简明教程第三章控制系统的时域分析法.ppt

,第三章、控制系统的时域分析法,第三章 控制系统的时域分析法,控制系统的分析方法,分析控制系统 第一步 建立模型 第二步 分析控制性能，,分析方法包括 时域分析法 频域分析法 根轨迹法,第三章、控制系统的时域分析法,第三章 控制系统的时域分析法,3-1典型输入和时域性能指标,(1) 实际系统的输入信号不可知性 (2) 典型试验信号的响应与系统的实际响应，存在某种关系 (3) 电压试验信号是时间的简单函数，便于分析。,突然受到恒定输入作用或突然的扰动。如果控制系统的输入量是随时间逐步变化的函数，则斜坡时间函数是比较合适的。 （单位）阶跃函数（Step function）,室温调节系统和水位调节系统,（单位）斜坡函数（Ramp function） 速度,（单位）加速度函数（Acceleration function）抛物线,（单位）脉冲函数（Impulse function）,正弦函数（Simusoidal function）Asinut ，当输入作用具有周期性变化时。,通常运用阶跃函数作为典型输入作用信号，这样可在一个统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。本章讨论系统对非周期信号（Step、Ramp、对正弦信号相应，将在第五章频域分析法，第六章校正方法中讨论）,3.1 典型输入和时域性能指标,第三章 控制系统的时域分析法,3.1.1 典型输入信号,在典型输入信号作用下，任何一个控制系统的时间响应。 1 动态过程(瞬态响应) 指系统从初始状态到最终状态的响应过程。由于实际控制系统具有惯性、摩擦、阻尼等原因，系统输出量不可能完全复现输入量的变化。用动态性能描述。 2 稳态过程(稳态响应) 是指当t趋近于无穷大时，系统的输出状态，表征系统输入量最终复现输入量的程度。用稳态性能描述。,3.1 典型输入和时域性能指标,第三章 控制系统的时域分析法,3.1.2 动态过程和稳态过程,3.1 典型输入和时域性能指标,第三章 控制系统的时域分析法,3.1.3 动态性能和稳态性能,动态性能： 在许多实际情况中，控制系统所需要的性能指标，常以时域量值的形式给出。通常，控制系统的性能指标，系统在初使条件为零（静止状态，输出量和输入量的各阶导数为0），对（单位）阶跃输入信号的瞬态响应。 实际控制系统的瞬态响应，在达到稳态以前，常常表现为阻尼振荡过程，为了说明控制系统对单位阶跃输入信号的瞬态响应特性，通常采用下列一些性能指标。,3.1 典型输入和时域性能指标,第三章 控制系统的时域分析法,3.1.3 动态性能和稳态性能,延迟时间 ： （Delay Time）响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间。 上升时间 （Rise Time）响应曲线从稳态值的10%上升到90%，所需的时间。上升时间越短，响应速度越快,峰值时间 （Peak Time）：响应曲线达到过调量的第一个峰值所需要的时间。,3.1 典型输入和时域性能指标,调节时间： 响应曲线达到并永远保持在一个允许误差范围内，所需的最短时间。用稳态值的百分数（通常取5%或2%）； 超调量： 指响应的最大偏离量h(tp)于终值之差的百分比，即,或,评价系统的响应速度；,同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。,评价系统的阻尼程度。,第三章 控制系统的时域分析法,3.1.3 动态性能和稳态性能,3.1 典型输入和时域性能指标,第三章 控制系统的时域分析法,3.1.3 动态性能和稳态性能,稳态误差：如果在稳态时，系统的输出量与输入量不能完全吻合，就认为系统有稳态误差。这个误差表示系统的准确度。 稳态特性： 稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。,3.2 一阶系统的时域分析,用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统。图3-3（a）所示的RC电路，其微分方程为,其中C(t)为电路输出电压，r(t)为电路输入电压，T=RC为时间常数。,当初使条件为零时，其传递函数为,这种系统实际上是一个非周期性的惯性环节。 下面分别就不同的典型输入信号，分析该系统的时域响应。