信号与系统教案第4章.ppt

第四章 连续系统的频域分析,时域分析，以冲激函数为基本信号，任意输入信号 可分解为一系列冲激函数；而yf(t) = h(t)*f(t)。 频域分析将以正弦信号和虚指数信号ejt为基本信号，任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和。 用于系统分析的独立变量是频率，故称频域分析。,第四章 连续系统的频域分析,为何要引入信号与系统的频域分析?,信号频域分析的理论基础是将信号表示为正弦类（虚指数）信号，其提供了一种全新的信号分析与处理的视角，具有诸多的优越性。,第四章 连续系统的频域分析,为何要引入信号与系统的频域分析?,第四章 连续系统的频域分析,为何要引入信号与系统的频域分析?,第四章 连续系统的频域分析,为何要引入信号与系统的频域分析?,原信号的时域波形,原信号的频谱,第四章 连续系统的频域分析,为何要引入信号与系统的频域分析?,含噪信号的时域波形,含噪信号的频谱,第四章 连续系统的频域分析,为何要引入信号与系统的频域分析?,滤波后信号的频谱,滤波后信号的波形,滤波器的幅度响应,为何要引入信号与系统的频域分析?,时间/秒,男生信号时域波形,时间/秒,女生信号时域波形,为何要引入信号与系统的频域分析?,频率/Hz,男生信号幅度频谱,频率/Hz,女生信号幅度频谱,标准图像Lena,为何要引入信号与系统的频域分析?,为何要引入信号与系统的频域分析?,幅度不变相位置零所恢复的图象,幅度为常数相位不变所恢复的图象,第四章 连续系统的频域分析,4.1 信号分解为正交函数 4.2 傅里叶级数 4.3 周期信号的频谱 4.4 非周期信号的频谱傅里叶变换 4.5 傅里叶变换的性质 4.7 周期信号的傅里叶变换 4.8 LTI系统的频域分析 4.9 取样定理,点击目录 ，进入相关章节,第四章 连续系统的频域分析,时域分析，以冲激函数为基本信号，任意输入信号 可分解为一系列冲激函数；而yf(t) = h(t)*f(t)。 频域分析将以正弦信号和虚指数信号ejt为基本号， 任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和。 用于系统分析的独立变量是频率，故称频域分析。,4.1 信号分解为正交函数,4.1 信号分解为正交函数,一、矢量正交与正交分解,矢量正交：矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)与Vy = ( vy1, vy2, vy3) 其内积为0。即,由两两正交的矢量组成的矢量集合-称为正交矢量集。,如vx=(2，0，0)、vy=(0，2，0)、vz=(0，0，2)是一个正交矢量集。,如对于一个三维空间的矢量A ，可以用一个三维正交矢量集 vx，vy，vz分量的线性组合表示。即 A= C1vx+ C2 vy+ C3 vz,矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间，在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。,4.1 信号分解为正交函数,二、信号正交与正交函数集,定义,定义在(t1，t2)区间的两个函数 1(t)和 2(t),若满足,(两函数的内积为0),则称 1(t)和 2(t) 在区间(t1，t2)内正交。,正交函数集,若n个函数 1(t)， 2(t)， n(t)构成一个函数集，当这些函数在区间(t1，t2)内满足,则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。,4.1 信号分解为正交函数,完备正交函数集,如果在正交函数集1(t)， 2(t)， n(t)之外，不存在函数(t)(0）满足,则称此函数集为完备正交函数集。,例如：三角函数集1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2, 和虚指数函数集ejnt，n=0，1，2，是两组典型的在区间(t0，t0+T)(T=2/)上的完备正交函数集。,( i =1，2，n),4.1 信号分解为正交函数,三、信号分解为正交函数,设有n个函数 1(t)， 2(t)， n(t)在区间(t1，t2)构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交函数的线性组合来近似，可表示为 f(t)C11+ C22+ Cnn,如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差在区间(t1，t2)内为最小？