椭圆标准方程1.ppt

,椭圆及其标准方程,F1,F2,如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？,生活中的椭圆,一.课题引入：,椭圆的画法,椭圆的形成：,取一条长为2a的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动 ,椭圆的形成：,椭圆的形成：,哇：得到一个椭圆!,1、椭圆的定义：,平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。,这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。,几点说明：,1、F1、F2是两个不同的定点；,2、M是椭圆上任意一点，且|MF1| + |MF2| = 常数；,3、通常这个常数记为2a，焦距记为2c，且2a2c（？）；,4、如果2a = 2c，则M点的轨迹是线段F1F2.,5、如果2a 2c，则M点的轨迹不存在.（由三角形的性质知）,下面我们来求椭圆的标准方程.,二、推导椭圆的标准方程,(1)如何求到两个定点 的距离之和等于定值2a 的点的轨迹。,(2)求曲线方程的步骤是什么？,建系设点，列式，代入，化简，证明,(3)那么此题如何建立坐标系呢？,建立直角坐标系一般应符合简单和谐的原则，注意要充分利用图形的特殊性。,O,X,Y,F1,F2,M,方案一,O,X,Y,F1,F2,M,O,X,Y,F1,F2,M,方案一,方案二,O,X,Y,F1,F2,M,如图所示： F1、F2为两定点，且|F1F2|=2c，求平面内到两定点F1、F2距离之和为定值2a（2a2c)的动点M的轨迹方程。,解：以F1F2所在直线为X轴， F1F2 的中点为原点建立平面直角坐标系，则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、 (c,0)。,(-c,0),(c,0),(x,y),设M（x,y)为所求轨迹上的任意一点，,则:|MF1|+ |MF2|=2a,O,X,Y,F1,F2,M,(-c,0),(c,0),(x,y),两边平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2,即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2),因为2a2c，即ac，所以a2-c20，令a2-c2=b2，其中b0，代入上式可得：,b2x2+a2y2=a2b2,两边同时除以a2b2得：,(ab0),这个方程叫做椭圆的标准方程， 它所表示的椭圆的焦点在x 轴上。,O,X,Y,F1,F2,M,(-c,0),(c,0),O,X,Y,F1,F2,M,(0,-c),(0 , c),椭圆的标准方程的再认识：,（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1,（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。,（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。,（4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在 哪一个轴上。,椭圆的标准方程,定 义,图 形,方 程,焦 点,F(c，0),F(0，c),a,b,c之间的关系,c2=a2-b2,|MF1|+|MF2|=2a,小 结：,注意：,（3）若a2在 x2之下，则焦点在x轴上；,若a2在y2之下，则焦点在y轴上.,（2）a、b、c有关系式：c2=a2-b2，即,a2=b2+c2，a最大.,（1）在两种方程中，总有ab0;,例1、填空： (1)已知椭圆的方程为： ，则a=_，b=_，c=_，焦点坐标为：_焦距等于_;若CD为过左焦点F1的弦，则F2CD的周长为_,5,4,3,(3,0)、(-3,0),6,20,F1,F2,C,D,例题讲解,(2)已知椭圆的方程为： ，则a=_，b=_，c=_，焦点坐标为：_焦距等于_;曲线上一点P到左焦点F1的距离为3，则点P到另一个焦点F2的距离等于_，则F1PF2的周长为_,2,1,(0,-1)、(0,1),2,口答：下列方程哪些表示椭圆？,若是,则判定其焦点在何轴？ 