,第三章 控制系统的时域分析法,3.2.1 一阶系统的数学模型,因为单位阶跃函数的拉氏变换为,，则系统的输出由下式可知为,对上式取拉氏反变换，得,注*：R(s)的极点形成系统响应的稳态分量。 传递函数的极点是产生系统响应的瞬态分量。这一个结论不仅适用于一阶线性定常系统，而且也适用于高阶线性定常系统。,响应曲线在,时的斜率为,，如果系统输出响应的速度恒为,，则只要tT时，输出c(t)就能达到其终值。,3.2 一阶系统的时域分析,第三章 控制系统的时域分析法,3.2.2 一阶系统的单位阶跃响应,3.2 一阶系统的时域分析,第三章 控制系统的时域分析法,1、稳态性能指标： 由于c(t)的终值为1，因而系统 阶跃输入时的稳态误差为零。 2、动态性能指标：,时间常数T是一阶系统的重要参数。,3.2.2 一阶系统的单位阶跃响应,3.2 一阶系统的时域分析,第三章 控制系统的时域分析法,3.2.3 一阶系统的单位脉冲响应,当输入信号为理想单位脉冲函数时，R(s)1，输出量的拉氏变换与系统的传递函数相同，即,这时相同的输出称为脉冲响应记作g(t)，因为,其表达式为,当,对上式求拉氏反变换，得：,因为,所以一阶系统跟踪单位斜坡信号的稳态误差为,上式表明：一阶系统能跟踪斜坡输入信号。稳态时，输入和输出信号的变化率完全相同,由于系统存在惯性，,对应的输出信号在数值上要滞后于输入信号一 个常量T，这就是稳态误差产生的原因。,减少时间常数T不仅可以加快瞬态响应的速度，还可减少系统跟踪斜坡信号的稳态误差。,3.2 一阶系统的时域分析,第三章 控制系统的时域分析法,3.2.4 一阶系统的单位斜坡响应,上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。,3.2 一阶系统的时域分析,第三章 控制系统的时域分析法,3.2.4 一阶系统的单位加速度响应,表3-2一阶系统对典型输入信号的输出响应,微 分 ,微 分 ,等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数； 系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分；积分常数由零初始条件确定。,3.2 一阶系统的时域分析,第三章 控制系统的时域分析法,二阶系统：凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统。 3.3.1 二阶系统的数学模型 随动系统，如图3-6所示。,3.3 二阶系统的时域分析,第三章 控制系统的时域分析法,该系统的任务：控制机械负载的位置。使其与参考位置相协调。 工作原理：用一对电位计作系统的误差测量装置，它们可以将输入和输出位置信号，转换为与位置成正比的电信号。,输入电位计电刷臂的角位置,，由控制输入信号确定，角位置,就是系统的参考输入量，而电刷臂上的电位与电刷臂的角位置成正比，输出电位计电刷臂的角位置,，由输出轴的位置确定。,3.3 二阶系统的时域分析,第三章 控制系统的时域分析法,电位差,就是误差信号。,桥式电位器的传递函数,该信号被增益常数为,的放大器放大，（,应具有很高的输入阻抗和很低的,输出阻抗）放大器的输出电压作用到直流电动机的电枢电路上。,如果出现误差信号，电动机就产生力矩以转动输出负载，并使误差信号减少到零。,3.3 二阶系统的时域分析,第三章 控制系统的时域分析法,3.3 二阶系统的时域分析,第三章 控制系统的时域分析法,(3)当激磁电流固定时，电动机产生的力矩（电磁转距）为：,（3-10）,电动机的转矩系数,为电枢电流,对于电枢电路,（3-11）,电动机电枢绕组的电感和电阻。,电动机的反电势常数，,电动机的轴的角位移。,电动机的力矩平衡方程为：,（3-12）,J:为电动机负载和齿轮传动装置，折合到电动机轴上的组合转动惯量。 f:为电动机负载和齿轮传动装置，折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。,（3-13）,开环传递函数（即前向通路传递函数）,（3-14）,如果略去电枢电感,（3-15）,增益,阻尼系数，由于,电动机反电势 的存在，增大了系统的粘性摩擦。