基于水工标准反应谱的人工地震动合成及其校正

第 28 卷 第 6 期 2006 年 12 月 三峡大学学报(自然科学版) J of China Three Gorges Univ, ( Natural Sciences) Vol. 28 No. 6 Dec. 2006 收稿日期: 2006 -12 - 05 基金项目: 国家自然科学基金资助项目( 90510017) 作者简介: 牛志国( 1979- ) , 男, 博士研究生, 主要研究方向为水工结构数值分析. 基于水工标准反应谱的人工地震动合成及其校正 牛志国1 李同春1 崔绍峰2 王亚莉3 ( 1. 河海大学 水利水电工程学院, 南京 210098; 2. 聊城市水利勘测设计院, 山东 聊城 252061; 3. 滕州市 水务局, 山东 滕州 277500) 摘要: 给出了进行水工建筑物抗震设计时, 根据水工标准反应谱合成人工地震波及修正方法, 为了 消除人工波中残余长周期分量的影响, 通过利用最小二乘法拟合原始加速度均值, 利用加速度均 值对人工地震动加速度进行校正, 纠正了位移时程的漂移. 关键词: 人工地震波; 设计反应谱; 最小二乘法; 幅值谱; 功率谱 中图分类号: TU435 文献标识码: A 文章编号: 1672 -948X( 2006) 06 -0513 -05 The Synthesis and Correction of Simulated Earthquake Wave on Hydraulic Design Response Spectrum Niu Zhiguo1 Li Tongchun1 Cui Shaofeng2 Wang Yali 3 ( 1. College of Water Conservancy 2. L- i aocheng Surveying 3. Tengzhou Water Affairs Bureau, Tengzhou 277500, China) Abstract A method that can simulate earthquake wave based on hydraulic design response spectrum is pres - ented. It can be used after the initial wave is produced in the seismic design of hydraulic structure, and also can be used to modify the initial wave. In order to eliminate the influence of remaining long period compo - nents, the least square method is used to simulate average value of the primitive acceleration. The average value is used to adjust the acceleration of simulated earthquake wave, so that the shift of displacement dia - gram is corrected. Keywords simulated earthquake wave; design response spectrum; least square method; amplitude spec - trum; power spectrum 目前, 我国是世界上修建大坝最多的国家, 同时 也是地震灾害频繁的国家之一, 全球已发生了 3 000 多起破坏性地震( M 5) , 其中 35%的强震( M 7) 发 生在中国. 我国的主要强震区是西部地区, 而全国 80% 的水能资源集中于该地区, 因此, 适宜修建高坝 大库的陡峻河谷, 地震的强度和频度都很高, 抗震问 题尤为突出. 