计算机组成原理xu.ppt

6/18/2019,1,3.4 二进制乘法运算 3.4.1 定点数一位乘法,6/18/2019,2,1. 定点原码一位乘法 XY原 = (X0 Y0)|(X1X2Xn) (Y1Y2Yn) 用我们传统人工方法(二进制) X = 0.1101 ,Y = 0.1011 XY = 0.10001111 0 . 1 1 0 1 x 0 . 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 .1 0 0 0 1 1 1 1,6/18/2019,3,机器实现在传统人工的方法的基础上做些修改. (1) 形成部分积. (2) 部分积右移. (3) 乘数右移(空出高位存乘积的低位). 用N位加法器 实现 2N位积的运算.,6/18/2019,4,运算过程举例: X = 0.1101 ,Y = 0.1011 求 XY 用双符号位,乘积高位,乘积低位,XY = 0.10001111,积的符号： 0 0 = 0,6/18/2019,5,实现加法运算的逻辑结构,6/18/2019,6,图3.5 实现原码一位乘法的逻辑电路框图,6/18/2019,7,图3.6 乘法运算的控制流程,6/18/2019,8,2. 定点补码一位乘法,补码运算的几个基本问题,(1) 补码与真值的转换关系,X = X0 + Xi2 -i,n,i=1,p75,(2) 补码右移: 二进制条件下,定点小数补码整体右移一位, 符号不变,相当于除2,若 X补 = X0.X1X2Xn,X = X0 + Xi2 -i,n,i=1,X/2 = X0/2 + Xi2 i2-1,n,X/2 = X0/2 + Xi2 (i+1) + X0/2 - X0/2,i=1,i=1,n,X/2 = X0+ Xi2 (i+1),n,i=0,若 X补 = X0.X1X2Xn,有 X/2补 = X0.X0X1X2Xn,6/18/2019,9,(3) 补码一位乘法的一般讨论 p75 X负 Y 正 X补 Y补 = 2n+1Y + XY = 2 + XY mod 2 XY补 = X补 Y补 XY补 = X补 (0.Y1Y2Yn) X正负 Y负 XY补 = X补 (0.Y1Y2Yn) X补 X，Y 正负 都有 XY补 = X补 (0.Y1Y2Yn) X补Y0 p76 例 3.33 3.34 p76 -77,6/18/2019,10,设: Y补 = Y0Y1Y2Yn,Y = Y0 + Yi2 -i,n,i=1, XY补 = X补Y0 Yi2 -i,n,i=1,= X补Y0 Y12 1 Y22 2 Yn2 n,= X补Y0 (Y1 Y12 1 ) (Y22 1 Y22 2 ) (Yn2 (n 1) Yn2 n ),= X补(Y1 Y0) (Y2 Y1 ) 2 1 (Yn Yn-1) 2 (n 1) (0Yn) 2 n ,= X补 ( Yi 1 Yi ) 2 i,n,i=0,定点补码一位乘法 (1) 布斯 Booth 算法原理,6/18/2019,11,（2）.分步运算逻辑实现的递推,P1补 = 2 1 (Yn+1 Yn) X补,P2补 = 2 1 (P1 补 (Yn Yn-1) X补 ),Pi补= 2 1(Pi-1 补 （Yn-i+2 Yn-i+1） X补),Pn补= 2 1 (Pn-1 补 （Y2 Y1） X补),X*Y补= Pn+1补=( Pn 补 （Y1Y0） X补),Yn+1=0,6/18/2019,12,（3）.补码一位乘法的运算规则,c、Yn与Yn+1构成了各步运算的乘数判断位。,规则：,a、被乘数与部分积取双符号位，并参与运算。,b、乘数取单符号位，但在最末位要加一附加位 （Yn+1），其初始值为“0”,Yn Y n+1 操 作 0 0 Pi右移一位 0 1 PiX补后，再右移一位 1 0 Pi X补后，再右移一位 1 1 Pi右移一位 ,6/18/2019,13,e、按补码右移规则，部分积为正时，补“0”，部分积 为负时补“1”。,d、按上述算法进行N+1步（N为乘数的数值位数） 但第N+1步不再右移。