,开环增益,机电时间常数,不考虑负载力矩，随动系统的开环传递函数简化为：,（3-16）,3.3 二阶系统的时域分析,第三章 控制系统的时域分析法,不考虑负载力矩，随动系统的开环传递函数简化为：,（3-16）,相应的闭环传递函数,（3-17）,为了使研究的结果具有普遍意义，可将式（3-17）表示为如下标准形式,（3-18）,自然频率（或无阻尼振荡频率）,阻尼比（相对阻尼系数）,(因为反馈回路传递函数为1),3.3 二阶系统的时域分析,第三章 控制系统的时域分析法,2. 2. 1 电路系统的微分方程,例1 R-L-C 串连电路,2.2 控制系统的时域模型微分方程,为了使研究的结果具有普遍意义，可将式（3-17）表示为如下标准形式,（3-18）,自然频率（或无阻尼振荡频率）,阻尼比（相对阻尼系数）,3.3 二阶系统的时域分析,第三章 控制系统的时域分析法,二阶系统的标准形式，相应的方块图如图3-8所示,（3-18）,自然频率（或无阻尼振荡频率）,阻尼比（相对阻尼系数）,二阶系统的动态特性，可以用,和,加以描述,二阶系统的特征方程：,（3-19）,（3-20）,3.3 二阶系统的时域分析,第三章 控制系统的时域分析法,两个正实部的特征根，发散；,，闭环极点为共扼复根，位于右半S平面，欠阻尼系统；,，为两个相等的根，临界阻尼；,，虚轴上，瞬态响应变为等幅振荡；,，两个不相等的根，过阻尼；,令,，由式（3-18）得,（3-18）,3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应,3.3 二阶系统的时域分析,第三章 控制系统的时域分析法,（3-20）,对上式取拉氏反变换，得单位阶跃响应为,（3-21）,稳态分量 瞬态分量,衰减系数,阻尼振荡频率,(1)欠阻尼(,)二阶系统的单位阶跃响应,包络线,决定收敛速度,(2)临界阻尼(,),临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应,（3-24）,当,时，二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的无超调单调上升过程。,（3-25）,(3)过阻尼( ),图3-11表示了二阶系统在不同,值瞬态响应曲线（书上图3-10 P91）,3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应,3.3 二阶系统的时域分析,第三章 控制系统的时域分析法,一阶系统的时域分析,微 分 ,微 分 ,3.2 一阶系统的时域分析,上讲回顾,上讲回顾,二阶系统的时域分析 数学模型 单位阶跃响应,上讲回顾,过阻尼,欠阻尼,在控制工程中，除了那些不容许产生振荡响应的系统外，通常都希望控制系统具有适度的阻尼、快速的响应速度和较短的调节时间。,二阶系统一般取,其它的动态性能指标，有的可用,精确表示，如,有的很难用,准确表示，如,可采用近似算法。,3.3 二阶系统的时域分析,第三章 控制系统的时域分析法,3.3.3 欠阻尼二阶系统的动态过程分析,欠阻尼, 上升时间,令 ，求得,一定，即,一定，,响应速度越快,（3-21）,3.3 二阶系统的时域分析,第三章 控制系统的时域分析法,3.3.3 欠阻尼二阶系统的动态过程分析,在式（3-21）中，即,令,时，亦可用,根据峰值时间定义，应取,对式（3-21）求导，并令其为零，求得,（3-21）,3.3 二阶系统的时域分析,第三章 控制系统的时域分析法,3.3.3 欠阻尼二阶系统的动态过程分析,超调量在峰值时间发生，故,即为最大输出,(3-30),时，,时，,时，,当,时,3.3 二阶系统的时域分析,第三章 控制系统的时域分析法,3.3.3 欠阻尼二阶系统的动态过程分析,5或2,所以：,两边取自然对数得：,分别取5或2，并考虑到较小的欠阻尼比时，,调节时间ts,3.3 二阶系统的时域分析,第三章 控制系统的时域分析法,3.3.3 欠阻尼二阶系统的动态过程分析,3.3 二阶系统的时域分析,第三章 控制系统的时域分析法,3.3.4 过阻尼二阶系统的动态过程分析,延迟时间,调节时间,上升时间,3.3.6 二阶系统性能的改善,对于特定的系统，位置控制系统(随动系统)其闭环传递函数,矛盾,超调小，阻尼大,速度慢,矛盾,一定,比例微分控制 测速反馈控制,3.3 二阶系统的时域分析,第三章 控制系统的时域分析法,(1) 比例微分控制（PD控制）,图3-15 PD控制系统,(3-33),称为开环增益,有关,闭环传递函数为,3.3.6 二阶系统性能的改善,3.3 二阶系统的时域分析,第三章 控制系统的时域分析法,(3-35),令,(3-36),结论,可通过适当选择微分时间常数,，改变,阻尼的大小,比例微分控制可以不该变自然频率,，但可增大系统的阻尼比,由于PD控制相当于给系统增加了一个闭环零点，,故比例微分控制的二阶系统称为有零点的二阶系统。