2019届高考数学复习平面向量数系的扩充与复数的引入听课学案理.docx

第四单元 平面向量、数系的扩充与复数的引入第24讲平面向量的概念及其线性运算课前双击巩固1.向量的有关概念及表示名称定义表示向量在平面中,既有又有的量用a,b,c,或,表示向量的模向量a的,也就是表示向量a的有向线段的(或称模)或零向量长度为的向量用表示单位向量长度等于个单位的向量用e表示,|e|=平行向量方向或相反的非零向量(或称共线向量)ab相等向量相等且方向的向量a=b相反向量相等,方向的向量向量a的相反向量是说明:零向量的方向是、.规定:零向量与任一向量.2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量的运算法则法则(1)加法交换律:a+b=;(2)加法结合律:(a+b)+c= 减法减去一个向量相当于加上这个向量的 法则a-b=数乘实数与向量a的积是一个,这种运算叫作向量的,记作(1)|a|=.(2)当0时,a与a的方向;当|b|0,则向量a+b的方向与向量a的方向相同;设a0为单位向量,则平面内向量a=|a|a0.其中正确结论的序号是.6.若四边形ABCD满足=且|=|,则四边形ABCD的形状是.7.已知向量a,b,若|a|=2,|b|=4,则|a-b|的取值范围为.课堂考点探究探究点一平面向量的基本概念1 (1)设a,b都是非零向量,下列条件中一定能使a|a|+b|b|=0成立的是()A.a=2b B.abC.a=-13bD.ab(2)给出下列说法:若|a|=|b|,则a=b;若ab,bc,则ac;a与b是非零向量,若a与b同向,则a与-b反向;若与共线,则A,B,C三点在同一条直线上.其中错误说法的序号是. 总结反思 对于平面向量的有关概念应注意以下几点:(1)平行向量就是共线向量,二者是等价的,它们均与起点无关;非零向量的平行具有传递性;相等向量一定是平行向量,而平行向量则未必是相等向量;相等向量具有传递性.(2)向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,但向量的模是非负数,可以比较大小.(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量,解题时,不要把它与函数图像的移动混为一谈.(4)非零向量a与a|a|的关系:a|a|是与a同方向的单位向量.式题 (1)如图4-24-3,等腰梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在AD,BC上,EF过点P,且EFAB,则下列等式中成立的是()A.=B.=C.=D.=图4-24-3 (2)给出下列说法:若A,B,C,D是不共线的四个点,则=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;若a,b都是单位向量,则a=b;向量与相等;若a=b,b=c,则a=c.其中正确说法的序号是()A.B.C.D.探究点二平面向量的线性运算考向1平面向量加减法的几何意义2 (1)2017南昌重点学校模拟 已知O为ABC内一点,满足4=+2,则AOB与AOC的面积之比为()A.11B.12C.13D.21(2)已知ABC,若|+|=|-|,则ABC的形状为. 总结反思 利用向量加减法的几何意义解决问题通常有两种方法:(1)根据两个向量的和与差,构造相应的平行四边形,再结合其他知识求解相关问题;(2)平面几何中如果出现平行四边形或可能构造出平行四边形的问题,可考虑利用向量知识来求解.考向2平面向量的线性运算3 (1)2017西宁一模 如图4-24-4所示,图4-24-4在ABC中,点D在BC边上,且CD=2DB,点E在AD上,且AD=3AE,则=()A.+B.-C.+D.-(2)2017长春二模 在ABC中,D为ABC所在平面内一点,且=+,则=()A.16B.13C.12D.23 总结反思 向量线性运算的解题策略:(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连的向量的和用三角形法则.(2)找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:观察各向量的位置;寻找相应的三角形或多边形;运用法则找关系;化简结果.考向3利用向量的线性运算求参数4 2017运城三模 在ABC中,=,P是直线BN上一点,且=m+,则实数m的值为()A.-2B.-4C.1D.4 总结反思 与向量的线性运算有关的参数问题,一般是构造三角形,利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算,然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.强化演练1.