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文档简介

- 1 -,第三节 可降阶的高阶微分方程,一 型的微分方程,二 型的微分方程,三 型的微分方程,- 2 -,一、,令,因此,即,同理可得,依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .,型的微分方程,- 3 -,例1.,解:,- 4 -,例2. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线,运动,在开始时刻,随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减,直到 t = T 时 F(T) = 0 .,如果开始时质点在原点,解: 据题意有,t = 0 时,设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) .,小,求质点的运动规律.,初初速度为0,且,对方程两边积分, 得,- 5 -,利用初始条件,于是,两边再积分得,再利用,故所求质点运动规律为,- 6 -,型的微分方程,设,原方程化为一阶方程,设其通解为,则得,再一次积分, 得原方程的通解,二、,- 7 -,例3 求微分方程,的通解。,解,令,代入微分方程得,分离变量,两边积分,所以,即,再次积分得通解,- 8 -,例4,求解,解,令,原方程变为,由,得,所以,再次积分得,由,得,所以所求解为,- 9 -,例5 设有一均匀、柔软的绳索，两端固定，,绳索,仅受重力的作用面下垂.试问该绳索在平衡状态时是怎,样的曲线？,解,设绳索的最低点为A.,并取x轴水平向右.,设绳索曲线的方程为y=y(x).,绳索上点A到另一点M(x,y)间的,一段弧AM，设其长为s.,假定绳,索的线密度为,则弧AM的重量,为,由于绳索是柔软的，,因而在点A处的张力沿水平的,切线方向，其大小设为H；,在点M处的张力沿该点处的,取y轴通过点A铅直向上，,- 10 -,切线方向，,设其倾角为,其大,小为T.,因作用于弧段AM的外力相,相互平衡，,把作用于AM上的力,沿铅直及水平两方向分解，,得,所以,将上式两端对x求导，便得y=y(x)满足的微分方程,- 11 -,取原点O到点A的距离为定值a，,条件为,即|OA|=a，,代入方程得,积分上式两端，便得,绳索的形状可由曲线方程,这曲线叫做悬链线。,那么初始,- 12 -,可以推广到,型方程,例6,求解,令,方程化为,即,所以,即,- 13 -,分离变量并积分，则得,解法,此方程是关于变量y、p的一阶微分方程，其通解为,- 14 -,例7 求解,代入方程得,两端积分得,(一阶线性齐次方程),故所求通解为,解:,- 15 -,例8 解初值问题,解: 令,代入方程得,积分得,利用初始条件,根据,积分得,故所求特解为,得,- 16 -,为曲边的曲边梯形面积,上述两直线与 x 轴围成的三角形面,例8.,二阶可导, 且,上任一点 P(x, y) 作该曲线的,切线及 x 轴的垂线,区间 0, x 上以,解:,于是,在点 P(x, y) 处的切线倾角为 ,满足的方程 .,积记为,- 17 -,再
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