,3.3.6 二阶系统性能的改善,3.3 二阶系统的时域分析,第三章 控制系统的时域分析法,(1) 比例微分控制（PD控制）,速度加快,当输入为单位阶跃函数时,(3-37),3.3.6 二阶系统性能的改善,第一部分是典型进阶系统的单位阶跃响应，第二部分为附加零点引起的响应分量， 使上升速度加快，超调量增大。,(1) 比例微分控制（PD控制）,3.3.6 二阶系统性能的改善,(1) 比例微分控制（PD控制）,当输入为单位阶跃函数时,(1) 比例微分控制（PD控制）,3.3.6 二阶系统性能的改善,3.3 二阶系统的时域分析,第三章 控制系统的时域分析法,当输入为单位阶跃函数时的性能指标：,上升时间： 峰值时间： 超调量： 调节时间：,图3-16 测速反馈控制的二阶系统,为与测速发电机输出斜率有关的测速反馈系数。 (电压/单位转速),系统的开环传递函数,(3-41),3.3.6 二阶系统性能的改善,3.3 二阶系统的时域分析,第三章 控制系统的时域分析法,(2) 测速反馈控制,(3-42),相应的闭环传递函数，可用(3-41)式中的第一种表示方式,(3-43),令,(3-44),测速反馈会降低系统的开环增益，从而会加大系统在斜坡输入时的稳态误差。,测速反馈不影响系统的自然频率,不变,可增大系统的阻尼比,测速反馈不形成闭环零点，,测速反馈与PD对系统动态性能的改善程度是不相同的。,结论,设计时，,可适当增加原系统的开环增益，以减小稳态误差。,3.3.6 二阶系统性能的改善,(2) 测速反馈控制,例3-2,图3-17(a)所示的系统，具有图3-17(b)所示的响应，求K和T,解：,3.3 二阶系统的时域分析,第三章 控制系统的时域分析法,闭环传递函数,3.3 二阶系统的时域分析,第三章 控制系统的时域分析法,例3-3 控制系统如图3-18所示，其中输入 ，证明当 时，稳态时系统的输出能无误差地跟踪单位斜坡输入信号。,解：,图3-18 控制系统的方块图,闭环传递函数,只要令,，就可以实现系统在稳态时无误差地跟踪单位斜坡输入。,3.3 二阶系统的时域分析,第三章 控制系统的时域分析法,例3-4 设一随动系统如图3-19所示，要求系统的超调量为0.2，峰值时间 ，求求增益K和速度反馈系数 。根据所求的,解：,系统的闭环传递函数,3.3 二阶系统的时域分析,第三章 控制系统的时域分析法,设高阶系统闭环传递函数的一般形式为,将上式的分子与分母进行因式分解，可得：,3.4 高阶系统的时域分析,第三章 控制系统的时域分析法,3.4.1 高阶系统的单位阶跃响应,将式（3-47）用部分分式展开，得,3.4 高阶系统的时域分析,第三章 控制系统的时域分析法,3.4.1 高阶系统的单位阶跃响应,1、由一阶系统（惯性环节）和二阶系统（振荡环节）的响应函数组成,2、输入信号（控制信号）极点所对应的拉氏反变换为系统响应的稳态分量,3、传递函数极点所对应的拉氏反变换为系统响应的瞬态分量。,4、闭环极点远离虚轴，则相应的瞬态分量衰减得快，系统的调整时间也就较短。,5、闭环零点只影响系统瞬态分量幅值的大小和符号,6、所有闭环的极点均具有负实部,7、表示过渡结束后，系统的输出量（被控制量）仅与输入量（控制量）有关,8、闭环极点均位于S左半平面的系统，称为稳定系统,3.4 高阶系统的时域分析,第三章 控制系统的时域分析法,3.4.1 高阶系统的单位阶跃响应,主导极点 如果系统中有一个(极点或一对)复数极点距虚轴最近，且附近没有闭环零点；而其它闭环极点与虚轴的距离都比该极点与虚轴距离大5倍以上，则此系统的响应可近似地视为由这个（或这对）极点所产生。 例：已知某系统的闭环传递函数为：,3.4 高阶系统的时域分析,第三章 控制系统的时域分析法,3.4.2 高阶系统闭环主导极点,例：,3.4 高阶系统的时域分析,第三章 控制系统的时域分析法,3.4.2 高阶系统闭环主导极点,因此，高阶系统的增益常常调整到使系统具有一对闭环共轭主导极点。,稳定是控制系统能够正常运行的首要条件。 对系统进行各类性能指标的分析也必须在系统稳定的前提下进行。 因而： 如何分析系统的稳定性，并提出保证系统稳定的措施，是自动控制理论的基本任务之一。