【考向1】设D,E,F分别为ABC的边BC,CA,AB的中点,则+=()A.B.C.D.2.【考向1】2017长沙长郡中学三模 已知O是ABC所在平面内一点,D为BC边的中点,且2+=0,则()A.=B.=2C.=3D.2=3.【考向2】在ABC中,点D是BC的中点,点E是AC的中点,点F在线段AD上,且AF=2DF,设=a,=b,则=()A.23a-16bB.23a-12bC.16a-13bD.16a-16b4.【考向1】已知向量a,b满足|a|=|b|=1,且|a-b|=2,则|a+b|=.5.【考向3】2017山东滨州二模 如图4-24-5所示,在ABC中,O为BC的中点,过点O的直线分别交AB,AC所在直线于点M,N.若=m,=n,则m+n=.图4-24-5探究点三共线向量定理及应用考向1向量共线的问题5 已知e1,e2是两个不共线的向量,若a=2e1-e2与b=e1+e2共线,则=()A.-12B.-2C.12D.2 总结反思 两个向量共线是指两个向量的方向相同或相反,因此共线包含两种情况:同向共线或反向共线.一般地,若a=b(a0),则a与b共线:(1)当0时,a与b同向; (2)当0,反之不成立(因为a与b夹角为0时不成立);(2)两个向量a与b的夹角为钝角,则有ab0,反之不成立(因为a与b夹角为时不成立).题组一常识题1.教材改编 已知向量a=(1,-2),b=(3,-4),则a(a-b)=.2.教材改编 已知|a|=3,|b|=32,ab=34,则向量a与b的夹角为.3.教材改编 已知a=1,b=2,且向量a与b的夹角为120,则|2a-b|=.4.教材改编 已知两个单位向量e1,e2的夹角为45,且满足e1(e2-e1),则=.5.教材改编 在长江南岸渡口处,江水以12.5 km/h的速度向东流,渡船的速度为25 km/h.若渡船要垂直渡过长江,则渡船的航向应为.题组二常错题索引:向量的夹角没有找准导致出错;向量的数量积的几何意义不理解致误;向量的数量积的有关性质应用不熟练.6.在边长为1的等边三角形ABC中,设=a,=b,=c,则ab+bc+ca=.7.已知=(2,1),点C(-1,0),D(4,5),则向量在方向上的投影为.8.若四边形ABCD满足+=0,(-)=0,则该四边形一定是.课堂考点探究探究点一平面向量的数量积的运算1 (1)2017长沙模拟 已知向量a=(2,-1),b=(3,x),若ab=3,则x=.(2)2017江西重点中学联考 在边长为1的正三角形ABC中,设=2,=2,则=. 总结反思 向量数量积的运算问题可从三个方面考虑:(1)直接使用定义(已知两个向量的模与夹角)或利用数量积的坐标公式求解;(2)把两个向量各自使用已知的向量表示,再按照法则计算;(3)建立平面直角坐标系,把求解的两个向量使用坐标表示,再按照坐标法计算.式题 (1)2017资阳期末 已知菱形ABCD的边长为2,B=,点P满足=,R.若=-3,则=()A.12B.-12C.13D.-13(2)2017襄阳四中月考 已知向量a,b满足|a|=3,|b|=5,|a-b|=7,则ab=.探究点二向量的夹角与向量的模考向1平面向量的模2 (1)2017芜湖、马鞍山联考 已知向量a=(1,-3),b=(2,m),若ab,则|a-2b|=()A.45B.90C.35D.310(2)2017河南新乡三模 已知向量,满足|=|=2,=2,若=+(,R),且+=1,则|的最小值为()A.1B.52C.2D.3 总结反思 (1)利用数量积求解向量模的问题常用的公式:a2=aa=|a|2或|a|=a路a;|ab|=;若a=(x,y),则|a|=x2+y2.(2)最值问题是在变化中求得一个特殊情况,在此情况下求解目标达到最值,因此函数方法是最基本的方法之一.考向2平面向量的垂直3 (1)已知向量a=(2,-1),b=(1,7),则下列结论正确的是()A.ab B.abC.a(a+b)D.a(a-b)(2)2017重庆外国语学校月考 已知向量a=(5,m),b=(2,-2),(a+b)b,则m=()A.-9 B.9C.6 D.-6(3)如图4-26-1所示,等腰梯形ABCD中,AB=4,BC=CD=2,若E,F分别是BC,AB上的点,且满足BEBC=AFAB=,当=0时,则的值为.图4-26-1 总结反思 (1)当向量a与b是坐标形式时,若证明ab,则只需证明ab=0x1x2+y1y2=0.(2)当向量a,b是非坐标形式时, 要把a,b用已知的不共线向量作为基底来表示,且不共线的向量要知道其模与夹角,进行运算证明ab=0.(3)数量积的运算ab=0ab是对非零向量而言的,若a=0,虽然有ab=0,但不能说ab.考向3平面向量的夹角4 (1)2017北京朝阳区期末 已知平面向量a=(1,0),b=-12,32,则a与a+b的夹角为()A.B.C.D.(2)已知向量a=(m,3),b=(3,1),若向量a,b的夹角为30,则实数m=.