,通常使误差的均方值(称为均方误差)最小。均方误差为,4.1 信号分解为正交函数,为使上式最小,展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为0，写为,即,所以系数,4.1 信号分解为正交函数,代入，得最小均方误差（推导过程见教材）,当n时（为完备正交函数集），均方误差为零。此时有,上式为帕斯瓦尔方程，表明：在区间(t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。,函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和（完备）,f(t)C11+ C22+ Cnn,4.2 傅里叶级数,4.2 傅里叶级数（周期信号）,一、傅里叶级数的三角形式,设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数 称为f(t)的三角形傅里叶级数,系数an , bn称为傅里叶系数,可见， an 是n的偶函数， bn是n的奇函数。,n=0,1,2,n=1,2,4.2 傅里叶级数,4.2 傅里叶级数,狄里赫利条件 在f(t)的任意一个周期内， f(t)绝对可积 在f(t)的任意一个周期内， f(t)仅有有限个最大值点和最小值点 在f(t)的任意一个周期内， f(t)仅有有限个不连续点,a为任意实数,一般的周期性信号都满足Dirichlet条件,4.2 傅里叶级数,式中，A0 = a0,上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 即周期信号可分解为各次谐波分量。,可见An是n的偶函数， n是n的奇函数。 an = Ancosn， bn = Ansin n，n=1,2,将上式同频率项合并，可写为,4.2 傅里叶级数,例：将图中所示方波信号f(t)展开为傅里叶级数。,解：,因为 ，所以 。,n=1,n=3,n=10,n=50,n=100,n=900,方波的组成,4.2 傅里叶级数,吉布斯现象,4.2 傅里叶级数,二、奇、偶函数的傅里叶级数,f(t)为偶函数对称纵坐标,bn =0，展开为余弦级数。,f(t)为奇函数对称于原点,an =0，展开为正弦级数。,f(t)为奇谐函数f(t) = f(tT/2),其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分量即 a0=a2=b2=b4=0,4.2 傅里叶级数,上式中第三项的n用n代换，A n=An， n= n， 则上式写为,令A0=A0ej0ej0t ，0=0,所以,三、傅里叶级数的指数形式,欧拉方程：,4.2 傅里叶级数,令复数,称其为复傅里叶系数，简称傅里叶系数。,n = 0, 1, 2，,表明：任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。 F0 = A0/2为直流分量。,4.3 周期信号的频谱,4.3 周期信号的频谱及特点,一、周期信号的频谱,周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系。 将An和n的关系分别画在以为横轴的平面上得到的两个图，分别称为幅度频谱图和相位频谱图。因为n0，所以称这种频谱为单边谱。 画|Fn|和n的关系，称为双边谱。若Fn为实数，也可直接画Fn 。,例,谱线,4.3 周期信号的频谱,周期信号的频谱特点 离散性：谱线是离散的而不是连续的。 谐波性：谱线在频率轴上的位置是基频的整数倍。 收敛性：谱线的趋势是随着谐波次数的增高而逐渐减小的。,偶函数,奇函数,例：如图所示为周期信号的振幅频谱和相位频谱，写出其傅里叶级数三角函数展开式。,4.3 周期信号的频谱,4.3 周期信号的频谱,二、周期矩形脉冲的频谱,有一幅度为1，脉冲宽度为的周期矩形脉冲，其周期为T，如图所示。求频谱。,令Sa(x)=sin(x)/x (取样函数）,n = 0 ,1，2，,4.3 周期信号的频谱, n = 0 ,1，2，,Fn为实数，可直接画成一个频谱图。设T = 4画图。,零点为,特点： (1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置是基频的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。,4.3 周期信号的频谱,周期矩形的频谱变化规律：,若T不变，在改变的情况 若不变，在改变T时的情况,T,4.3 周期信号的频谱,谱线的结构与波形参数的关系：,T一定，变小，此时（谱线间隔）不变。