,（4）补码一位乘法举例,已知：X补=11.0011， Y补=0.1011；求XY补,解：由题有 X补= 0.1101,按补码一位乘法，设置部分积，乘数及操作说明完成运算,6/18/2019,14,部分积 乘数Yn Yn+1(附加位) 操 作 说 明,00 0000 01011 0 初始情形，设置附加位Yn+1,+ 00 1101 判别位10，+ -X补,00 0110 10101 1 右移一位,+ 00 0000 判别为11,+ 0,00 0110 ,+ 11 0011 判别位01， + X补,11 0111 0001 最后一次不移位, XY补1101110001 XY = - 0.10001111,00 1101,00 0011 01010 1 右移一位,11 0110,11 1011 00101 0 右移一位,+ 00 1101 判别位10，+ -X补,00 1000,00 0100 00010 1 右移一位,+ 11 0011 判别位01， + X补,6/18/2019,15,3.4.2 定点两位乘法 一位乘法是以乘数单一数位处理为基础。 两位乘法：一次求出对应两位乘数的部分积。 1，原码两位乘 乘数(Y)被乘数(X)都是原码表示 两位乘数由四种可能组合： 00-相当于 X0。 部分积Pi, 右移2位 无其它运算 01-相当于 X1。 部分积Pi +X,右移2位 ; 10-相当于 X2。 部分积Pi +2X,右移2位 ; 11-相当于 X3。 部分积Pi +3X,右移2位 ;,6/18/2019,16,部分积Pi +2X, X左移一位得2X 部分积Pi +3X, (4X-X) 代替 3X 先减X 并引入寄存C 纪录是否拖欠+4X. 部分积Pi 右移2位后 上步+4X 变为+ X 规则总结 表3.4 p88 幻灯片 17 2. 补码两位乘（不细讲了）p89 将布斯算法的求部分积过程两步合并考虑。 判断乘数三位的01组合,6/18/2019,17,表3.4 原码两位乘法规则,6/18/2019,18,3.4.3 阵列乘法器 p82 每个小单元处理一位。四位是同时处理的 输入都在右(y)上(x)，输出都在左下(p)。 每梯形列处理一位部分积。 乘数从上倒下每行送一位 上低位下高位 被乘数每位沿右上到左下的梯形列传送 每行正下输出pi最下一行输出是结果 每列左输出进位最左输出为下一行的p新位 乘数的一零判断用小单元内的与门实现。 左下进位输出结果最高位,6/18/2019,19,6/18/2019,20,3.5 二进制除法运算 3.5.1 定点数除法运算 1. 原码一位除法,(被除数除数和商都是原码),6/18/2019,21,恢复余数法 符号位和数值位分别处理。 商符号位是相除的两数符号的异或；数值是两数绝对值相除的结果。 被除数加除数数值部分的负补码。 判断余数的正负，正，商1。负,商零并加除数的数值部分-恢复余数, 余数与商左移位 重复上3步到余数为零或满足精度为止。 例：p92 X = 0.1011 Y = 0.1101 求X/Y,6/18/2019,22,解： X=00.1011，Y=00.1101，-Y补=11.0011(数值部分负补码),被除数/余数 商 操作说明,001011 00000 开始情形,+ 110011 Y,111110 00000 不够减,商值取“0”,+ 001101 Y,恢复正余数,001011 00000 余数与商左移一位,010110 00000,+ 110011 Y,001001 00001 够减,商值取“1”,010010 00010 余数与商数左移一位,+ 110011 Y,000101 00011 够减,商值取“1”,001010 00110 余数与商左移一位,+ 110011 Y,111101 00110 不够减,商值取“0”,+ 001101 Y, 恢复正余数,001010 余数与商数左移一位,010100 01100,+ 110011 Y,000111 01101 够减,商值取“1”,6/18/2019,23,加减交替法 恢复余数法的一种修正. 