(3)2017四川绵阳中学模拟 平面向量a=(1,2),b=(6,3),c=ma+b(mR),且c与a的夹角与c与b的夹角相等,则m=. 总结反思 (1)研究向量的夹角应注意“共起点”;两个非零共线向量的夹角分别是0与180;求角时,注意向量夹角的取值范围是0,;若题目给出向量的坐标表示,可直接利用公式cos =x1x2+y1y2x12+y12路x22+y22求解.(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角,数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角.强化演练1.【考向1】已知向量a,b满足a=2,b=3,向量a与b的夹角为60,则|a-b|=()A.19B.19C.7D.72.【考向3】已知向量a=32,12,b=(3,-1),则a与b的夹角为()A.B.C.D.3.【考向3】2018益阳调研 已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a+b=(1,3),记向量a,b的夹角为,则tan =.4.【考向2】2018德州期中 已知向量与的夹角为60,且|=2,|=1,若=+,且,则实数的值是.5.【考向1】已知直角梯形ABCD中,ADBC,ADC=90,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为.6.【考向3】ABC的外接圆的半径为1,圆心为O,且2+=0,|=|,则=.探究点三平面向量与三角函数的综合5 2018洛阳期中 已知向量a=(sin x,-3),b=(1,cos x).(1)若ab,求tan 2x的值;(2)令f(x)=ab,把函数f(x)的图像上每一点的横坐标都缩短为原来的一半(纵坐标不变),再把所得的图像沿x轴向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图像,求函数g(x)的单调递增区间及其图像的对称中心. 总结反思 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路:(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立的条件,得到三角函数的关系式,然后求解;(2)给出用三角函数表示的向量坐标,求解的是向量的模或者其他向量的表达式,经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性求得值域等.式题 已知向量a=(sin x,3cos x),b=(-1,1),c=(1,1),其中x0,.(1)若(a+b)c,求x的值;(2)若ab=12,求sinx+的值.第27讲数系的扩充与复数的引入课前双击巩固1.复数的有关概念(1)复数的概念形如a+bi(a,bR)的数叫作复数,其中a,b分别是它的和.若,则a+bi为实数;若,则a+bi为虚数;若,则a+bi为纯虚数.(2)复数相等:a+bi=c+di (a,b,c,dR).(3)共轭复数:a+bi与c+di共轭(a,b,c,dR).(4)复数的模:向量=(a,b)的模r叫作复数z=a+bi(a,bR)的模,记作或,即|z|=|a+bi|=.2.复数的几何意义(1)复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)(a,bR).(2)复数z=a+bi(a,bR)平面向量.3.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),则加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=;减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=;乘法:z1z2=(a+bi)(c+di)=;除法:z1z2=a+bic+di=(a+bi)(c-di)(c+di)(c-di)=(c+di0).(2)复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3C,有z1+z2=,(z1+z2)+z3=.常用结论1.(1i)2=2i,1+i1-i=i,1-i1+i=-i.2.i4n=1, i4n+1=i, i4n+2=-1,i4n+3=-i(nN*);i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(nN*).3.zz=|z|2=|z|2,|z1z2|=|z1|z2|,z1z2=|z1|z2|,|zn|=|z|n.4.复数加法的几何意义:若复数z1,z2对应的向量,不共线,则复数z1+z2是以,为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数.5.