信号带宽增大，频带内所含谱线数目增多。各谐波分量的幅度减小。 一定，T增大，间隔减小，频谱变密。频谱包络线的零点所在位置不变。各谐波分量的幅度减小。 如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过渡到非周期信号的连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。,三、周期信号的功率Parseval恒等式,周期信号的功率等于直流功率和n次谐波分量在1电阻上消耗的功率之和。 |Fn| = An/2,周期信号一般是功率信号，其平均功率为,4.3 周期信号的频谱,傅里叶变换的意义,4.4 傅里叶变换,T 1无穷小 谱线间隔无限小 离散谱连续谱,傅里叶变换的意义,4.4 傅里叶变换,称为频谱密度函数,傅里叶变换的意义,4.4 傅里叶变换,F(j)称为频谱密度函数,4.4 傅里叶变换,4.4 非周期信号的频谱傅里叶变换,一、傅里叶变换,非周期信号f(t)可看成是周期T时的周期信号。 周期T趋近于无穷大时，谱线间隔趋近于无穷小， 信号的频谱变为连续频谱。 各频率分量的幅度也趋近于无穷小，但它们之间仍有 差别。 为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概 念。令,(单位频率上的频谱）,称F(j)为频谱密度函数。,4.4 傅里叶变换,考虑到：T，无穷小，记为d； n （由离散量变为连续量），而,同时， ,于是，,傅里叶变换式“-”,傅里叶反变换式,F(j)称为f(t)的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱。 f(t)称为F(j)的傅里叶反变换或原函数。,根据傅里叶级数,4.4 傅里叶变换,说明 ：函数f(t)的傅里叶变换存在的充分条件:,上式表明,非周期信号可看作是由不同频率的余弦“分 量”所组成，振幅为 ，是无穷小量。 所以频谱用密度函数来表示。,幅度谱：信号中各频率下的谱密度相对大小随变化的关系。|F()|-曲线 相位谱：信号中各频率的相位随变化的关系。F()-曲线 幅度谱和相位谱统称为信号的频谱。,4.4 傅里叶变换,频谱,当f (t)为实函数时， 幅度频谱是偶函数 相位频谱是奇函数,4.4 傅里叶变换,频谱,傅里叶变换存在的充分条件,4.4 傅里叶变换,信号存在傅里叶变换的充分条件,非必要条件,如：单位直流信号,4.4 傅里叶变换,二、常用函数的傅里叶变换,单边指数函数f(t) = et(t)， 0实数,2. 双边指数函数f(t) = et , 0,4.4 傅里叶变换,3. 门函数(矩形脉冲),4. 冲激函数(t)、(t),冲激信号频谱特点 时域中变化剧烈，幅频为常数，即所有频率分量的幅度相等。 相频为零，即不同频率的相位相同。 不同频率的幅值相同且同相位，称为均匀谱或白色谱。,4.4 傅里叶变换,带限 m时傅里叶变换F()为零的信号f (t) 称为带限 m称为信号的带宽 时限 如果信号f (t)存在一个正实数T，当| t | T时， f (t)=0，则称该信号为时限 带限信号不能是时限的 带限信号在时域上是无限连续时间的 时限信号必须是无限带宽的,4.4 傅里叶变换,带限信号,4.4 傅里叶变换,5. 单位直流信号的频谱,有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1，(t) 等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。 可构造一函数序列fn(t)逼近f (t) ，即,而fn(t)满足绝对可积条件，并且fn(t)的傅里叶变换所形成的序列Fn(j)是极限收敛的。则可定义f(t)的傅里叶变换F (j)为,这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换。,4.4 傅里叶变换,构造 f(t)=e-t ， 0,所以,又,因此， 12(),所以有:,6. 符号函数,4.4 傅里叶变换,7. 阶跃函数(t),4.4 傅里叶变换,归纳记忆：,1. F 变换对,2. 常用函数 F 变换对：,(t),(t),e -t (t),g(t),sgn (t),e |t|,1,1,2(),从傅立叶级数到傅立叶变换的好处,4.4 傅里叶变换,级数只能分析周期信号的频谱,而傅立叶变换对非 周期和周期信号都可分析,使两者的频谱分析统一。,傅立叶变换重点分析单脉冲波形的频谱。当确定 f(t) 后，相应F (j)之包络也被确定，在传输中占有频 带及频带外引入的失真的情况可确定。