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大学物理实验理论 误差与数据处理,理工学院物理实验教学中心,内容分为四部分,测量误差 不确定度 有效数字 数据处理,第一部分 测量误差 第一节 测量与误差,1.1 测量分类,1、按照得到测量结果的方式分 2、按照测量条件分,（1）直接测量：由仪器直接得到测量值 （2）间接测量：由仪器间接得到测量值,举例：,测量电流 I 为 测量？,测量电阻R 为 测量？,测量电压V 为 测量？,注：直接还是间接测量取决于所用仪器，例如电桥测电阻为直接测量。,直接,直接,间接,（返回）,（1）等精度测量：,（2）不等精度测量：,对同一物理量在相同条件（指测量仪器、方法、环境、观测者等）下进行的多次测量；,在不同测量条件下进行的多次测量。,例如：用多档位电流表测电流时，为防止烧坏电表，总是先用大档位粗测电流后，在用小档位细测，这种测量便是不等精度测量。,1.2 误差,误差定义：,指测量值x与真值A之间的差异。,误差表示方式有两种：,（1）绝对误差：d=x-A；有单位，可正可负，不能反映准确度。,（2）相对误差： ，无单位，可正可负，能反映准确度。,例如：两电阻 ，绝对误差均为 ，无法判断哪一个测量更准确。但从相对误差 便可判断准确度。,1.3 误差分类,（1）系统误差： （2）随机误差：,在相同条件下多次测量同一物理量时，误差的大小、符号恒定；或在测量条件改变时，误差的大小和符号按一定规律变化。,在相同条件下多次测量同一物理量时，由于不可预知的随机因素，出现时大时小、时正时负的误差。,第二节 系统误差,2.1 系统误差的来源,（1）仪器本身的缺陷（如天平不等臂）或安装调试不当（零位不在零点）；,（2）实验原理或方法不完善，如伏安法测电阻时未考虑电表电阻引起的误差；,（3）环境引起的，如温度产生的零漂；,（4）主观误差，由观测者的习惯造成的。,2.2 系统误差的发现,1、实验对比法,（1）采用不同的测量方法测同一物理量，看结果是否一致；（如伏安法和电桥法）,（2）更换不同的仪器、仪表测同一物理量；,（3）改变测量步骤；如升温和降温,（4）改变实验条件或测量者。,2、理论分析：,3、数据分析法：,分析理论公式的条件和仪器的使用条件是否与本实验相符。一旦条件不符，必然会出现偏差，甚至是错误（真理的条件性）。,系统误差不满足概率分布，因此误差总是偏向一侧。,2.3 系统误差的处理,1、对于已知的系统误差，给结果加一个负误差或给出一个修正公式即可； 2、对于难以找出的系统误差，要采用下面的办法尽量抵消：,(1)替代法：,对未知量测量后，再用标准量代替未知量所得的结果即为所测量。,如图：为不等臂天平，用砝码P代替未知量x，使天平再次平衡，则P即为待测值。 当臂长L1和L2测出时，可用力矩修正公式 （此为？测量）,（2）抵消法：,（3）交换法：,正误差和负误差方向各测一次，取平均；如居里温度测试。,将被测量与标准量互换进行两次测量，取平均值；如（1）中的不等臂天平。,（4）半周期偶数观测法：,偶数次观测后取平均；如分光计。,（5）对称观测法：,随时间线性变化的系统误差，可将观测程序相对某时刻对称地再测一次，然后取平均；如灵敏电流计测前和测后分别校对一次零点，然后对零点取平均。,（返回）,3.1 统计规律,第三节 随机误差的数学处理,随机误差是随机因素产生的，因此很难预料，也无法消除，只能按其满足的统计规律进行数学处理。,多次测量的误差满足正态分布，具有以下特点：,（1）对称性：正负误差出现的概率基本相同； （2）有界性：存在绝对值最大的误差； （3）单峰性：绝对值小的误差出现的概率大，绝 对值大的误差出现的概率小； （4）抵偿性：当测量次数足够多时，绝对值相等 的正负误差出现的概率大致相等，可相互抵消。,3.2 随机误差的估算,正态分布图：,横坐标为误差，纵坐标 为误差概率密度，误差的总概率为1： 。图中称为标准误差， 是曲线拐点的横坐标。 越小，曲线 越窄，误差分布越集中，可靠性高（黑线）；反之， 可靠性低（蓝线）。,数学理论,概率函数满足高斯分布： 。令此函数 的二阶导数为零，所求得的值即为概率曲线拐点的横 坐标。