原理分析: 第i次求商余数的计算和上一次余数有 Ri = 2Ri-1 Y 恢复余数法中Ri 0 ,商的第 i 位上 0 ,后 加 Y 并余数左移一位 再减Y 即: Ri+1 = 2(Ri+Y) Y = 2Ri + 2Y Y= 2Ri + Y 第 i-1次 求商所得余数 Ri 0 时不再恢复余数而继续下一位求商.但是用加Y 而 不是减Y 的操作.,6/18/2019,24,加减交替法规则 a, 商的符号为两数符号异或. b, 被除数减除数. c, 余数为正商1 为负商0 ,余数与商左移一位 d, 求下一位商,上次商为0加Y 反复到C,为 1 反复到b e, 余数为0 或精度满足 结束. 加减交替法举例,X补=00.1011，Y补=00.1101，-Y补=11.0011,6/18/2019,25,6/18/2019,26,图3.5 实现原码一位乘法的逻辑电路框图,6/18/2019,27,6/18/2019,28,对于定点原码一位除法的几点说明:p94 被除数绝对值要比除数小。 商符号 两数符号位半加和。 被除数位数可以比除数多一倍，初始时低位放在商寄存器，后随计算时与余数一同左移。,6/18/2019,29,2.定点补码一位除法,总之： QiSri Sy （Syi-余数数符，Sy-除数数符）且Q 是反码,补码不恢复余数法的运算操作过程:,(1).运算应使余数的绝对值越来越少。,(2).操作中要用余数Ri与除数Y进行符号比较,这是因为除数Y在运算中 保持 不变,进行符号比较方便。,(3).运算操作规则: p85, p87-表3.6,X补Y补(数符) 商符 操作 R补Y补(数符) Qi商值 下一步操作,同号 0 X补Y补 同号(够减) 1 Ri+1补=2Ri补Y补,同号 0 X补Y补 异号(不够减) 0 Ri+1补=2Ri补Y补,异号 1 X补Y补 同号(不够减) 1 Ri+1补=2Ri补Y补,异号 1 X补Y补 异号(够减) 0 Ri+1补=2Ri补Y补,6/18/2019,30,3.补码不恢复余数法举例,设：X补=10111，Y补=01101，-Y补=10011,用不恢复余数法及末位恒置一法求： X补 Y补,补充说明： (1) 商的符号,是在第一次求商试算时求出的,若定点 除不溢出,得到的就是正确的符号位的值。 (2) 商的修正问题。在对精度要求不高时,将商的最低一位恒置1。最大误差为 | 2-n |。,6/18/2019,31,被除数 商 操作说明,110111 00000 开始情形,+001101 两数异号+Y补,000100 00001 余数与除数同号,商为1,001000 00010 余数左移一位,+110011 上次商1,+-Y补,111011 00010 余数与除数异号,商为0,110110 00100 余数左移一位,+001101 上次商0,+Y补,000011 00101 余数与除数同号,商为1,000110 01010 左移一位,+110011 上次商1,+-Y补,111001 01010 余数与除数异号,商为0,110010 10101 左移,商的最低位恒置1,不恢复余数法,X补 Y补 1.0101,6/18/2019,32,3.5.2 快速除法举例 1，跳0跳1 法 p87 2，除法运算通过乘法操作实现,X XF0F1Fr,Y YF0F1Fr,=,Fi(0ir) 为迭代系数,如若使 分母YF0F1Fr趋近于1 了分子就是商了,若X和Y为规格化正的二进制小数代码时,可写成: Y=1- (0 1/2) 那么可取Fi 的值如下: F0 = 1+ Y0 = YF0 = (1-)(1+)=1-2 F = 1+2 Y =(1-2)(1+2)=1-4 可见i增加 Y 将趋近于1,6/18/2019,33,当Fi = 1 + 第i+1次的迭代结果 Yi = Yi-1 Fi = (1- )(1+) = 1 - Fi = 1 + = 2 1 + = 2 (1 ) Fi = 2 Yi-1 求Fi 的过程举例 p98 关键操作： = 1 Y F0 = 1 + Fi = 2 Yi-1,2i,2 i,2 i,2 i+1,2 i,2 i,2 i,6/18/2019,34,3.6 浮点数运算方法,什么是浮点数？如何表示？