并指明 ，写出焦点坐标.,?,练习:,例2 写出适合下列条件的椭圆的标准方程,(1) a =4，b=1，焦点在 x 轴上； (2) a =4，b=1，焦点在坐标轴上； (3) 两个焦点的坐标是（ 0 ，-2）和（ 0 ，2），并且经 过点P（ -1.5 ，2.5）.,解： 因为椭圆的焦点在y轴上， 设它的标准方程为, c=2，且 c2= a2 - b2, 4= a2 - b2 ,又椭圆经过点, ,联立可求得：,椭圆的标准方程为,(法一),或,(法二) 因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的 标准方程为,由椭圆的定义知，,所以所求椭圆的标准方程为,运用“待定系数”的思想，求出a,b的值即可；,理解a, b,c在图形中的几何意义，,小结：求椭圆标准方程的方法一：,且 c2= a2 - b2 ,练习: (1).求中心在原点，焦点在坐标轴上， 且经过两点P,的椭圆的标准方程,(2 ) 求适合下列条件的椭圆的标准方程：,两个焦点的坐标分别是（4，0）、（4，0），椭圆上的一点P到两焦点距离的和等于10；,解： 椭圆的焦点在x轴上, 设它的标准方程为, 所求的椭圆的标准方程为, 2a=10， 2c=8, a=5， c=4,例3：若方程4x2+ky2=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，求k的取值范围。,解：由 4x2+ky2=1,可得,因为方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，所以,即：0k4,所以k的取值范围为0k4。,巩固练习,如果方程表示焦点在y轴上的椭圆呢?,如果方程 + =1表示椭圆，则 k的取值范围_,例4、化简：,O,X,Y,F1,F2,M,(0,-3),(0 , 3),(x,y),答案：,|MF1|+ |MF2|=10,分析：点M(x,y)到两定点(0,-3)、(0,3)的距离之和为定值10。,例5.P为椭圆 + =1上一点,F1、F2是 其左、右焦点 （1）若|PF1|=3,则|PF2|=_,（2）过左焦点F1任作一条弦AB， 则ABF2的周长为_,（3）若点P在椭圆上运动, 则|PF1|PF2|的最大值为_,三、小 结：,1、椭圆的定义,2、两种标准方程的比较,3、在求椭圆方程时，要弄清焦点 在哪个轴上，是x轴还是y轴？ 或者两个轴都有可能？,椭圆的标准方程（二）,一、复习回顾：,1.椭圆:,到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的动点的轨迹叫做椭圆。,2.椭圆的标准方程：,3.椭圆中a,b,c的关系:,a2=b2+c2,当焦点在X轴上时,当焦点在Y轴上时,巩固练习,如果方程表示焦点在y轴上的椭圆呢?,1.如果方程 + = 1表示椭圆, 则k的取值范围_,2.P为椭圆 + =1上一点,F1、F2是其左、右焦点 （1）若|PF1|=3,则|PF2|=_,（2）过左焦点F1任作一条弦AB， 则ABF2的周长为_,（3）若点P在椭圆上运动, 则|PF1|PF2|的最大值为_ _,求曲线的方程的一般步骤： 1.设（建系设点） 2.列（由等量关系列方程） 3.化（化简方程） 4.抠点,复习回顾,- M(x,y),例2: 如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP中点M的轨迹。,解：设M(x,y), P(x0,y0),所以M点的轨迹是一个椭圆。,小结： （1）将圆按照某个方向均匀地压缩（拉长），可以得到椭圆. （2）“利用中间变量”求点的轨迹方程的方法是解析几何中常用的方法.,课本P41例3 P42练习4,例4、已知B、C是两个定点，|BC|=6，且ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程。,分析：在解析几何里，求符合某种条件的点的轨迹方程，要建立适当的坐标系。为选择适当的坐标系，常常需要画出草图。,解：建立如图坐标系，使x轴经过点B、C，原点O与BC的中点重合。,|BC|=6 ，|AB|+|AC|=166=10，,但当点A在直线BC上，即y=0时，A、B、C三点不能构成三角形，所以点A的轨迹方程是:,所以点A的轨迹是椭圆，,O,X,Y,B,C,A,经画图分析，点A的轨迹是椭圆。,2c=6，,2a=16-6=10，,c=3，a=5,练：动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离之和为8，则动点P的轨迹为-（ ） A.椭圆 B.线段F1F2 C.直线F1F2 D.不能确定,B,变式： 平面内两个定点的距离是8，写出到这两个定点距离之和是10的点的轨迹方程,解：,取过点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系.由定义知这个轨迹是一个椭圆。两个定点是焦点，用F1、F2表示，,因此这个椭圆的标准方程是：, 2a=10，2c=8， a=5，c=4., b2=a2-c2=52-42=25-16=9，即b=3.,走进高考：,（海南高考（理）