误差在- ， 区间的概率为 ， 把该区间称为置信区间，在此区间上的误差是可信的。,经计算 ，说明标准误差即是均方根 误差，即,3.3 算术平均值与标准偏差,1、算术平均值,一组测量数据 的算术平均值为：,算术平均值是真值的最佳近似值，因为,2、标准偏差,真实值是无法测得的，常用算术平均值来代替。 测量值与算术平均值的差 ，称为偏差， 即 。,对上式平方求和整理得：,又考虑到正态分布的对称性，故,类比标准误差，定义标准偏差为,表示这组数与其平均值的离散性。,3、算术平均值的标准偏差,因为一组数据不可能有无限多，所以在相同 条件下，测得的不同组数据的平均值也不完全 相等，即它们与真值之间存在离散性，我们引 入算术平均值的标准偏差，可证明其为：,4、测量次数很少时置信区间的确定,当测量次数较少时，戈塞特提出一套t分 布理论，可使置信率仍保持0.683。其中因 子 ，以 作为置信区间， 便可保证置信率。,下面给出测量次数与t因子的对应关系：,（返回）,第二部分 不确定度表示,误差理论中提出的误差对于评介测量结 果质量并不科学，因此人们又提出了不确 定度，作为评介测量结果质量的国际惯例。 测量的不确定度表示是一个比较复杂的 理论问题，在物理实验中仅是一中简化表 示。,1.1 直接测量不确定度的评定,测量不确定度简称不确定度，是测量结果带有的一个 参数，用以评定测量结果的可靠性，它是被测量的真实 值在某个量值范围内的一个评定，即测量结果写成： ， 称做不确定度， 称置 信区间，表达式的含义为被测量的真实值以一定的概率 P落在该区间内，P称为置信概率。,直接测量不确定度分为：,A类不确定度： B类不确定度：,由观测数列用统计方法评定的；,由观测数列用非统计方法评定的。,A类标准不确定度的评定,在等精度条件下对同一被测量多次测量，考虑所有 已知的误差，并做出修正，用算术平均值表示测量结 果，由一组测量数列用统计分析方法计算算术平均值 的标准偏差 ，结果表示为 ，即其统真实值 落在 区间的概率是68.3，与不确定度的含 义是一致的。因此用 作为不确定度的A类评定，记 作： 。,当测量次数较少时，仍需将不确定度 乘以一个t因子。,（返回）,B类不确定度的评定,在测量过程中，必然涉及所用材料的一般特性参数、 制造说明书、检定证书、所用仪器所提供的检定数据 以及取自手册的一些参数，这些都会造成测量结果的 不确定性。这类不确定性不能用统计分析的方法加以 评定，这称为B类评定，评定的依据就是上述内容提供 的一些信息。应该强调的是这些信息造成的不确定性 仍具有概率分布特性，所以B类不确定度仍可估算标准 偏差，只不过不能用统计分析的方法估算。例如以下 几种情形：,（1）不确定度给出为标准差的若干倍,(2)不确定度给出较大的置信率区间,例如：一标值为1000g的标准砝码，检定证书给出信息：“质量1000.000325g，该值的不确定度按三倍标准差为240mg”。则该值的B类标准不确定度SB=240mg/3=80mg。,例如，标值为10的标准电阻，标准证书给出“在23 时，为10.000742+129m(P=O.99)”。则置信率为99， 所以129m不是标准不确定度，它是展伸不确定度（即置信率不是O.683的不确定度，它是由标准不确定度乘 以一个称作包含因子的系数KP得到的。,包含因子与置信率的关系是：,(3)通常信息给出的是仪器误差限,许多仪器给出的不是不确定度，而是误差限，则B 类标准不确定度为 。其中系数K视的概率分 布而定，若为正态分布，则K=3；若为均匀分布，则 ；若为三角分布 。高级别的仪器可 视为正态分布，通常均视为均匀分布。,由表可知，129m是由标准不确定度乘以2.576得到的，所以电阻R的B类标准不确定度SB=129mg/2.576=50mg。,不同性质不确定度的合成,一个测量结果，一般情况下总是存在不 同性质的A类和B类标准不确定度，它们的 评定方法虽然不同，但都具有概率特性， 所以可以把它们直接合成为： 。,在很多情况下，被测量Y不能直接测得，而是由N个其 他量X1，X2，XN决定，即 。设 X1，X2，XN的测量值分别为x1，x2，xN ，被测量 Y的测量值可表示为 。