h4k级联。,全通支路满足,全通离散系统的单位脉冲响应为单位脉冲序列d k,2019/6/13,81,离散时间信号与系统,其中：b=b0,b1,bM , a=a0,a1,aN,x表示输入序列，y 表示输出序列。,系统的初始条件为零。,输出序列yk的长度和输入序列xk相同。,y=filter(b,a, x ),MATLAB提供了求解零状态差分方程的函数,利用MATLAB求解离散LTI系统响应,离散时间信号与系统,其中：b=b0,b1,bM , a=a0,a1,aN,x表示输入序列，y 表示输出序列。,系统的初始条件为零。,输出序列yk的长度和输入序列xk相同。,y=filter(b,a, x ),MATLAB提供了求解零状态差分方程的函数,利用MATLAB求解离散LTI系统响应,其中：b=b0,b1,bM , a=a0,a1,aN,x表示输入序列，y 表示输出序列。,系统的初始条件为零。,输出序列yn的长度和输入序列xn相同。,y=filter(b,a, x ),MATLAB提供了求解零状态差分方程的函数,利用MATLAB求解离散LTI系统响应,2019/6/13,82,解：M点的滑动平均系统的输入-输出关系为,原始信号：,噪声干扰的信号：,噪声信号：,例: 利用 M点的滑动平均系统去噪,利用M点的滑动平均系统从信号xk中滤去噪声信号nk,xk=sk+n k,nk,sk=(2k)0.9k,2019/6/13,83,% Signal Smoothing by Moving Average Filter,N = 101;,%generate (-0.5, 05)Uniformly distributed random numbers,n = rand(1,N)-0.5;,k=0:N-1;,s=2*k.*(0.9.k);,x=s+n;,subplot(2,1,1);,plot(k,n,r-., k,s,b-, k,x,g-);,xlabel(Time index k);,legend(nk,sk, xk);,M =5; b = ones(M,1)/M; a =1;,y = filter(b,a,x);,Subplot(2,1,2);,plot(k,s,b-, k,y,r-);,xlabel(Time index k); legend(sk,yk);,2019/6/13,84,例: 利用 M点的滑动平均系统去噪,2019/6/13,85,综合例题 1. 已知某连续因果LTI系统的微分方程为 求: (1)零输入响应yx(t) (2) 冲激响应h(t)、零状态响应yf(t) (3)完全响应、固有响应、强迫响应 (4)判断该系统是否稳定。,解：,(1),系统的特征方程为 s2 + 7s + 12 = 0,特征根为 s1 =