高中全程复习方略配套课件：8.8抛物线(人教A版·数学理)浙江专用.ppt

第八节 抛物线,三年15考 高考指数: 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 2.理解数形结合的思想. 3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用.,1.抛物线的定义、标准方程、几何性质是高考的重点，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的转化是高考的热点，有时与其他知识交汇命题； 2.多以选择题和填空题为主，属中、低档题目，有时也会在解答题中出现，属中、高档题目.,1.抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线 (1)在平面内； (2)动点到定点F距离与到定直线l的距离_； (3)定点_定直线上.,相等,不在,【即时应用】 (1)思考：在抛物线的定义中，若定点F在定直线l上，动点的轨迹是什么？ 提示：若定点F在定直线l上，则动点的轨迹为过点F与定直线l垂直的一条直线.,(2)若动点P到点F(0,-2)的距离与它到直线y-2=0的距离相等，则点P的轨迹方程为_. 【解析】由抛物线的定义知，点P的轨迹是以点F(0,-2)为焦点， y=2为准线的抛物线，其方程为：x2=8y. 答案：x2=8y,2.抛物线的标准方程和几何性质,【即时应用】 (1)思考：抛物线y2=2px(p0)上任意一点M（x0，y0） 到焦点F的距离与点M的横坐标x0有何关系?若抛物线方程 为x2=2py(p0)，结果如何? 提示：由抛物线的定义得：|MF|=x0+ ； 若抛物线方程为x2=2py(p0)，则|MF|=y0+ .,(2)抛物线y=-4x2的焦点坐标为_. 【解析】抛物线y=-4x2的标准方程为x2=- y，所以2p= ， 再由抛物线的焦点在y轴的非正半轴上，所以抛物线的焦点坐 标为(0, ). 答案：(0,- ),(3)顶点在原点，对称轴是x轴，且顶点与焦点的距离等于6 的抛物线方程是_. 【解析】因为抛物线顶点与焦点的距离等于6，所以 =6， 又因为顶点在原点，对称轴是x轴，所以抛物线方程为： p2=24x. 答案: y2=24x,抛物线的定义及其应用 【方法点睛】 利用抛物线的定义可解决的常见问题 (1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线； (2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距离问题时，注意利用两者之间的转化在解题中的应用.,【提醒】注意一定要验证定点是否在定直线上.,【例1】(1)(2012杭州模拟）设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B， C为该抛物线上的三点，若 =( ) （A）9 （B）6 （C）4 （D）3 (2)若点P到直线x+1=0的距离比它到点M(2,0)的距离小1，则点P的 轨迹为_. (3)设P是抛物线y2=4x上的一动点， 求点P到A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值； 若B(3,2)，抛物线的焦点为F，求|PB|+|PF|的最小值.,【解题指南】（1）由题意得 同理可得 而后利用 A、B、C三点的横坐标和可求. (2)本题可化为动点到定点的距离与到定直线的距离相等， 即轨迹为抛物线； (3)注意到直线x=-1为抛物线的准线，利用抛物线上的点 到焦点的距离与到准线的距离相等，即可解决.,【规范解答】（1）选B.设点A（xA,yA）,B（xB,yB）, C（xC,yC），由题意知F（1，0）， 则有xA-1+xB-1+xC-1=0,即xA+xB+xC=3. 所以 =（xA+xB+xC）+3 =3+3=6，故选B. (2)因为点P到直线x+1=0的距离比它到点M(2,0)的距离小1， 所以点P到直线x=-2的距离与它到点M(2,0)的距离相等， 且M(2,0)不在直线x=-2上，故轨迹为抛物线. 答案:抛物线,(3)由于A(-1,1)，F(1,0),P是抛物线上的任意一点， 则|AP|+|PF|AF|= ，从而知点P到A(-1,1) 的距离与点P到F(1,0)的距离之和的最小值为 ，所以 点P到A(-1,1)的距离与P到直线x=-1的距离之和的最小值为 .,如图所示，自点B作BQ垂直于抛物线的准线于点Q，交抛物线于 点P1，此时P1Q|P1F|，那么PB|+|PF|P1B|+|P1Q|=|BQ| =4,即最小值为4.,B(3，2）,Q,F,P1,【互动探究】(1)本例(2)中“M(2,0)”改为“M(-2,0)”， 结果如何？ (2)本例(3)中“B(3,2)”改为“ B(1,5)”，结果如何？