由于地震动记录数量的有限性和它的不可重复 性, 在抗震分析中经常需要人工合成符合某些指定统 计特征的非平稳地震动, 人工地震波因其在满足需求 的烈度、 持时及频谱特性方面具有任意性, 而被广泛 采用; 随着抗震技术的发展, 一些大尺度空间结构, 如 大坝、 桥梁等抗震分析中, 考虑地震动的多点输入、 结 构 -地基的动力相互作用等逐步成为研究热点, 相应 地, 在结构的抗震计算中, 除了需要地震加速度时程 外, 还要输入地震动的速度和位移时程, 然而, 在人工 地震动合成计算中, 人们往往比较注重对加速度时程 的研究, 而对速度时程和位移时程的研究较少, 仅仅 是将地震加速度时程进行简单的积分得到地震动速 度与位移时程 1. 由于加速度波中长周期分量的存在 是难免的, 从而导致直接积分后的位移时程出现零线 漂移, 这对需要考虑输入地震动位移时程的大尺度空 间结构动力分析影响很大. 在利用反应谱合成地震波 的过程中, 除了修正功率谱和幅值谱外, 还进行了最 小二乘校正, 从而能够得到有效的速度、 加速度记录. 1 地震加速度合成的基本原理 合成人工地震动常用的方法是把地面加速度时 程看作非平稳随机过程 2 , 表示为 a(t) = f (t) #as( t)(1) 式中, f (t)是考虑非平稳性的外包线函数; 主要有两 类: 一类是单峰状连续函数, 另一类是具有上升、 平稳 和衰减 3 段的包络函数, 后一种被工程界广泛应用, 日本和美国核电站抗震设计规范、 我国现行的重大工 程场址地震小区划中合成地震动时程都采用该模型, 其形式为 f (t) = (t/ t1) 2 t t1 1t1 t t2 exp(c( t- t3)t t2 (2) 式中, c 是常数, 用来控制衰减的快慢, t1和 t2分别控 制平稳段的首末时刻; as( t) 为具有零均值和( 单边) 功率谱密度函数的高斯平稳随机过程. 按照( 1) 式模型, 先构造一个平稳的高斯过程 as(t) = E N 0 Ck#cos( Xkt + Uk)(3) 式中, Uk为( 0, 2P) 内均匀分布的随机相位角, 三角级 数的各幅值分量 Ck通过反应谱和功率谱密度函数给 定; 其相互关系为 S( Xk) = N PXk # STa( Xk) 2 # 1 ln - P XkT ln(1- P) (4) $X= 2P Td, X k= $X#k, Ck= 4S( Xk) # $X 1 2 (k = 1, 2, 3, , N) 式中, STa( Xk) 为给定的目标加速度反应谱; N为阻尼 比; P 为反应超过反应谱值的概率, P 15%; S( Xk) 为( 3) 式平稳高斯过程的功率谱密度函数; Td为随机 过程 a(t) 的总持续时间. 按上述方法得到人工地震波 后, 其反应谱与给定的目标反应谱有一定的差距, 为 了提高拟合精度, 通常还需要进行多次迭代修正, 这 是地面运动模拟的常规方法, 它具有原理简单, 计算 速度快, 对反应谱的拟合较好等特点. 为了提高计算 效率, 通常采用快速傅立叶变换( FFT ) 技术计算 a( t), 设 a(t)的傅立叶谱为 f ( X) , 为了消除长周期分 量的影响, 当频率低于某一数值, 便令其傅立叶谱为 零, 这就是所谓的数字滤波法 3. 2 初始波的修正 由反应谱与功率谱的近似转换关系, 按上述方法 得到的初始地震波, 其反应谱与目标反应谱之间必然 存在着较大的误差, 这就需要采用某种方法对初始波 进行修正, 使其反应谱逐步逼近目标反应谱. 1986年, 胡聿贤等在对幅值谱修正时, 考虑了傅 氏谱各分量对最大反应贡献的正负, 并对幅值谱修正 不能满足要求的顽固点, 提出了相位谱修正的方法, 取得了较好的拟合结果 4 . 但相位谱的调整比较复 杂, 不易掌握, 1995 年翟希梅等利用功率谱修正能降 低高频区误差的作用, 先进行功率谱修正, 然后在进 行幅值谱修正, 人工波反应谱与标准反应谱拟合良 好 5 . 该方法计算精度高、 迭代简单、 易于掌握. 设 Xk为某一指定拟合点的频率, 其对应的人工 波计算反应谱值为 S T a( Xk), 对应目标反应谱值 , 则相 对误差为 E( Xk) = Sa( Xk) - STa( Xk) S T a( Xk) (5) 幅值调整系数为 R( Xk) = STa( Xk) Sa( Xk) (6) 当 E( Xk) 大于容许误差 E时, 就要对第 k 个拟合点的 功率谱和幅值谱进行修正. 