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第四章线性方程组,4.1齐次线性方程组,解向量的概念,设有齐次线性方程组,若记,（1）,一、齐次线性方程组的解,则上述方程组（1）可写成向量方程,若,称为方程组(1) 的解向量，它也就是向量方程 (2)的解,齐次线性方程组解的性质,证明,（2）若 为 的解， 为实数，则 也是 的解,证明,由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线 性方程组 的解空间,证毕.,3基础解系的定义,证 直接验证它们构成基础解系的三个条件。首先，它们的个数与已给的基础解系,.齐次线性方程组的通解的求法,现对 取下列 组数：,依次得,从而求得原方程组的 个解：,可以看出 是齐次线性方程组解空 间的一个基,所以 个 维向量 亦线性无关.,说明,解空间的基不是唯一的,解空间的基又称为方程组的基础解系,若 是 的基础解系，则 其通解为,解,对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩 阵，有,例2 解线性方程组,解,对系数矩阵施 行初等行变换,即方程组有无穷多解，,其基础解系中有三个线性无关的解向量.,所以原方程组的一个基础解系为,故原方程组的通解为,例3,证,见书上例题6、7、8（P115-116）,齐次线性方程组基础解系的求法,四、小结,（1）对系数矩阵 进行初等变换，将其化为 最简形,由于,令,（2）得出 ，同时也可知方程组的一 个基础解系含
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