,【解析】(1)本例(2)中“M(2,0)”改为“M(-2,0)”，则说明动点P到定点M(-2,0)的距离与它到定直线x=-2的距离相等，且点M在定直线上，所以点P的轨迹为一条直线； (2)因为点B的坐标为(1,5)，且抛物线方程为y2=4x，所以该点在抛物线外，要求使|PB|+|PF|最小的点P，只需BF连线与抛物线相交，其交点即为所求P点，此时，最小值即|BF|的长,|BF|=5.,【反思感悟】本题（2）是利用抛物线的定义来求解，在求轨迹或轨迹方程时一定要注意圆锥曲线的定义，这样能起到事半功倍的效果. 2.与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关，将点到准线的距离转化为点到焦点的距离，或将到焦点的距离转化为到准线的距离.,【变式备选】若动圆与圆(x-2)2+y2=1外切，又与直线x+1=0相切，求动圆圆心的轨迹方程.,【解析】方法一：设动圆半径为r,动圆圆心坐标为O(x,y), 因动圆与圆(x-2)2+y2=1外切,则O到(2,0)的距离为r+1, 动圆与直线x+1=0相切，O到直线x+1=0的距离为r. 所以O到(2,0)的距离与到直线x=-2的距离相等, 故O的轨迹是以(2,0)为焦点,直线x=-2为准线的抛物线， 其方程为y2=8x.,方法二：设动圆圆心坐标为O(x,y)，动圆半径为r, 据题意有 化简得y2=8x,即动圆圆心的轨迹方程为y2=8x.,抛物线的标准方程与性质 【方法点睛】 1.求抛物线的标准方程的方法及注意事项 （1）方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以，只需一个条件确定p值即可； （2）注意事项：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量.,2.抛物线的标准方程及其性质的应用 由抛物线的方程可求x、y的范围，从而确定开口方向；由方程可判断其对称轴，求p值，确定焦点坐标等. 【提醒】抛物线方程中的参数p0，其几何意义是焦点到准线的距离.,【例2】(2011山东高考）设M(x0，y0)为抛物线C：x2=8y 上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆 和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( ) (A)(0，2) (B)0，2 (C)（2，+） (D)2，+),【解题指南】本题可先求抛物线的准线，由圆与准线相交知动圆半径的范围，再由抛物线方程求得点M纵坐标的取值范围.,【规范解答】选C.设圆的半径为r，因为F(0，2)是圆心， 抛物线C的准线方程为y=-2，由圆与准线相交知416，所以8y0+(y0-2)216， 即有 +4y0-120，解得y02或y02.,【反思感悟】1.解答本题的关键是直线与圆相交，圆的半径大于圆心到直线的距离. 2.当点在曲线上时，点的坐标适合曲线方程，这一条件在求最值、范围、解方程中应用比较广泛，但容易被忽视.,【变式训练】将两个顶点在抛物线y2=2px(p0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则( ) (A)n=0 (B)n=1 (C)n=2 (D)n3,【解析】选C. 根据抛物线的对称性， 正三角形的两个顶点一定关于x轴对称，且过焦点的两条直线倾斜角分别为30和150，这时过焦点的直线与抛物线最多只有两个交点，如图，所以正三角形的个数n=2.,【变式备选】已知抛物线y2=2px(p0)的准线与圆x2+y2-6x-7=0 相切，则p的值为( ) (A) (B)1 (C)2 (D)4 【解析】选C.由y2=2px，得抛物线准线方程x=- ， 圆x2+y2-6x-7=0可化为(x-3)2+y2=16， 由圆心到准线的距离等于半径得：3+ =4，所以p=2.,直线与抛物线的位置关系 【方法点睛】 1.直线与抛物线的位置关系的判定 设直线方程Ax+By+C=0与抛物线方程y2=2px(p0)联立，消去x得到关于y的方程my2+ny+l=0.,直 线 与 抛物线,方程特征,公共点个数,位置关系,m=0,m0 0,m0 =0,m0 0,1,2,1,0,直线与抛物线的对称轴平行或重合，两者相交,相交,相切,相离,2.直线与抛物线相交的几个结论 已知抛物线y2=2px(p0)，过其焦点的直线交抛物线于A、B两 点，设A(x1，y1)、B(x2，y2) ，则有以下结论： (1)AB|=x1+x2+p或|AB|= （为AB所在直线的倾斜角）； (2)x1x2= ； (3)y1y2-p2； (4)过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p.,【提醒】直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行（或重合）时，直线与抛物线也只有一个交点.,【例3】已知抛物线C：y2=2px(p0)过点A(1,-2). (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程； (2)是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l ，使得直线l与抛 物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于 ？ 