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数学学业水平复习知识点必修一第一章 集合与简易逻辑1、 集合 （1）、定义：某些指定的对象集在一起叫集合；集合中的每个对象叫集合的元素。集合中的元素具有确定性、互异性和无序性；表示一个集合要用 。（2）、集合的表示法：列举法（）、描述法（）、图示法（）；（3）、集合的分类：有限集、无限集和空集（记作，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集）；（4）、元素a和集合A之间的关系：aA，或aA；（5）、常用数集：自然数集：N ；正整数集：N；整数集：Z ；整数：Z；有理数集：Q；实数集：R。2、子集 （1）、定义：A中的任何元素都属于B，则A叫B的子集 ；记作：AB，注意：AB时，A有两种情况：A与A（2）、性质：、；、若，则；、若则A=B ；3、真子集 （1）、定义：A是B的子集 ，且B中至少有一个元素不属于A；记作：；A（2）、性质：、；、若，则；4、 补集、定义：记作：；BA、性质：； 5、 交集与并集（1）、交集：AB性质：、 、若，则（2）、并集：性质：、 、若，则注：集合的子集个数共有个；真子集有1个；非空子集有1个；非空的真子有2个. 6、一元二次不等式的解法：（二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系）判别式：=b2-4acx1x2xyOx1=x2xyOxyO二次函数的图象一元二次方程的根有两相异实数根有两相等实数根没有实数根一元二次不等式的解集“”取两边R一元二次不等式的解集“”取中间不等式解集的边界值是相应方程的解含参数的不等式axb xc0恒成立问题含参不等式axb xc0的解集是R；其解答分a0(验证bxc0是否恒成立)、a0（a0且10a10a11y=axxyOO1y=logaxxyO1yxy=logax性质定义域（-，+）（-，+）（0，+）（0，+）值域（0，+）（0，+）（-，+）（-，+）单调性在（-，+）上是增函数在（-，+）上是减函数在（0，+）上是增函数在（0，+）上是减函数函数值变化图象定 点过定点（0，1）过定点（1，0）图象特征图象在x轴上方图象在y轴右边图象关系的图象与的图象关于直线对称7、幂函数：函数叫做幂函数（只考虑的图象）。第三章方程的根与函数的零点：如果函数在区间 a , b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间 (a , b) 内有零点，即存在，使得，这个c也就是方程的根。必修二一、空间几何体的结构常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。3、空间几何体的表面积与体积圆柱侧面积；圆锥侧面积：圆台侧面积：体积公式：；球的表面积和体积：.2、 点、线、面的位置关系及相关公理及定理：1、平面的性质：公理1：如果有一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是一条直线。（两平面相交，只有一条交线）且公理3：不在同一直线上的三点确定一个平面。(强调“不共线”)（三个推论：1、直线和直线外一点，2、两条相交直线，3、两条平行直线，确定一个平面）空间图形的平面表示方法：斜二测画法（水平长不变，竖直长减半）1、 两条直线的位置关系：平行，相交，异面：不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线（1）、异面直线判断方法：定义，判定：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面不经过此点的直线是异面直线（两在两不在）aAa=A（2）、两条直线垂直：两条异面直线所成的角是直角，这两条直线互相垂直垂直相交（共面）、异面垂直，都叫两条直线互相垂直（3）、空间平行直线：公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行。3、直线与平面的位置关系： 直线在平面内 直线在平面外 直线与平面相交，记作a=A 直线与平面平行，记作a/4、 平面与平面位置关系 平行 相交5、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么该直线与这个平面平行。符号表示：。图形表示：6、两个平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。符号表示：。图形表示：7、. 直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交，那么交线与这条直线平行。符号表示：。 图形表示：8、两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们交线的平行。符号表示： 9、直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。符号表示：10、.两个平面垂直的判定定理：一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 符号表示：11、直线与平面垂直的性质：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。符号表示：。12、平面与平面垂直的性质：如果两个平面互相垂直，那么在其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。符号表示：13、异面直线所成角：平移到一起求平移后的夹角。