,3.5 线性定常系统的稳定性,第三章 控制系统的时域分析法,3.5.1 稳定性的基本概念,控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和内部一些因素的干扰，例如，负载和能源的波动、系统参数的变化、环境条件的改变等。这些因素总是存在的，如果系统设计时不考虑这些因素，设计出来的系统不稳定，那这样的系统是不成功的，需要重新设计，或调整某些参数或结构。,基于稳定性研究的问题是扰动作用去除后系统的运动情况，它与系统的输入信号无关，只取决于系统本身的特征，因而可用系统的脉冲响应函数来描述。,3.5 线性定常系统的稳定性,第三章 控制系统的时域分析法,若线性控制系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零(原平衡工作点)，则称系统渐近稳定，简称稳定；反之若在初始扰动影响下，系统的动态过程随时间的推移而发散，则称系统不稳定。,如果脉冲响应函数是收敛的，即有,表示系统仍能回到原有的平衡状态，因而系统是稳定的。由此可知，系统的稳定与其脉冲响应函数的收敛是一致的。,系统仍能回到原有的平衡状态,由于单位脉冲函数的拉氏反变换等于1，所以系统的脉冲响应函数就是系统闭环传递函数的拉氏反变换。,令系统的闭环传递函数含有q个实数极点和r对复数极点，则式(3-46)可改写为,q+2r=n,3.5 线性定常系统的稳定性,第三章 控制系统的时域分析法,3.5.2 线性系统稳定的充要条件-1,用部分分式展开,系统的脉冲响应函数为,闭环特征方程式的根须都位于S的左半平面,系统稳定,不稳定系统,充要条件,不稳定系统的结果,物理系统的输出量只能增加到一定的范围，此后或者受到机械止动装置的限制，或者系统遭到破坏，也可能当输出量超过一定数值后，系统变成非线性的，（而使线性微分方程不再适用。）由于非线性因素存在，仅表现为等幅振荡。,要有一个正实根或一对实部为正的复数根,发散,3.5 线性定常系统的稳定性,第三章 控制系统的时域分析法,3.5.2 线性系统稳定的充要条件-2,3.5 线性定常系统的稳定性,第三章 控制系统的时域分析法,3.5.2 线性系统稳定的充要条件-3,一个在零输入下稳定的系统，会不会因某个参考输入信号的加入而使其稳定性受到破坏？,？,单位阶跃函数,分析,(3-47),稳态分量,瞬态分量,瞬态分量,系统的结构和参数确定,参考输入,一个在零输入下的稳定系统，在参考输入信号作用下仍将继续保持稳定,衰减,一个无限小的领域,3.5 线性定常系统的稳定性,第三章 控制系统的时域分析法,3.5.3 劳斯稳定判据-1,线性系统稳定,闭环特征方程式的根必须都位于S的左半平面。,充要条件,稳定判据,令系统的闭环特征方程为,如果方程式的根都是负实部，或实部为负的复数根，则其特征方程式的各项系数均为正值，且无零系数。,3.5 线性定常系统的稳定性,第三章 控制系统的时域分析法,将各项系数，按下面的格式排成劳斯表,3.5 线性定常系统的稳定性,第三章 控制系统的时域分析法,3.5.3 劳斯稳定判据-2,这样可求得n+1行系数,过程如下：,如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在S的左半平面，相应的系统是稳定的；,如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。,3.5 线性定常系统的稳定性,第三章 控制系统的时域分析法,3.5.3 劳斯稳定判据-3,劳斯稳定判据,已知一调速系统的特征方程式为,例3-5,试用劳斯判据判别系统的稳定性。,解：列劳斯表,由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有二个根在S的右半平面，因而系统是不稳定的。,3.5 线性定常系统的稳定性,第三章 控制系统的时域分析法,3.5.3 劳斯稳定判据-4,已知某调速系统的特征方程式为,例3-6,求该系统稳定的K值范围。,解：列劳斯表,由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数必须全为正值。 可得：,3.5 线性定常系统的稳定性,第三章 控制系统的时域分析法,3.5.3 劳斯稳定判据-5, 劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零或没有余项。