,傅立叶变换可对奇异函数进行频谱分析，如(t)。,傅立叶变换性质的应用构成了当代通信、信号处理 技术的理论核心。,4.5 傅里叶变换的性质,傅里叶变换建立了信号时域和频域的对应关系。 在某域分析有困难时，可以转换到另一个域进行分 析计算。 有些信号的傅里叶变换很难求，利用傅里叶变换的 性质，可以简捷地得到。,傅立叶变换性质的应用构成了当代通信、信号 处理技术的理论核心。,4.5 傅里叶变换的性质,4.5 傅里叶变换的性质,4.5 傅里叶变换的性质,一、线性(Linear Property),If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j) then,Proof: F a f1(t) + b f2(t),= a F1(j) + b F2(j) ,a f1(t) + b f2(t) a F1(j) + b F2(j) ,4.5 傅里叶变换的性质,For example F(j) = ?,Ans: f (t) = f1(t) g2(t),f1(t) = 1 2(),g2(t) 2Sa(), F(j) = 2() - 2Sa(),-,g (t) Sa( /2),4.5 傅里叶变换的性质,二、奇偶性(Parity),If f(t) is real, then,= R() + jX(),So that,R()= R() , X() = X () |F(j)| = |F( j)| , () = () (2) If f(t) = f(-t) ,then X() = 0, F(j) = R() If f(t) = -f(-t) ,then R() = 0, F(j) = jX(),4.5 傅里叶变换的性质,令 ,得,= F (-j),= R() -jX(),R()= R() , X() = X (),4.5 傅里叶变换的性质,三、对称性质(Symmetrical Property),If f (t) F(j) then,Proof:,（1）,in (1) t ，t then,（2）,in (2) - then, F(j t) 2f () end,F( jt ) 2f (),4.5 傅里叶变换的性质,For example 1,求取样函数 的频谱函数。,Ans:,取 ，即 ，且幅度为 。,4.5 傅里叶变换的性质,For example 2,Ans:,4.5 傅里叶变换的性质,四、尺度变换性质(Scaling Transform Property),If f (t) F(j) then,where “a” is a nonzero real constant.,Proof:,F f (a t ) =,For a 0 ,F f (a t ) ,for a 0 ,F f (a t ) ,That is ,f (a t ) ,4.5 傅里叶变换的性质,Also,letting a = -1,f (- t ) F( -j),f (a t ) ,信号在时域中沿纵轴反转，等效于在频域中频谱也沿纵轴反转,在时域扩展信号的持续时间，对应于在频域中压缩它的频率范围,在通信技术中，提高通信速度（减小脉冲宽度）和减小占用频带宽度是一对矛盾,4.5 傅里叶变换的性质,四、尺度变换性质(Scaling Transform Property),4.5 傅里叶变换的性质,五、时移性质(Timeshifting Property),If f (t) F(j) then,where “t0” is real constant.,Proof: F f (t t0 ) ,信号在时域中沿时间轴左移或右移t0 ，其傅里叶变换的幅度谱不变，相位谱增加或减少t0,4.5 傅里叶变换的性质,For example 1,Given that f (t)F( j), find f (at b) ?,Ans: f (t b),e -jb F( j),f (at b) ,or,f (at) ,f (at b) =,4.5 傅里叶变换的性质,For example 2 F(j) = ?,Ans: f1(t) = g6(t - 5) , f2(t) = g2(t - 5),g6(t - 5) ,g2(t - 5) , F(j) =,+,4.5 傅里叶变换的性质,六、频移性质(Frequency Shifting Property),If f (t) F(j) then,Proof:,where “0” is real constant.,F e j0t f(t),= F j(-0) end,若时间信号乘以 或 ，等效于f (t)的频谱沿频率轴右移（滞后）或左移（超前）0,4.5 傅里叶变换的性质,For example 1,f(t) = cos0t