直线与平面所成角：直线和它在平面内的射影所成的角。（如右图）（1）、等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相同。（2）、角的范围：、异面直线所成的角的范围：两条直线所成的角的范围：两个向量所成的角的范围： 、斜线与平面所成的角的范围：直线与平面所成的角的范围：、二面角的范围：（3）异面直线所成的角：已知两条异面直线、，经过空间任一点作，与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）范围：求法一：作平行线；求法二：（向量）两条直线的方向向量的夹角的余弦的绝对值为两直线的夹角的余弦。（4）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，直线叫二面角的棱；二面角的平面角：垂直于二面角的棱，且与两个半平面的交线所成的角。求法一：几何法：一作二证三计算.利用三垂线定理及其逆定理作二面角的平面角，再解直角三角形；AAOB求法一：向量法：二面角的两个半平面的法向量所成的角（或其补角）n1和n2分别为平面a和b的法向量，记二面角的大小为q，n1n2l则或(依据两平面法向量的方向而定)AAOB总有=，第三章：直线和圆的方程1、倾斜角和斜率：（1）倾斜角： 、范围：o、定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴饶交点按逆时针方向旋转到和直线重合时的最小正角记为，则叫直线的倾斜角；当直线与和x轴平行或重合时，倾斜角为；当直线与和x轴垂直时，倾斜角为9（2）斜率：，当是特殊角的三角函数值时，直接写出角（3）直线上两点，则斜率为2、直线方程：直线方程的五种形式（1）、点斜式：；（2）、斜截式：；（3）、两点式： （4）、截距式：（截距是直线与坐标轴的交点坐标，可正可负可为零）（5）、一般式： （A、B不同时为0） 斜率，轴截距为3、两直线的位置关系（1）平行： 时 ，； 垂直： ；（2）相交： ，交点就是方程组 的解。（3）、两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的距离公式 P1P2=（4）、两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的中点坐标公式 M（，）（5）点到直线的距离公式（直线方程必须化为一般式） 两平行线间的距离公式：（即一条直线上任一点到另一条直线的距离）4、圆的方程：（1）圆的标准方程 ，圆心为，半径为（2）圆的一般方程（配方：） 时，表示一个以为圆心，半径为的圆（3）点与圆的位置关系：判断方法，上=0（4）直线与圆位置关系：已知直线和圆、圆心到直线的距离与比较，相离，相切，相交；、利用根的判别式：联立消元后得一元二次方程的判别式，直线和圆相交，直线和圆相切，直线和圆相离；相关问题：求弦长：弦心距，半径，弦的一半组成（6）求圆的切线方程：设点斜式，用圆心到切线的距离等于半径，求斜率；、过圆上一点的切线只有一条，方程为：、过圆外一点的切线一定有两条；（若只解出一个斜率，另一条没有斜率，切线方程为：）、斜率确定的切线一定有两条（如图）。必修三第二章：统计1、抽样方法：简单随机抽样（总体个数较少）系统抽样（总体个数较多）分层抽样（总体中差异明显）注意：在N个个体的总体中抽取出n个个体组成样本，每个个体被抽到的机会（概率）均为。2、总体分布的估计：一表二图：频率分布表数据详实频率分布直方图分布直观具体做法如下：（1）求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）；（2）决定组距与组数 ；（3）将数据分组；（4） 列频率分布表；（5）画频率分布直 方图。注：1、频率分布直方图中小正方形的面积=组距频率。2、频率分布直方图： （注意：不是小矩形的高度）计算公式： 各组频数之和=样本容量， 各组频率之和=1频率分布折线图便于观察总体分布趋势注：（1）折线图：连接频率分布直方图中小长方形上端中点，就得到频率分布折线图。（2）总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。茎叶图：茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。3、总体特征数的估计：平均数：；取值为的频率分别为，则其平均数为；注意：频率分布表计算平均数要取组中值。众数：在一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；中位数：将一组数据按照从大到小（或从小到大）排列，处在中间位置上的一个数据（或中间两位数据的平均数）叫做这组数据的中位数；方差与标准差：一组样本数据方差：；标准差：注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。线性回归方程变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；制作散点图，判断线性相关关系线性回归方程：（最小二乘法）注意：线性回归直线经过定点。第三章：概率：1、随机事件：一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。一般用大写字母A,B,C表示.随机事件的概率：在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率 总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作P（A）。由定义可知0P（A）1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。