复数减法的几何意义:复数z1-z2是-=所对应的复数.题组一常识题1.教材改编 若复数z=a2-a-2+(a+1)i为纯虚数,则实数a的值为.2.教材改编 复数z=(x+1)+(x-2)i(xR)在复平面内所对应的点在第四象限,则x的取值范围为.3.教材改编 已知i是虚数单位,则复数1-3i1-i=.题组二常错题索引:将复数a+bi(a,bR)的虚部误认为是bi;将复数在复平面内所对应的点的位置弄错;错用虚数单位i的幂的性质.4.已知复数z=(1-i)21+i,则z的共轭复数的虚部为.5.已知复数z在复平面内对应的点落在虚轴上,且满足|z-1|=3,则z=.6.若复数z满足z2+i=i2018+i2019(i为虚数单位),则z=.课堂考点探究探究点一复数的有关概念1 (1)2017河南六校联考 设复数z=2+i(1+i)2(i为虚数单位),则z的虚部是()A.-1B.1C.-iD.i(2)若复数2-bi1+2i(bR,i为虚数单位)的实部和虚部互为相反数,则b=. 总结反思 复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数等,在解题中要注意辨析概念的不同,灵活使用条件得出符合要求的解.式题 (1)2017烟台一模 设i是虚数单位,若复数a+2i1-i(aR)是纯虚数,则a=()A.-1B.1C.-2D.2(2)已知复数z=1+ai3-i是纯虚数(其中i为虚数单位,aR),则z的虚部为()A.1B.-1 C.iD.-i探究点二复数的几何意义2 (1)在复平面内,复数1+i(1-i)2+1对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)2017保定一模 在复平面内,若O(0,0),A(2,-1),B(0,3),则在OACB中,点C所对应的复数为()A.2+2iB.2-2iC.1+iD.1-i 总结反思 (1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系,即z=a+bi(a,bR)Z(a,b).(2)复数的几何意义:复数z在复平面内对应的点的坐标就是向量的坐标,对于复数z=a+bi(a,bR),其在复平面内对应的点的坐标是(a,b).复数的模即为其对应向量的模.式题 (1)2017赣州二模 已知复数z满足(1-i)2z=1+2i,则复数在复平面内对应的点为()A.-1,-12B.1,-12C.-12,1D.-12,-1(2)2017南宁二模 复数11+ai(aR)在复平面内对应的点在第一象限,则a的取值范围为()A.a0B.0a1D.a|b|0,所以当a,b同向时,a+b的方向与a的方向相同,当a,b反向时,a+b的方向仍与a的方向相同,正确;对于,因为不确定a0的方向与a的方向是否相同,所以错误.6.等腰梯形解析 =表示与共线,但|,所以四边形ABCD是梯形,又|=|,所以四边形ABCD是等腰梯形.7.2,6解析 当a与b方向相同时,|a-b|=2,当a与b方向相反时,|a-b|=6,当a与b不共线时,2|a-b|6,所以|a-b|的取值范围为2,6.此题易忽视a与b方向相同和a与b方向相反两种情况.【课堂考点探究】例1思路点拨 (1)将已知等式整理成a=b的形式,再根据向量共线定理判断;(2)利用平面向量的有关概念判断.(1)C(2)解析 (1)由a|a|+b|b|=0得a|a|=-b|b|0,即a=-b|b|a|0,则a与b共线且方向相反,因此当向量a与b共线且方向相反时,能使a|a|+b|b|=0成立.选项A中向量a与b的方向相同,选项B中向量a与b共线,方向相同或相反,选项C中向量a与b的方向相反,选项D中向量a与b互相垂直,故选C.(2)不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.不正确.当b=0时,ab,bc,但a与c不一定平行.正确.a与b是非零向量,b与-b反向,若a与b同向,则a与-b反向.正确.因为与共线,且与有公共点B,所以A,B,C三点在同一条直线上.变式题(1)D(2)A解析 (1)A中,与的长度相等,但方向不同,所以A错误;B中,与的长度相等,但方向不同,所以B错误;C中,与的长度相等,但方向相反,所以C错误;D中,与的长度相等,方向也相同,即=.故选D.(2)对于,因为=,所以|=|且与共线,又因为A,B,C,D是不共线的四个点,所以四边形ABCD为平行四边形;反之,若四边形ABCD为平行四边形,则与共线且|=|,所以=,故正确.根据单位向量的定义可知,单位向量的模相等,但方向不一定相同,故两个单位向量不一定相等,故错误.向量与互为相反向量,故错误.对于,因为a=b,所以a,b的长度相等且方向相同,又b=c,所以b,c的长度相等且方向相同,所以a,c的长度相等且方向相同,即a=c,故正确.