F(j) = ?,Ans:,F(j) = (+0)+ (-0),For example 2,Given that f(t) F(j),The modulated signal f(t) cos0t ?,若时间信号f (t)乘以cos0t或sin0t，相当于f (t)的频谱一分为二，沿频率轴向左和向右平移0,4.5 傅里叶变换的性质,七、卷积性质(Convolution Property),Convolution in time domain：,If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j) Then f1(t)*f2(t) F1(j)F2(j),Convolution in frequency domain：,If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j),Then f1(t) f2(t) F1(j)*F2(j),4.5 傅里叶变换的性质,For example 1,Ans:,Using symmetry,4.5 傅里叶变换的性质,For example 2,Ans:,4.5 傅里叶变换的性质,八、时域的微分和积分 (Differentiation and Integration in time domain),If f (t) F(j) then,若 ,则,4.5 傅里叶变换的性质,For example 1,Determine f (t) F (j),Ans:,f ”(t) = (t+2) 2 (t) + (t 2),F2(j)= F f ”(t) = e j2 2 + e j2= 2cos(2) 2,F (j) =,F2(0)=0,4.5 傅里叶变换的性质,求门函数 的积分f(t)的频谱函数。,Ans:,有Sa(0)=1,For example 2,4.5 傅里叶变换的性质,注意：某些函数，虽有 ，但有可能,因为若设 ，则有,当 时，对上式进行傅里叶变换，得,4.5 傅里叶变换的性质,但 故,解:,F(0)=2,且 故,4.5 傅里叶变换的性质,九、频域的微分和积分 (Differentiation and Integration in frequency domain),If f (t) F(j) then,(jt)n f (t) F(n)(j),where,For example 1,Determine f (t) = t(t) F (j)=?,Ans:,十、能量谱和功率谱,证明:,4.5 傅里叶变换的性质,帕斯瓦尔方程,若f(t)是能量信号，且 ，则,4.5 傅里叶变换的性质,能量密度函数（能量谱） Js 单位频率的信号能量，表征能量在频域中的分布情况。,|F(j)|2,功率密度函数（功率谱）Ws 信号功率 功率密度函数,单位频带内信号功率随频率分布的情况,十、能量谱和功率谱,4.7 周期信号的傅里叶变换,4.7 周期信号傅里叶变换,一、正、余弦的傅里叶变换,12() 由频移特性得 e j 0 t 2(0 ) e j 0 t 2(+0 ) cos(0t)=(e j 0 t + e j 0 t) (0 ) +(+0 ) sin(0t)= (e j 0 t - e j 0 t)/(2j) j(+0 ) ( 0 ),4.7 周期信号傅里叶变换,二、一般周期信号的傅里叶变换,解：,(1),周期函数的傅里叶变换是由一系列冲激函数组成的离散函数,4.7 周期信号傅里叶变换,例2：周期信号如图，求其傅里叶变换。,解：周期信号f(t)也可看作一时限非周期信号f0(t)的周期拓展。即,f(t) = T(t)* f0(t),F(j) =,本题 f0(t) = g2(t),F(j) = () F0(j),(2),周期信号的傅里叶变换和傅里叶系数都是离散频谱，具有相同的包络线。 傅里叶系数代表各频率分量的幅度，是有限值。 傅里叶变换则代表频谱密度，是位于n1处的冲激函数。,周期信号的傅里叶变换,4.7 周期信号傅里叶变换,4.7 周期信号傅里叶变换,(2)式与 (1)式比较，得,这也给出求周期信号傅里叶级数的另一种方法。,三、傅里叶系数与傅里叶变换,(1),4.7 周期信号傅里叶变换,例：,将下图所示周期信号fT(t)展开成指数型傅里叶级数。,解：,4.7 周期信号傅里叶变换,4.8 LTI系统的频域分析,4.8 LTI系统的频域分析,傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率的虚指 数函数之和。,对周期信号：,对非周期信号：,其基本信号为 ej t,一、基本信号ej t作用于LTI系统的响应,说明：频域分析中，信号的定义域为(，)，而t= 总可认为系统的状态为0，因此本章的响应指零状态响应，常写为y(t)。