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有志者，事竟成！,第七单元 随机变量及其分布,随机变量概述 离散型随机变量 连续型随机变量,教学重点,1随机变量的概念 2离散型与连续型随机变量的数字特征 3二项分布、泊松分布、正态分布,教学难点,1分布函数概念的理解 2密度函数概念的理解 3一般正态分布的概率计算,例 1 在10件同类产品中，有3件次品，现 任取2件，用X表示“2件中的次品数”， X的取值有哪些？对应的概率是多少?,例 2 “测试电子元件寿命”试验，用Y表示 元件寿命(小时)，Y的取值如何?,一、随机变量的概念,一个变量若满足： （1）取值的随机性。即取到哪一个值事前 不知道，要由随机试验的结果而定； （2）取值的对应性。即取到的每一个值都 对应于某一随机现象； （3）概率的确定性。即它取某一个值或在 某一区间内取值的概率是确定的。 称这样的变量为随机变量，通常用大写 字母 X、Y、Z表示。,例 1中， “两件产品中没有次品”事件 可用 X=0表示 “两件产品中至少一件次品”事件 可用 X1表示 例 2中， “元件寿命至少1000小时”事件 可用 Y 1000表示 “元件寿命不足500小时”事件 可用 Y500表示,为什么要引入随机变量？ 可使随机事件数量化，便于数学处理， 从而更深入地研究随机现象。,上述两例，随机现象较容易用数量来描述， 但在实际中常遇到一些似乎与数量无关的 随机现象，如何用随机变量来描述它们？,例3 抛一枚均匀硬币，试验的可能结果两个， 即“正面向上”与“正面向下”。,例4 一批产品的合格率为P，随机抽一个检验， 可能结果为 “抽到合格品”与“抽到废品”。,例 5 一批产品的一、二、三级品率为50%、 35%、 15%，随机抽取一个，可能结果“抽到一级品” “抽到二级品”、“抽到三级品”。,二、随机变量的种类,按随机变量的取值不同，可分为 离散型随机变量：随机变量只取有限个或 可列个可能值。 连续型随机变量：在某一个或若干个有限或 无限区间取值的随机变量。,一、离散型随机变量的分布,概率分布的性质 1） 0pi1 i=1，2， 2） pi =1,例 写出上一节例1、3、4、5的概率分布,二、离散型随机变量的数学期望,离散型变量X的取值为x1,x2xi 相应的概率为p1,p2pi ,xi与pi的乘积 之和为X的数学期望，简称期望或均值。 记作 E (x)或 E (x) =xi pi,例 （教材P149例3、4）,数学期望是对随机变量集中趋势的度量， 对其离散程度的度量用方差。,离散型变量X离差的平方的数学期望 称为X的方差。记作 D(X) 或 方差的算术平方根为均方差或标准差， 用 表示。,例 （教材P151 例6、7）,三、离散型随机变量的方差,四、常见的离散型随机变量,一个试验如果结果只有两个，都可以 用两点分布来描述。,（一）两点分布 1、定义 随机变量X只可能取0，1两个值， 概率分布为： P(X=1)=p，P(X=0)=1p (0p1) 或 （k=0,1 0p1） 称X服从两点分布。记为 XB (1，p),2、两点分布的数学期望与方差 E ( X ) = p D ( X ) = ( 1 p ) p,例 （教材P152 例8）,某射手射击一次，观察他中靶与脱靶； 抛硬币一次，观察其正面朝上、朝下； 从一批产品中取一件，观察其正品、废品; 以上试验都可用两点分布来描述。,某射手射击多次； 连续抛硬币多次； 从一批产品中取n件产品； 这些试验还能用两点分布描述吗？,随机试验只有两个可能结果A 或 ， 且 P(A)=p， P( )=1p = q 这种试验称为Bernoulli试验； 试验独立重复n次，称n重Bernoulli试验。,（二）二项分布,令X为n重Bernoulli试验中事件A发生的 次数，X的所有可能取值为0、1、2n X 取值 k 的概率为 ( K=0、1、2 n) 其中 P(A)=p， P( )=1p = q 0p1 称随机变量X服从参数为n,p的二项分布 记作 XB ( n,p ),当n=1时，二项分布就是二点分布B(1,p),2、二项分布的数学期望与方差 E ( X ) = n p D ( X ) = n p (1p),例 （教材P153 例9）,（三）泊松分布 1、定义：设随机变量X的分布律为 （k=0,1,2, ） 称 X 服从参数为(0) 的泊松分布。 记作 XP()。,泊松分布用来描述指定时间内某一事件 发生次数的分布。如： 某市早晚高峰期内通过某路口的车辆数分布； 某市除夕日被爆竹炸伤人数的分布； 某景点十一黄金周接到游客投诉电话次数分布。,2、泊松分布的数学期望与方差 E ( X ) = D ( X ) = ,例 （教材P153 例10）,一、概率密度函数,X为连续型随机变量，x为任一实数， 若函数 (x)表示变量X的分布情况， 即X取值的规律，称 (x)为概率密度 函数，或称概率分布。,二、常见的连续型随机变量,如果X在a，b上服从均匀分布，则对 任意满足 的a，b有 X 取值于a，b中任一小区间的概率与 该小区间的长度成正比，而与该小区间 的具体位置无关。,例 （教材P158 例3 ）,均匀分布的数学期望与方差 在区间a，b上均匀分布变量X的数学 期望和方差为：,（二）正态分布 1、正态分布 若随机变量X的密度函数为 、 是参数（ 0） 则称X服从参数为和 的正态分布, 记作 XN ( ， ),式中的是正态随机变量X的均值,即E(X)= 式中的 是正态随机变量X的方差,即D(X)=,关于密度函数的图形 1) 图形是关于 x = 对称的钟形曲线， 且峰值在 x =处取得。 2) 方差 越小，曲线峰值越大，曲线 越狭长；方差越大，曲线越平坦。 3) 当x时， 0，即 以x轴 为渐近线。,2、标准正态分布 若正态分布 N ( ， )中的参数 = 0， = 1时，其分布 N( 0，1 ) 称为标准正态分布。 用 表示标准正态分布的密度函数,标准正态分布密度函数图形关于纵轴对称,标准正态分布的概率可通过查表求得 表中能查得的概率为 即,如何求,3、一般正态分布转换为标准正态分布,即服从一般正态分布的变量通过上述 转换可以变换成为标准正态分布。,例 （教材P161 例5）,例 （教材P161 例6）,例 （教材P161 例7）,X为n重Bernoulli