若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由.,【解题指南】（1）用待定系数法求出抛物线方程及其准线方 程；（2）依题意设直线l的方程为y=-2x+t，联立直线与抛物线 的方程，利用判别式限制参数t的范围，再由直线OA与直线l的 距离等于 列出方程，求出t的值.,【规范解答】(1)将（1，2)代入y2=2px，得(-2)2=2p1， p=2，故所求的抛物线方程为y2=4x，其准线方程为x=-1. （2）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=-2x+t， 由 得y2+2y-2t=0，因为直线l与抛物线C有公共点， 所以=4+8t0，解得t- .另一方面，由直线OA与 直线l的距离等于 可得 = ，t=1，由于 1 ,+），1- ，+）， 所以符合题意的直线l存在，其方程为y=-2x+1.,【反思感悟】1.求抛物线方程，一般是先设出抛物线方程（注意抛物线的开口方向，焦点的位置），用待定系数法求解； 2.研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是联立两曲线方程，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的灵活应用.,【变式训练】已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x-4与抛物 线C交于A，B两点则cosAFB =( ) (A) (B) (C)- (D)- 【解析】选D.联立 消y得x2-5x+4=0，解得x=1或x=4. 不妨设A在x轴上方，于是A，B的坐标分别为(4，4)，(1，-2)， 可求AB=3 ，AF=5，BF=2，利用 余弦定理,【满分指导】直线与抛物线综合问题的规范解答 【典例】 （14分）（2011福建高考）已知直线l：y=x+m， mR. (1)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上， 求该圆的方程； (2)若直线l关于x轴对称的直线为l，问直线l与抛物线 C：x2=4y是否相切？说明理由.,【解题指南】(1)设出点P坐标,根据切线特点求出点P坐标，从而求出圆的半径，然后写出圆的标准方程；也可根据条件设出圆的方程，然后根据直线与圆相切的条件，列式求解. (2)由l的方程求得l的方程，将l的方程与抛物线C的方程联立，得一元二次方程，然后依据对应判别式来判定两者能否相切.,【规范解答】方法一：(1)依题意，点P的坐标为(0,m). 因为MPl,所以 1. 解得m=2，即点P坐标为(0,2) 4分 从而圆的半径 故所求圆的方程为(x-2)2+y2=8. 6分,(2)因为直线l的方程为y=x+m， 所以直线l的方程为y=-x-m. 8分 由 得x2+4x+4m=0. 4244m=16(1-m). 10分 当m=1，即=0时，直线l与抛物线C相切； 当m1，即0时，直线l与抛物线C不相切. 12分 综上，当m=1时，直线l与抛物线C相切；当m1时， 直线l与抛物线C不相切. 14分,方法二：(1)设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为 （x-2)2+y2=r2 . 依题意，所求圆与直线l：y=x+m相切于点P(0,m) ， 则 4分 所以所求圆的方程为(x-2)2+y2=8. 6分 (2)同方法一.,【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：,1.(2011新课标全国卷）已知直线l过抛物线C的焦点F，且与C的对称轴垂直，l与C交于A、B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则 ABP的面积为( ) （A）18 （B）24 （C）36 （D）48 【解析】选C.由题知AB2p12，得p=6，又点P到直线AB的 距离为p=6，SABP= |AB|6=36.,2.(2011辽宁高考）已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该 抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距 离为( ) （A） （B）1 （C） （D） 【解析】选C.设A(x1，y1)，B(x2 ，y2),由抛物线的定义可知， |AF|=x1+ =x1+ ，|BF|=x2+ =x2+ ，又因为|AF|+|BF|=3， 得x1+x2= ，所以线段AB的中点横坐标x0= ， 所以选C,3.(2011天津高考）已知双曲线 (a0，b0)的 左顶点与抛物线y2=2px(p0)的焦点的距离