,解决的办法： 是以一个很小的正数 来代替为零的这项，据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列。 若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在S右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定。如果第一列,上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。,3.5 线性定常系统的稳定性,第三章 控制系统的时域分析法,3.5.4 劳斯稳定判据的特殊情况(1),已知系统的特征方程式为,试判别相应系统的稳定性。 解：列劳斯表,例3-7,由于表中第一列,上面的符号与其下面系数的符号相同，表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为不稳定。,3.5 线性定常系统的稳定性,第三章 控制系统的时域分析法,3.5.4 劳斯稳定判据的特殊情况(1),(2)劳斯表中出现全零行,则表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。这种情况，可利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行。完成劳斯表的排列。这些大小相等、径向位置相反的根可以通过求解这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是偶数的。例如，一个控制系统的特征方程为,列劳斯表,3.5 线性定常系统的稳定性,第三章 控制系统的时域分析法,3.5.4 劳斯稳定判据的特殊情况(2),显然这个系统处于临界(不)稳定状态。,3.5.5 劳斯稳定判据的应用-1,实际系统希望S左半平面上的根距离虚轴有一定的距离。,为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中是否有根位于垂线,此法可以估计一个稳定系统的各根中最靠近右侧的根距离虚轴有多远，从而了解系统稳定的“程度”。,代入原方程式中，得到以,稳定判据能回答特征方程式的根在S平面上的分布情况，而不能确定根的具体数据。,1,2,解决的办法,设,右侧。,请看例题,用劳斯判据检验下列特征方程,是否有根在S的右半平面上，并检验有几个根在垂线,的右方。,例3-8,解：列劳斯表,第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。,3.5.5 劳斯稳定判据的应用-2,3.5.5 劳斯稳定判据的应用-3,令,代入特征方程：,式中有负号，显然有根在,的右方。,列劳斯表,第一列的系数符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直直线,的右方。,已知一单位反馈控制系统如图3-21所示，试回答,例3-9,时，闭环系统是否稳定？,图3-21单位反馈控制系统方块图,时，闭环系统的稳定条件是什么？,特征方程为,列劳斯表,第一列均为正值，S全部位于左半平面，故,时，闭环系统的,解：,系统稳定,3.5.5 劳斯稳定判据的应用-4,开环传递函数,闭环特征方程为,列劳斯表,未完待续,利用劳斯稳定判据可确定系统一个或两个可调参数对系统稳定性的影响。,欲使系统稳定第一列的系数必须全为正值,3.5.5 劳斯稳定判据的应用-6,系统稳定是前提,控制系统的性能,动态性能,稳态性能,稳态误差,稳态误差的不可避免性,？,在阶跃函数作用下具有原理性稳态误差的系统。,摩擦，不灵敏区，零位输出等非线性因素,输入函数的形式不同,(阶跃、斜坡、或加速度),无差系统：,有差系统：,在阶跃函数作用下没有原理性稳态误差的系统。,本节主要讨论,原理性稳态误差的计算方法,系统结构-系统类型,输入作用方式,3.6 线性系统的稳态误差计算,第三章 控制系统的时域分析法,3.6.1 稳态误差的定义,图3-22 控制系统框图,(3-56),(3-57),输出的实际值,输出的希望值,在实际系统中是可以量测的,(真值很难得到),如果,，输出量的希望值，即为输入量 。