,6/18/2019,35,3.6 浮点数运算方法 基本表示 N = M 2 E 3.6.1 浮点数加减法运算 原理：阶码相等的两数相加减。 对阶 -将相加减的两数，阶码凑为相等(趋较大者),X=Mx*2 Ex,Y=My*2 Ey,6/18/2019,36,对阶操作： a,求阶差E = |Ex Ey| b,阶码小者 M 右移 E 位，同时阶码加上E (原码,符号位不参加位移不论正负高位补零 补码,符号位参加位移) (2) 尾数相加/减 得俩数尾数的和/差 (3) 规格化 右规，和/差M双符号位不同时 M 右移一位,E+1 左规，和/差M双符号位相同时 视M数值最高位 而左移，直到与符号位不同。E减左移位 数(尾数补码表示),6/18/2019,37,(4) 舍入处理 运算中保留移掉的数据做舍入处理,其原则是: 要有舍有入,尽量使舍与入的机会均等，以防止误 差积累。 (5) 检查阶码是否溢出。阶码上溢，要置溢出标志，阶码下溢，要置运算结果为浮点形式的机器零。,6/18/2019,38,浮点数加运算举例,假定： X=2 010 *0.11011011,Y=2 100 *(-0.10101100),他们的浮点表示分别为：,阶符 阶码 数符 尾数,X浮= 00 010 00 11011011,Y浮= 00 100 11 01010100,(阶码为补码表示,尾数为补码表示),6/18/2019,39,1.求阶差和对阶,E=ExEy=Ex补+Ey补=00010+11100=11110,即E为-2,X的阶码小,应使Mx右移两位,即有:,Mx= 00 0011011011(保留),2.尾数求和,0000110110 + 1101010100 = 1110001010,3.规格化处理,符号位与最高位同值,应执行左规处理,结果为:,1110001010 1100010101,阶码为00011 (100-1),4.舍入处理,采用“0舍1入”，则有：,1100010101 10,+ 1,1100010110 - -0.11101010,5.判溢出 阶码符号位为00,不溢出 2 011 (-0.11101010),6/18/2019,40,浮点数加减法运算流程图,6/18/2019,41,3.6.2 浮点数的乘除法运算 原理，两浮点数相乘除，阶码相加减，尾数相乘除 两浮点数相除，阶码相减(被除减除)，尾数相除 辅以规格化，舍入，判溢处理 1， 浮点数的阶码运算 阶码四种运算，+1，-1，和，差 阶码表示-移码，补码,6/18/2019,42,移码运算规则 移码的定义为： X移 = 2n + X -2n X 2n （Mod 2n+1） X移 + Y移 = ？ X+Y移,6/18/2019,43,X移 = 2n + X -2n X 2n （Mod 2n+1） 按此定义,则有 X移 + Y移 = 2n + X + 2n + Y = 2n + (2n + X + Y) = 2n + X + Y 移 直接用移码实现求阶码之和时,结果的最高位（符号位）多加了个1,要得到移码形式的结果,必须对结果的符号再执行一次求反操作。 借助补码 Y补 = 2n+1 + Y,6/18/2019,44,那么有： X移 + Y补 = 2n+ X + 2n+1 + Y = 2n+1 + (2n + （X + Y)） （mod 2n+1 ） = X + Y 移 同理有,X移 + -Y补 = X - Y 移 实际中阶码加减运算时,对加数或减数的符号送的是移码符号位的反码。,6/18/2019,45,阶码运算溢出判断 (1) 阶码运算溢出判断用双符号位 (2) 移码最高符号位恒用0 (3)当计算结果最高符号位为1时则溢出发生。 (双符号位 “10” 上溢出，“11”下溢出； “01”结果正，“00”结果负) 举例说明： 设有四位阶码(符号1位数值3位) X = + 011, Y = +110; X移= 01011,Y补 = 00110，-Y补= 11010 Case 1: X+Y移= X移+Y补= 10001；上溢出 Case 2: X-Y移= X移+-Y补= 00101；结果正确 -3,6/18/2019,46,X = -