功率谱的修正 S i+ 1 ( Xk) = S i( X k) # S T a( Xk) Sa( Xk) 2 (7) 式中, i 为功率谱迭代的次数; 对第 k 个控制点周围的 非拟合点( 非控制点) 用线性插值的方法进行修正 6 . 幅值谱的修正: 第 k 个控制点周围点对应的幅值 修正为 C c i= Ci# R( Xi) q (8) 式中, Ci为第k 个控制点周围点( 包括第 k 点) 对应的 幅值. q 取值为 1或- 1, 具体取值根据傅里叶谱各个 分量对最大反应贡献的正负, 其方法详见文献 7 中. 由图 1、 2 可以看出, 初始人工波的反应谱在高频 段与标准反应谱拟合误差很大, 按照上述方法修正, 迭代 15 次, 相对误差控制在 5%以内, 修正后结果见 图 3、 4. 514 三 峡 大 学 学 报(自 然 科 学 版) 2006 年 12 月 图 1 初始人工波 图 2 初始人工波反应谱与标准反应谱 图 3 修正后的人工波 图 4 修正后的人工波反应谱与标准反应谱 3 地震动的最小二乘校正法 尽管对初始波进行修正后, 人工地震波的反应谱 能够和标准谱拟和良好, 但是, 如果直接对该波进行 积分求得速度时程、 位移时程, 进行大跨度结构多点 地震输入或利用粘弹性边界进行抗震分析, 仍然是不 可行的, 因为在加速度时程合成计算中, 尽管采取了 一定的修正手段, 一些长周期分量仍然会残留下来, 它们虽然不会导致加速度时程的漂移, 但是却会对积 分后的位移时程产生严重的漂移( 见图 7) , 用这样的 位移时程进行计算, 将会导致计算结果的失真. 许多 学者已对此进行了广泛的研究, 认为加速度时程中的 少量长周期分量是导致位移时程漂移的主要原因 8 , 因此, 采用什么方式滤掉这些长周期分量, 便是解决 该问题的关键. 在前人对时域优化校正算法研究的基 础上, 通过采用不同形式的非零基线, 对加速度时程 作高通滤波处理, 以消除位移时程的漂移现象. 3. 1 非零基线的确定 在对比大量的积分位移时程的拟合均值线后, 按 照位移点在均值线两侧分布均匀和多项式阶数尽可 能低的准则, 认为四次多项式模拟程度较好 9, 即 s( t) = a1t+ a2t2+ a3t 3 + a4t4(9) 式中, s(t)为拟合的位移均值线, 考虑加速度、 速度及 位移间的积分关系, 与式( 4) 对应的速度、 加速度时程 分别为 v(t) = a1+ 2a2t + 3a3t2+ 4a4t 3 (10) a( t) = a2+ 6a3t+ 12a4t3(11) 考虑到速度时程为零初值曲线, 则参数 a1为零, ( 11) 式便是所需要的非零基线形式, 非零基线的表达式次 数过高, 就会导致计算繁琐, 此外, 在基线漂移中的随 机干扰是一些长周期分量, 而二次曲线对相当于二倍 持续时间长的长周分量有一定的过滤作用 3. 从原始 的加速度时程中除去非零基线, 可以从根源上消除式 ( 9) 表达的积分位移基线漂移现象, 该法处理简单, 且 避免了仅对积分位移作高通滤波处理对加速度、 速度 和位移之间积分关系的破坏, 保证了校正后 3 者之间 的自然积分关系. 3. 2 非零基线的最小二乘拟合 设 a( t) = a0+ a1t + a2t2为加速时程的非零基 线, 原始加速度记录为( ti, gi)( i= 0, 1, 2, 3, , n) , 则 各离散点偏差及其最小平方和为 ui= a(ti) - gi (i = 1, 2, 3, , n)(12) ( E n i = 1 u2i)min= E n i= 0 a( ti) - gi 2 = E n i= 0 a0+ a1ti+ a2t 2 i- gi 2 = U (a0, a1, a2) (i = 1, 2, 3, , n)(13) 要求最小二乘多项式 a= a0+ a1t+ a2t 2, 就归结为求 U (a0, a1, a2)的最小值点(a*0, a*1, a*2)问题, 由多元函 