,由图3-22可得误差传递函数,(3-58),(3-59),(3-60),二阶系统误差曲线,3.6 线性系统的稳态误差计算,第三章 控制系统的时域分析法,误差：,二阶系统在斜坡输入作用下的响应的误差曲线,3.6 线性系统的稳态误差计算,第三章 控制系统的时域分析法,3.6.1 稳态误差的定义,二阶系统在阶跃输入作用下的响应的误差曲线,3.6 线性系统的稳态误差计算,第三章 控制系统的时域分析法,3.6.1 稳态误差的定义,公式条件：,的极点均位于S左半平面（包括坐标原点）,(3-59),(3-61),输入形式,结构形式,开环传递函数,给定的稳定系统，当输入信号形式一定时，系统是否存在稳态误差，就取决于开环传递函数所描述的系统结构；,按照控制系统跟踪不同输入信号的能力来进行系统分类是必要的。,3.6.2 系统类型,终值定理，求稳态误差。,3.6.1 稳态误差的定义,3.6 线性系统的稳态误差计算,第三章 控制系统的时域分析法,3.6.2 系统类型,令系统开环传递函数为,！,系统类型(type)与系统的阶数(order)的区别,3.6 线性系统的稳态误差计算,第三章 控制系统的时域分析法,令,系统稳态误差计算通式则可表示为,分别讨论阶跃、斜坡和加速度函数的稳态误差情况,3.6.2 系统类型,3.6 线性系统的稳态误差计算,第三章 控制系统的时域分析法,令,令,(3-63),由(3-64)或(3-65)可知,要求对于阶跃作用下不存在稳态误差，则必须选用型及型以上的系统,3.6.3阶跃输入下的稳态误差,(3-65),令,静态速度误差系数,(3-61),(3-68),(3-67),3.6.4斜坡输入下的稳态误差,令,令,(3-61),静态加速度误差系数,(3-70),(3-71),3.6.5加速度输入下的稳态误差,静态位置误差系数,静态加速度误差系数,静态速度误差系数,3.6 线性系统的稳态误差计算,第三章 控制系统的时域分析法,3.6.5加速度输入下的稳态误差,3.6 线性系统的稳态误差计算,第三章 控制系统的时域分析法,3.6.5加速度输入下的稳态误差,假如系统的输入信号是多种典型函数的组合：,可根据线性叠加原理求稳态误差：,3.6 线性系统的稳态误差计算,第三章 控制系统的时域分析法,3.6.5加速度输入下的稳态误差,一单位反馈控制系统，若要求：跟踪单位斜坡输 入时系统的稳态误差为2。设该系统为三阶，其中 一对复数闭环极点为,根据和的要求，可知系统是型三阶系统，因而令其开环传递函数为,例3-10,。求满足上述要求的,开环传递函数。,解：,因为,按定义,相应闭环传递函数,3.6.5加速度输入下的稳态误差,3.6.6扰动作用下的稳态误差,(3-71),(3-72),对式(365)和式(367)采用终值定理法，就可以求出扰动单独作用时的稳态误差,和系统输出,。,3.6.6扰动作用下的稳态误差,对于扰动作用在系统的不同位置时，情况分析如下：,(1)N(s)作用下的稳态误差essnl,令,当1(s)为单位阶跃响应时的稳态误差为：,3.6.6扰动作用下的稳态误差,对于扰动作用在系统的不同位置时，情况分析如下：,(2)N2(s)作用下的稳态误差essn2,令,当2(s)为单位阶跃响应时的稳态误差为：,3.6.6扰动作用下的稳态误差,对于扰动作用在系统的不同位置时，情况分析如下：,由上述分析可知，扰动输入时的稳态误差特点如下： 1)对于扰动作用在系统的不同位置时，它们对系统稳态误差的影响是不同的。 2)若扰动作用点之前有一个积分环节，如N2(s)，则阶跃扰动时的稳态误差为零。 3)若扰动作用点之前无积分环节，如N1(s)，则阶跃扰动时的稳态误差不为零，其值与扰动作用点前的K1有关。K1越大，则稳态误差越小，但相对稳定性将降低。,3.6.6 扰动作用下的稳态误差_1,负载力矩的变化、放大器的零点漂移、电网电压波动和环境温度的变化等，这些都会引起稳态误差。,扰动不可避免,它的大小反映了系统抗干扰能力的强弱。,扰动稳态误差,控制对象,控制器,下面分析扰动对输出的影响,输出对扰动的传递函数,(3-71),由扰动产生的输出,(3-72),图3-23 控制系统,3.6.6 扰动作用下的稳态误差-2,系统的理想输出为零,扰动产生的输出端误差信号,(3-73),(3-74),终值定理,若令图3-23中的,(3-75),开环传递函数为,(3-76),(3-77),3.6.6 扰动作用下的稳态误差-3,下面讨论v=0,1,2,时系统的扰动稳态误差。,0型系统,1,当扰动为一阶跃信号，即,(3-78),I型系统,2,对参考输入，都是I型系统，产生的稳态误差也完全相同,抗扰动的能力是完全不同,阶跃信号,A,3.6.6 扰动作用下的稳态误差-4,斜坡信号,阶跃信号,斜坡信号,