各测量值的不 确定度 必然造成y的不确定度 。各xi的不确 定度 可得自于A类和B类评定，y的不确定度记为：,1.2 间接测量标准不确定度的传递公式,或,1.3 举例,例1 使用精度为 的分光计测量一块三棱镜的顶角 10次，其结果列于表中，试表达测量结果。,解：算术平均值为,算术平均值的A类标准不确定度为：,该分光计的误差限 =1分，故,A类和B类不确定度的合成为,相对不确定度为,对三棱镜顶角的测量结果表示为,注：通常绝对不确定度只保留一位有效数字，对于中间过程可保留两位,比如求E时的S便取两位。而相对不确定度通常取两位。,例2 用0125mm、分度值为0.02mm的游标尺测量一个钢球的直径d，进而求钢球体积V的间接测量结果。,解：实验所测得的原始数据如下表：,B类不确定度,钢球直径平均值为,A类不确定度,注：上式中3次测量的因子 ，今后无特别说明t都取为1。,直径的总不确定度为,钢球体积的不确定度为,（返回）,钢球体积为,钢球体积的测量结果为,注意：p作为中间量，所取的有效位应比最终结果多一位；同理，直径的不确定度作为中间变量也应取两位有效数字。如何决定有效数字的位数将在下面的章节中作详细说明。,即直径的测量结果为,第三部分 有效数字,1.1 基本概念 所有可靠数字和末位的一位有 疑问的数字（存疑数字）统称为 测量结果的有效数字。 如右图：（厘米尺）,图a测量的有效数字为,2.4cm,图b测量的有效数字为,2.43cm,注：存疑数字与不确定度数对齐，多余位需舍弃。,1.2 多余尾数的舍入规则,1、不确定度的舍入规则,不确定度一般只保留一位有效数字。为了保险，多采用全入的办法。对相对不确定度，通常保留两位有效数字，结尾部分按下面一般数据的舍入规则进行舍入。,2、一般数据的舍入规则,“四舍五入”规则入的机会总是大于舍的机会，因而 不合理。现在通用的规则是： “四舍六入五凑偶”，即 被舍位数字小于五舍大于五入；等于五时，若保留的 末位数字为奇数时，则加1，为偶数时则不变，即把 保留的末位数凑为偶数。,例如：对下面数保留4位有效数字。,3.51059,3.510,3.51159,3.512,1.3 有效数字的几个注意问题,1、“0”在数据中的作用,“0” 在其他数字之间或之后为有效数字，在之前则 不是有效数字。例如：O.3和0.03都是一位有效数字， 而103.00则是五位有效数字。,2、单位换算对有效数字的影响,非十进制单位换算时，有效数字位数可以改变。例 如时间 min，1.8为两位有效数字，误差 位在O.1min=6s位上。若以秒为单位，应写成： s，误差位仍在秒位上，并未改变数据 的精度，但180为三位有效数字。,十进制单位换算不影响有效数字,例如80.20g是四位有效数字，若用千克单位表示则 为O.08020kg，仍为四位有效数字。但是用毫克单位 表示写成80200mg，就有问题了，因为按有效数字规 定，最后一位也有误差的数，原来数据80.20g有误差 数是在1/100g位上，当写成80200mg时有误差数是在 1/1000g位上，则数据的准确性变了。为了解决这个 矛盾，应使用所谓科学记数法，即把数据写成小数点 前只有一位，再乘以lO的幂次来表示。如上述质量数 据可写成8.020104mg或8.02010-2kg，它们都是四 位有效数字，这样在十进制单位换算时，不会改变有 效数字的位数。,1.4 运算结果的有效数字规则,1、参与运算的物理常量或常数（如p），保留的位数 比运算数据中位数最少的多一位即可；,2、加减运算f =x+y+z,（1）运算结果的有效数字的末位应与小数点位最高的分量末位对齐。 （2）由传递公式计算不确定度，中间过程取两位，最终取一位。 （3）最后由不确定度决定结果的末位有效数字。,例如：求 f =x+y-z，其中,解：不确定度为,而,故最终结果为4位有效数字,注意：若 时，则,3、乘除法 f =xyz,（1）以有效位数最少的分量为准，将其他 分量取到比它多一位，计算得到f 的有效位 数和有效位数最少的分量相同；,（2）若分量给出了不确定度，则（1）的结果还 要多保留一位或多位，再用传递公式计算不确定 度；,（3）由不确定度决定最终结果的有效数字位数。