数微分学知识可知, a*0, a*1, a*2满足 9U 9a0 = 2 E n i= 1 a0+ a1ti+ a2t 2 i- gi = 0 9U 9a1 = 2 E n i= 1 ti a0+ a1ti+ a2t2i- gi = 0 9U 9a2 = 2 E n i= 1 t2i a0+ a1ti+ a2t2i- gi = 0 (14) 515 第 28 卷 第 6 期 牛志国等 基于水工标准反应谱的人工地震动合成及其校正 经整理得 (n+ 1)a0+ ( E n i= 1 ti)a1+ ( E n i= 1 ti)a2= E n i= 1 yi ( E n i= 1 ti) a0+ ( E n i = 1 t2i)a1+ ( E n i= 1 t3i) a2= E n i= 1 tiyi (E n i= 1 t2i) a0+ ( E n i = 1 t 3 i)a1+ (E n i= 1 t4i) a2= E n i= 1 t2iyi ( 15) 令Sk= E n i = 1t k i, fj= E n i = 1y ix j i, k= 0, 1, 2, 3, 4; j = 0, 1, 2( 16) 将( 16) 带入( 15) 式, 得 S0a0+ S1a1+ S2a2= f0 S1a0+ S2a1+ S3a2= f1 S2a0+ S3a1+ S4a2= f2 ( 17) 解上面方程组, 求出 a1、 a2、 a3的值, 便可得到加速度 时程的零线表达式 10. 根据上述校正方法, 对如图 1所示的人工地震波 g(t)进行校正, 按照最小二乘原理, 计算得到其均值 线方程 a( t) = - 0. 00841239+ 0. 00084661t + (- 2. 4609158 10 - 5 )t 2 在人工震波 g(t) 中减去校正曲线, 即得处理后的加 速度 a( t) = g( t) - a(t)( 18) 将上式积分, 便可得到修正的速度波和位移波, 见图 12、 13. 通过图 5 9 对比图 10 14 可以看出: ( 1) 最小二乘校正法对加速度、 速度时程没有产 生任何显著影响, 这说明最小二乘校正法仅滤掉了极 低频信号, 而且这部分信号对加速度、 速度影响都很 小, 却有效地纠正了积分位移漂移现象. 从而保证了 加速度、 速度、 位移 3 者之间的自然积分关系. ( 2) 从傅里叶谱来看, 小于 15的周期分量对应的 傅立叶谱值没有发生变化, 而周期大于 15 的分量傅 立叶谱值明显降低, 说明了通过最小二乘法的校正, 滤掉一些的长周期分量, 而且这些长周期分量的存在 对傅立叶谱的影响很小. ( 3) 从加速度反应谱来看, 反应谱只是在 1. 2 3. 0 这段周期范围内个别数值出现了很小的变化, 变 化的结果是更加逼近标准反应谱, 说明滤波过程中滤 掉的一些长周期分量中包含有拟合过程中的顽固点. 因此, 无论从波形还是频谱特性来看, 最小二乘 校正法对原人工地震波的主要频谱特征和反应谱性 质几乎没有影响. 图 5 人工地震动加速度波 图 6 人工地震动速度波 图 7 人工地震动位移波 图 8 人工地震动傅立叶谱 图 9 人工地震动反应谱 516 三 峡 大 学 学 报(自 然 科 学 版) 2006 年 12 月 图 10 校正后的加速度波 图 11 校正后的速度波 图 12 校正后的位移波 图 13 校正后的傅立叶谱 图 14 校正后的反应谱 4 结 语 通过合成人工地震波, 并对其进行修正和最小二 乘法校正, 不但得到了满足精度要求的人工地震波, 而且还纠正了人工地震波积分后位移时程的零线漂 移现象, 说明该方法有以下几个特点: ( 1) 利用功率谱修正能降低高频区误差作用, 进 行功率谱调整和幅值谱修正的同时, 还通过最小二乘 法对人工地震波进行了校正, 有效地纠正了位移时程 的漂移, 这种方法拟合精度高、 简洁, 容易掌握. ( 2) 最小二乘法修正不影响加速度、 速度、 位移 3 者的自然积分关系, 有利于保持动力计算的数值稳定 性. ( 3) 在抗震分析中, 输入地震动的频谱特征是一 个重要指标, 修正方法对原地震时程频谱改变的大 小, 是校正成功与否的