求曲线的方程1.ppt

曲线与方程,（1）、求第一、三象限里两轴间夹角平分线的坐标满足的关系,得出关系：,（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都在 上,曲线,条件,方程,分析特例归纳定义,曲线和方程之间有什么对应关系呢？,这条抛物线的方程是,满足关系：,分析特例归纳定义,（3）、说明过A（2，0）平行于y轴的直线与方程x=2的关系,、直线上的点的坐标都满足方程x=2,、满足方程x=2的点不一定在直线上,结论：过A（2，0）平行于y轴的直线的方程不是x=2,分析特例归纳定义,即,点 曲线C 坐标（x,y） 方程 F(x,y)=0,按某种规律运动,几何对象,给定曲线C与二元方程f（x，y）=0，若满足 （1）曲线上的点坐标都是这个方程的解 （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线 上的点 那么这个方程f（x，y）=0叫做这条曲线C的方程 这条曲线C叫做这个方程的曲线,说明：1、曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系 方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形,定义,2、两者间的关系：点在曲线上,点的坐标适合于此曲线的方程,通俗地说：无点不是解且无解不是点 或说点不 比解多且解也不比点多,即：曲线上所有点的集合与此曲线的方程的解集能够一一对应,3、如果曲线C的方程是f(x，y）=0，那么点,在曲线C上的充要条件,是,集合的观点,例1判断下列结论的正误并说明理由 （1）过点A（3，0）且垂直于x轴的直线为x=3 （2）到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=2 （3）到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1,对,错,错,变式训练：写出下列半圆的方程,例题分析,例2 证明以坐标原点为圆心，半径等于5的圆的方程是x2 +y2 = 25,并判断点M1(3，-4)，M2(-3，2)是否在这个圆上.,证明：(1)设M(x0,y0)是圆上任意一点.因为点M到坐标原点的距离等于5，所以 也就是xo2 +yo2 = 25. 即 (x0,y0) 是方程x2 +y2 = 25的解.,(2)设 (x0,y0) 是方程x2 +y2 = 25的解，那么 x02 +y02 = 25 两边开方取算术根，得 即点M (x0,y0)到坐标原点的距离等于5，点M (x0,y0)是这个圆上的一点.,由1、2可知， x2 +y2 = 25,是以坐标原点为圆心，半径等于5的圆的方程.,第一步，设M (x0,y0)是曲线C上任一点，证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；,归纳: 证明已知曲线的方程的方法和步骤,第二步，设(x0,y0)是f(x,y)=0的解，证明点M (x0,y0)在曲线C上.,1、下列各题中，图3表示的曲线方程是所列出的方程吗？如果不是，不符合定义中的关系还是关系？,(1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的折线，方程为(x-y)(x+y)=0;,(2)曲线C是顶点在原点的抛物线，方程为x+ =0;,(3)曲线C是, 象限内到X轴，Y轴的距离乘积为1的点集，方程为y= 。,图3,课堂练习,2、方程x2y21(xy0)的曲线形状是 ( ),课堂练习,C,3下列选项中方程表示图中曲线的是 ( ),解析 对于A，x2y21表示一个整圆；对于B，x2y2(xy)(xy)0，表示两条相 交直线；对于D，由lg xlg y0知x0，y0. 答案 C,C,4方程x2xyx表示的曲线是 ( ) A一个点 B一条直线 C两条直线 D一个点和一条直线,C,5方程y 所表示的曲线是_ 答案 以(1，0)为端点的两条射线,6方程(x24)2(y24)20表示的图形是 ( ) A两个点 B四个点 C两条直线 D四条直线 解析 由已知 即 或 或 或 . 答案 B,7下面四组方程表示同一条曲线的一组是 ( ) Ay2x与y Bylg x2与y2lg x C. 1与lg (y1)lg (x2) Dx2y21与|y| 解析 主要考虑x与y的范围 答案 D,求曲线的方程,引例：在美丽的南沙群岛中，甲岛与乙岛相距8海里，一艘军舰在海上巡逻，巡逻过程中，从军舰上看甲乙两岛，保持视角为直角，你认为军舰巡逻的路线应是怎样的曲线，你能为它写出一个方程吗？,思考：1如何把实际问题转化为数学问题？ 2.你觉得应如何建立直角坐标系？ 3.从军舰看甲乙两岛，保持视角为直角可转化为哪些几何条件？ 4.所求方程与军舰巡逻路线是否对应？,发散1：已知线段AB长为5，动点P到线段AB两端点的距离相等，求动点P的轨迹方程。,思考1.与例1相比，有什么显著的不同点？,2.你准备如何建立坐标系，为什么？,3.比较所求的轨迹方程有什么区别？从中得到什么体会?,（1）没有确定坐标系时，要求方程首先必须建立坐标系； （2）同一条曲线，在不同的坐标系中可能有不同的方程； （3）坐标系选取适当，可以使运算简单，所得的方程也 比较简单。,解题心得,发散2：ABC顶点B、C的坐标分别是（0、0）和（4、0），BC边上的中线长为3，求顶点A的轨迹方程。,以这个方程的解为坐标的点是否都在曲线上？,思考？,(x2)2+y2=9,(x5且x -1),求曲线方程的一般步骤：,1.建系设点 建立适当的直角坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任一点M的坐标；,（如果题目中已确定坐标系就不必再建立）,2.寻找条件 写出适合条件P的点M的集合,3.列出方程用坐标表示条件P(M),列出 方程f(x,y)=0；,4.化简化方程f(x,y)=0为最简形式；,5.证明证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。,(不要求证明，但要检验是否产生增解或漏解.),检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。,建立坐标系的原则:,一、建立的坐标系有利于求出题目的结果；,二、尽可能多的使图形上的点（或已知点）， 落在坐标轴上；,三、充分利用图形本身的对称性；,若曲线是轴对称图形,则可以选它的对称轴为坐标轴, 也可以选取曲线上的特殊点为坐标原点.,四、保持图形整体性.,直译法,（高考调研思考题2（2）,定义法,注：熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。 圆：到定点的距离等于定长 椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离） 双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离） 抛物线：到定点与定直线距离相等。,例2： 一条线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和 y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程？,代入法(相关点法),评析：代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系,练3、已知抛物线 ，定点A(3，1)、B为抛物线上 任意一点，点P在线段AB上，且有BPPA=12，当B点 在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程,代入法(相关点法),练5、如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、 B是圆上两动点，且满足APB=90，求矩形APBQ的顶 点Q的轨迹方程。,代入法(相关点法),解:设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在RtABP中，|AR|=|PR|,又因为R是弦AB的中点，依垂径定理,在RtOAR中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2),又|AR|=|PR|=,因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动,设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，,所以x1=,代入方程 , 整理得,参数法,例4过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴 于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。,分析1：从运动的角度观察发现，点M的运动是由 直线l1引发的，可设出l1的斜率k作为参数，建立 动点M坐标（x，y）满足的参数方程。,分析2：利用两直线垂直的几何性质,分析3：利用相关点法，由M写出A、B的坐标，再利用两直线垂直,1：在求轨迹方程中易出错的是对轨迹纯粹性及完备性