,例如：求 ，其中测得 ， 。,解：,所以，最终的结果为：,注意：,若 ，则 ；,若 ，则 。,4、乘方和开方结果的有效数字同乘除。,5、函数的运算规则及有效数字,（1）通常函数的有效数字同自变量的； （2）若自变量给出了不确定度，则（1）的结果多保留一位或几位，再用传递公式计算函数的不确定度； （3）由不确定度决定最终有效数字位数。,另外，自变量未给出不确定度，还可以用近似不确定度的办法确定函数的有效数字位数。自变量的近似不确定度即为量具的最小分度值。,例1：,解：,注意：若x未给出不确定度，可取其近似不确定度为量具的最小分度值1分，进而可求出y的不确定度，最后决定y的有效数字位数，如例2。,已知 ，计算 。,例2：,解：x的近似不确定度为,已知 ，计算 。,由y的不确定度决定了y的有效数字需保留到小数点后3位。,通常对数的小数点后的位数与真数的有效位数相同。,总结：,当分量未给出不确定度时：加减运算结果的小 数位数与分量中小数位数最少的取齐；而其他运 算结果的有效数字位数同有效位数最少的分量的 位数；函数的有效位数同自变量的有效位数。,（返回）,当分量给出不确定度时：首先由传递公式求出不确定度，再由不确定度决定结果的有效位数。,第四部分 数据处理,常用的数据处理办法有：,（1）作图法 （2）逐差法 （3）最小二乘法,第一节 作图法,1.1 图示法,1、概念：一组测量数据以及物理量之间的关系在一 固定坐标系内以图线的形式表示出来。,2、作图规则,（1）根据不同需要， 选取合适的坐标纸。,（2）选择和标定坐标轴。一般以横轴表示自变量，纵轴表示因变量。坐标轴一定要标明所代表物理量的名称及量度单位。坐标轴标定要利于读数，通常以l代表1，2，4，5，8个单位值，而不要代表3，7，9个单位值。原点坐标可根据实际需要确定，不一定均为(0，0)，这样可使图线协调。,(3)数据点的表示。在图纸上，实验点要用一定的符号表示出来。,(4)图线的拟合。根据图纸上标出的各点数据，用所谓 拟合法拟合成一条较理想的图线，在顾及到各数据点 的同时，使拟合成的图线呈光滑的曲线或直线，并不 要求图线通过所有数据点，只要通过各数据点的误差 矩形即可，但最好使不在图线上的数据点较均匀地分 布在图线的两侧。,(5)一定要标明图线的名称及获得此图线的实验条件，如可能最好将所测得数据以表格形式列在图纸的适当位置。,1.2 图解法,图解法就是利用所拟合的图线求解问题。,1、确定直线的斜率和截距。,例如：电阻温度关系 ，由测量 数据得到的直线的纵轴截 距即为 ，而直线的斜 率为 ，从而可得到电 阻温度系数 。过 、 两点直线的斜率为： ，其相对误差 为 。,2、线性转换,实际中遇到的被测量间的关系有些并非线性关系， 也就不能直接求斜率和截距，这时可通过变量代换将 非线性关系转化成线性关系。,例如：单摆的周期T与摆长L的关系在0级近似下为 ，二者并非线性，但令 ，则X与L成为 线性关系，可用图解法处理。或者对上式两边取对数 得： ，从而对数lnT与lnL变成了线性 关系。,（返回）,第二节 逐差法,逐差法是把实验测得的数据列成表格，然后进行逐 次相减或等间隔相减的处理办法。逐差法计算简便， 可以随测随检，及时发现数据差错和数据规律。,例如：伸长法测钢丝绳的杨氏模量数据如下,由表可知：,最后一个伸长量L5 L4=13.0mm，与前几个相差偏大， 这是因为最后一个数据为单次测量，所以误差不能被 抵消，这种数据在计算中应尽量回避。,任取两个数据就可以求出杨氏模量，不过这样不能充分利用数据去抵消掉一部分测量误差的影响。但利用逐次相减值求平均也不行。因为，这样的平均值： 实际上仍然只用了两个数据，误差较大。,逐差法是将数据分成L0、 L1、L2和 L3、 L4、L5两组，然后求两组间隔最大的差值，然后再取差值的平均值，即,上述平均值是6kg砝码重量的伸长量，故杨氏模量为：,用逐差法求得的结果，还可以估计它们的不确定度。 根据不确定度传递关系，在忽略砝码的不确定度后，K 的不确定度就由 的不确定度决定，暂不考虑B类不 确定度，可根据L的三次结果，计算其A类标准不确度 为,由于对L只相当于测了三次，所以需要引入t因子，查得在n=3时，t=1.32，因而