1、事件间的关系：（1）互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；（2）对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；（3）包含：事件A发生时事件B一定发生，称事件A包含于事件B（或事件B包含事件A）；（4）对立一定互斥，互斥不一定对立。2、概率的加法公式：（1）当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式：P（A+B）=P（A）+P（B）（A、B互斥）（2）若事件A与B为对立事件，则AB为必然事件，所以P(AB)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1P(B)（3）独立事件同时发生的概率：独立事件A，B同时发生的概率：P(AB)= P(A)P(B).3、古典概型：（1）正确理解古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等；（2）掌握古典概型的概率计算公式： 4、几何概型：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型。（2）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等（3）几何概型的概率公式： 必修四第一章 三角函数1、角：（1）、正角、负角、零角：逆时针方向旋转正角，顺时针方向旋转负角，不做任何旋转零角；（2）、与终边相同的角，连同角在内，都可以表示为集合（3）、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象限。2、弧度制：（1）、定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。（2）、度数与弧度数的换算：弧度，1弧度（3）、弧长公式： （是角的弧度数） P（x，y）rx0y 扇形面积：（为所对的弧长，为半径，正负号的确定：逆时针为正，顺时针为负）。2、三角函数 （1）、定义：（如图） （2（2）、各象限的符号：xy+_Oxy+_Oxy+_O（3）、特殊角的三角函数值的角度的弧度、4、同角三角函数基本关系式（）平方关系：（）商数关系： （3）同角三角函数的常见变形：（活用“1”）、，；，；， 5、诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）公式一： 公式二： 公式三： 公式四： 公式五： 补充： 6、两角和与差的正弦、余弦、正切： ： ： ：的整式形式为：7、辅助角公式：（其中称为辅助角，的终边过点，） （多用于研究性质）8、 二倍角公式：（1）、： ： ： （2） 降次公式：（多用于研究性质） 9、三角函数的图象性质（1）、函数的周期性：、定义：对于函数f（x），若存在一个非零常数T，当x取定义域内的每一个值时，都有：f（x+T）= f（x），那么函数f（x）叫周期函数，非零常数T叫这个函数的周期； 、如果函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，这个最小的正数叫f（x）的最小正周期。（3）、正弦、余弦、正切函数的性质（）函数y=sinxy=cosxy=tanx图象定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数周期性 单调性在上是增函数在上是减函数在上是增函数在上是减函数在上是增函数最值当时，当时，当时，当时， 无对称性对称中心，对称轴：对称中心，对称轴：对称中心，对称轴：无图象的五个关键点：（0，0），（，1），（，0），（，-1），（，0）；01-1xy图象的五个关键点：（0，1），（，0），（，-1），（，0），（，1）；oxy01-1xy(4)、函数的相关概念： 函数定义域值域振幅周期频率相位初相图象-A，AA五点法当A时，图象上各点的纵坐标伸长到原来的A倍当A时，图象上各点的纵坐标缩短到原来的A倍的图象与的关系：当时，图象上各点的纵坐标缩短到原来的倍当时，图象上各点的纵坐标伸长到原来的倍振幅变换： 当时，图象上的各点向左平移个单位倍当时，图象上的各点向右平移个单位倍周期变换： 当时，图象上的各点向左平移个单位倍当时，图象上的各点向右平移个单位倍相位变换： 平移变换： 常叙述成： 把上的所有点向左平移个单位（时）平移|得到；再把的所有点的横坐标缩短（）或伸长（）到原来的倍（纵坐标不变）得到；再把的所有点的纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍（横坐标不变）得到的图象。先平移后伸缩的叙述方向：先平移后伸缩的叙述方向： 10、三角函数求值域（1）一次函数型：，例：，用辅助角公式化为：，例：第二章、平面向量1、空间向量：（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面内的有向线段表示。向量可用一条有向线段来表示有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向向量的大小称为向量的模（或长度），记作（4）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作；零向量的方向是任意的。（5）单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量；与向量平行的单位向量：；（6）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行