故选A.例2思路点拨 (1)首先根据条件4=+2构造平行四边形ABEF,然后结合三角形相似的性质求解;(2)以向量,为邻边作平行四边形,通过判断平行四边形的形状来确定ABC的形状.(1)D(2)直角三角形解析 (1)如图所示,延长AC到点F,使AC=CF,以AB,AF为邻边作平行四边形ABEF,对角线AE交BC于点D,故4=+2=,即点O在AE上,则AOB与AOC的高分别为B,C到AE的距离.由平行四边形的性质得ADCEDB,且相似比为12,即CDBD=12,又因为AOB,AOC的底边均为AO,高的比等于BDDC=21,所以AOB与AOC的面积之比为21.(2)由|+|=|-|可知,以向量,为邻边的平行四边形的两条对角线相等,则此平行四边形为矩形,故,即ABC为直角三角形.例3思路点拨 (1)首先利用三角形法则与向量共线的性质表示出向量,然后利用三角形法则表示出.(2)由=+确定点D的位置,从而确定两三角形面积的关系.(1)B(2)B解析 (1)由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得=,=+,=,=+,则=13(+),所以=+=+,所以=13+,所以=+=+=+=-,故选B.(2)由=+得点D在平行于AB的中位线上,从而有SABD=12SABC,又SACD=13SABC,所以SBCD=1-12-13SABC=16SABC,所以=13.故选B.例4思路点拨 利用P是直线BN上一点,可设=n,然后用m,n及,表示出向量,对照已知条件即可求得m的值.A解析 =,=.P是直线BN上一点,设=n,则 -=n(-),即=(1-n)+n=(1-n)+=m+,则n=3,所以m=1-n=-2.故选A.强化演练1.A解析 +=(-)+(+)=+=+=12(+)=,故选A.2.A解析 由题意得+=2,又+=-2=2,所以=,故选A.3.D解析 =-=-=23+-12+=-,故选D.4.2解析 设=a,=b,以,为邻边作平行四边形OACB,则|=|a-b|,|=|a+b|.|a|=|b|=1,且|a-b|=2,|=2|a|=2|b|,平行四边形OACB是正方形,|=|=2,即|a+b|=2.5.2解析 因为O是BC的中点,所以+=2,即m+n=2,则=12m+12n.又因为O,M,N三点共线,所以12m+12n=1,即m+n=2.例5思路点拨 根据平面向量共线定理,引入实数使得2e1-e2=(e1+e2),然后通过比较系数建立方程组求解.A解析 若向量a与b共线,则存在实数使得2e1-e2=(e1+e2),则有解得=-12,故选A.例6思路点拨 (1)首先根据向量加减法法则寻找A,B,C,D四点中任意三个点对应向量间的关系,然后利用共线定理进行判断;(2)首先将A,B,C三点共线问题转化为与共线问题,然后利用向量共线定理求解.(1)A(2)D解析 (1)=a+5b,=-3a+6b,=4a-b,=+=(-3a+6b)+(4a-b)=a+5b=,A,B,D三点共线,故选A.(2)由A,B,C三点共线,得与共线,则存在实数,使得=,则有解得=-1或2,故选D.强化演练1.A解析 a=53b,a,b共线;a=-6-12e1+13e2=-6b,a,b共线;b=-2(e1-e2),不存在R,使得a=b成立,a,b不共线.故选A.2.D解析 由=+,得-=,=,点P在射线AB上,故选D.3.D解析 由题意知,存在实数,使a=b,即e1+ke2=(ke1+e2),由向量相等得解得k=1,故选D.4.B解析 设E是BC边的中点,则12(+)=.由题意得=,所以=14(+)=+,又因为B,O,D三点共线,所以14+14t=1,解得t=13,故选B.【备选理由】例1对共线定理加深理解,例2、例3是两个综合性较强的题目,可供学有余力的学生选用.1配合例5使用 2017北京海淀区期中 在ABC中,点D满足=2-,则()A.点D不在直线BC上B.点D在线段BC的延长线上C.点D在线段BC上D.点D在线段CB的延长线上解析 D由=2-=-=,故点D在线段CB的延长线上,故选D.2配合例4使用 2017上海黄浦区二模 如图所示,BAC=,圆M与AB,AC分别相切于点D,E,AD=1,点P是圆M内任意一点(含边界),且=x+y(x,yR),则x+y的取值范围为()A.1,4+23B.4-23,4+23C.1,2+3D.2-3,2+3解析 B连接AM并延长,线段AM及其延长线分别交圆M于Q,T两点,连接DE,与AM交于点R,显然=+,此时x+y=1.由于AD=AE=1,BAC=,AM=2,DM=3.点P是圆M内任意一点(含边界),2-3AP2+3,且当A,P,M三点共线时x+y取得最值.当P位于Q点时,AQ=2-3,AR=12,则=(4-23)=(2-3)+(2-3),此时x+y取得最小值4-23;同理可得,当点P位于T点时,=(2+3)+(2+3),此时x+y取得最大值4+23.故