,4.8 LTI系统的频域分析,设LTI系统的冲激响应为h(t)，当激励是角频率的 基本信号ej t时，其响应,而上式积分 正好是h(t)的傅里叶变 换，记为H(j )，常称为系统的频率响应函数。,yf(t) = H(j ) ej t,H(j )反映了响应yf(t)的幅度和相位。,yf(t) = h(t)* ej t,4.8 LTI系统的频域分析,二、一般信号f(t)作用于LTI系统的响应,ej t,H(j ) ej t,F(j ) ej t d ,F(j )H(j ) ej t d ,齐次性,可加性,f(t),yzs(t) =F 1F(j )H(j ) ,YZS(j ) = F(j )H(j ),yf(t) = h(t)* f(t),4.8 LTI系统的频域分析,频率响应H(j)可定义为系统零状态响应的傅里叶 变换Y(j)与激励f(t)的傅里叶变换F(j)之比，即,H(j)是的偶函数，()是的奇函数。,频域分析法步骤：,傅里叶变换法,幅频特性,相频特性,4.8 LTI系统的频域分析,三、频率响应H(j)的求法,H(j) = F h(t),H(j) = Y(j)/F(j),例1：某系统的微分方程为 y(t) + 2y(t) = f(t) 求f(t) = e-t(t)时的响应y(t)。,解：微分方程两边取傅里叶变换,jY(j) + 2Y(j) = F(j),由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。 由电路直接求出。,4.8 LTI系统的频域分析,f(t) = e-t(t),Y(j) = H(j)F(j),y(t) = (e-t e-2t )(t),例2：如图电路，R=1，C=1F，以uC(t)为输出，求其h(t)。,解：画电路频域模型,h(t)= e-t (t),4.8 LTI系统的频域分析,四、无失真传输与滤波,系统对信号的作用,无失真传输,信号无失真传输是指系统的输出信号与输入信号相比，只有 幅度的大小和出现时间的先后不同，而没有波形上的变化。 输入信号为f(t)，经过无失真传输后，输出信号应为 yf(t) = K f(ttd) 频谱关系为 YF(j)=Ke jtdF(j),信号的传输，要求信号尽量不失真传输 滤波，滤去或削弱不需要有的成分，伴随着失真。,4.8 LTI系统的频域分析,对H(j)的要求： H(j)=Y(j)/F(j)=Ke-jtd H(j)=K ,响应中个频率分量幅度的 相对大小与激励信号的情况一样。 ()= td ,要求响应中各频率分量与 激励中各对应分量滞后同样的时间。 对h(t)的要求： h(t)=K(t td),无失真传输条件,4.8 LTI系统的频域分析,定义群延迟,在信号传输中不产生相位失真，要求 为常数。,上述是信号无失真传输的理想条件。当传输有限带 宽的信号时，只要在信号占有频带范围内，系统幅 频、相频特性满足以上条件即可。,4.8 LTI系统的频域分析,4.8 LTI系统的频域分析,理想低通滤波器,c称为截止角频率。 理想低通滤波器的频率响应可写为：,冲激响应、阶跃响应,理想低通滤波器的冲激响应,h(t)= -1g 2 c()e-jtd =,可见，它实际上是不可实现的非因果系统。,4.8 LTI系统的频域分析,4.8 LTI系统的频域分析,滤波器的幅频特性,4.8 LTI系统的频域分析,信号随时间急剧改变意味包含许多高频分量，而较平坦的信号主要包含低频分量，因此有跃变不连续点的信号通过低通滤波器传输（有限带宽传输），不连续点在输出被圆滑，产生渐变。,4.8 LTI系统的频域分析,理想低通滤波器的冲激响应与阶跃响应,定义阶跃响应由最小值到最大值所需时间为上升时间,阶跃响应的上升时间与滤波器的通带宽度成反比。,吉布斯现象,4.8 LTI系统的频域分析,4.8 LTI系统的频域分析,信号随时间急剧改变意味包含许多高频分量，而较平坦的信号主要包含低频分量，因此有跃变不连续点的信号通过低通滤波器传输（有限带宽传输），不连续点在输出被圆滑，产生渐变。,4.8 LTI系统的频域分析,在有限带宽内传输时失真从大到小：矩形三角形升余弦,4.9 取样定理,4.9 取样定理,一、信号的取样,所谓“取样”就是利用取样脉冲序列s(t)从连续信号f(t)中“抽取”一系列离散样本值的过程。 得到的离散信号称为取样信号。,4.9 取样定理,如图一连续信号f(t),用取样脉冲序列s(t)(开关函数）进行取样，取样间隔为TS，fS =1/TS称为取样频率。,得取样信号 fS(t) = f(t)s(t),取样信号fS(t)的频谱函数为 FS(