数学核心概念的教学以异面直线为例.ppt

数学核心概念的教学：以异面直线为例,杭州师范大学理学院：巩子坤 Email： 电话1,目 录,一、引言：概念学习 二、设计：案例研究 三、结果：教学分析 四、结论与讨论,2,一、引言：概念学习,（一）概念的分类 概念是对一类事物在数量关系和空间形式方面的本质属性的简明、概括的反映。按照加涅的分类方法,数学概念可以分成具体概念和定义性概念。 1. 具体概念。具体概念指一类事物的共同本质特征，这些特征可以直接通过观察获得。获得具体概念就意味着能识别事物的“类别”。比如，通过对几个三角形的观察，获得“三角形有三条边，三个角，三个顶点”。,3,一、引言：概念学习,具体概念是一个很辨证的概念，说其具体，是因为这些概念与我们的日常生活很相近，很直观，似乎不言自明。大家都可以使用这个概念进行交流，也不会产生什么语义上的问题。但是，真的要把这个概念说得清清楚楚，就有困难了。比如，Fredenthal常常说到的椅子概念，用起来没有什么问题，但是，仔细想想，能够定义清楚吗？同时，有必要定义清楚吗？另外，具体概念还有相对性，比如，有些概念对某些人而言，已经达到了“直觉、自觉”的程度，因而，对他们而言，这些概念是具体概念。而对不太熟悉它的人而言，就不是了。比如，相对于群环域而言，整数、有理数是直观概念，群环域是抽象概念；而相对于范畴而言，群环域又是具体概念了。正如哲学中常常说的抽象的具体一样。,4,一、引言：概念学习,2. 定义性概念。定义性概念指一类事物的共同本质特征，这些特征不能通过直接观察获得，必须通过下定义来揭示。定义性概念是对属性及属性间关系的言语陈述。比如，三角形的定义是“由三条线段首尾相接构成的封闭的平面图形。” 学生可能只是重复言语词句而不知道概念的含义。正因为如此，我们使用“给出XX概念的一个例子”，而不是“陈述XX的定义”之类的任务，来考察学生是否习得了这个概念。在加涅看来，定义性概念是一种特殊的规则，其目的是将事物进行分类，它是分类的规则。需要特别说明的是，加涅特别重视智慧技能的学习，因为“学校中的数学内容实际上都是智慧技能”,5,一、引言：概念学习,理论上说来，数学概念大都应该是定义性概念，因为这样的概念才是规范的、科学的。即便是可以通过观察获得事物的关键特征，这些特征也必须用明确的语言表示出来。比如，中学里，大多数概念是定义性概念。但是，由于学生的认知发展水平有限，由于在学习当下概念时，知识的限制，有些时候，也没有必要严格地定义，只需要感受一下，能够辨别正例、反例即可。所以，具体概念是大量存在的，在小学，大量的概念是具体性概念；在中学，诸如无理数、平行、异面直线，均是具体概念。,6,（二）概念学习的过程 1. 概念的形成 概念形成的过程是辨别、抽象出一类事物的本质属性的过程。在其基本过程如下,一、引言：概念学习,7, 辨别各种刺激模式。这些刺激模式可以是学生自己在日常生活中的经验或事实，也可以是由教师提供的有代表性的典型事例。但不管是哪种刺激模式，都必须通过比较，在知觉水平上进行分析、辨认，根据事物的外部特征进行概括。例如，形成长方形概念，先让学生辨认他们所熟悉的实例，像桌面、墙壁、黑板、书本表面等。 分化出各种刺激模式的属性。为了理解该类刺激模式的本质属性，就需要对各种刺激模式的各个属性予以分化。例如，桌面是木制的，可看成是四边形，两组对边分别平行并且相等，四个角相等，等。墙壁、黑板、书本表面等也有各自的属性。,一、引言：概念学习,8,概括出各个刺激模式的共同属性，并提出它们共同属性的种种假设。上例中，共同属性有：可抽象地看成平面四边形；四个角相等；两组对边分别平行并且相等；等。共同的关键属性可假设为：(a)两组对边分别平行并且四个角都是直角的四边形是长方形；(b)两组对边分别相等并且四个角都是直角的四边形是长方形；(c)四个角都是直角的平面四边形是长方形；等。提出关键属性假设的方法是把一条或几条共同属性结合起来。 检验假设，确认关键属性。在检验过程中，采用变式是一种有效手段。如上例中，通过变式可以发现，三个假设在各种变式中均出现，因而都可确认为关键属性。,一、引言：概念学习,9,概括，形成概念。验证了假设以后，把关键属性抽象出来，并区分出有从属关系的关键属性，使新概念与认知结构中的已有的有关观念分化，用语言概括成为概念的定义。上例中，(a)、(b)中的“四个角都是直角”与“有一个角是直角”具有从属关系，而四边形只要有“两组对边分别平行”及“一个角为直角”，那么就能推出“两组对边分别相等”和“四个角都是直角”，因此只要取前两个关键属性即可，于是将长方形定义为“两组对边分别平行并且有一个角为直角的四边形”。,一、引言：概念学习,10,一、引言：概念学习,用习惯的形式符号表示新概念。通过概念形成的上述步骤，学生比较全面地掌握了概念的内涵，而且还掌握了许多概念的具体例证，对于概念的各种变式也有了较好的理解。这时，就应及时地引进数学符号。引进数学符号以后，应当引导学生把符号与它所代表的实质内容联系起来，使学生在看到符号时就能够联想起符号所代表的概念及其本质特征。事实上，如果概念的符号能够与概念的实质内容建立内在联系，那么，符号的掌握可以提高学生的抽象和概括能力。数学逻辑推理，关键的一点就在于能够合理、恰当地应用符号，而这又要依靠对符号的实质意义的把握。,11,一、引言：概念学习,组织，就是把新旧概念进往归类整理，并按照相应的类属关系进行编码，从而形成一个合理的图示。这既是在更大范围内检验和修正概念定义的过程，又是一个概念的应用过程，从中我们可以看出概念的本质特征是否已经被真正理解。在这个过程中，我们可以让学生对一些概念的等值语言进行判断和推理。上例中，“对角线相等并且平分”就是长方形的等值语言。长方形与平行四边形的关系，长方形与正方形的关系。通过这个过程，使新概念与已有认知结构中比较稳定的相关观念建立实质性联系，并将新概念纳入已有认知结构，从而形成新的认知结构，使之成为一个整体。,12,一、引言：概念学习,2. 概念的同化 概念同化的过程是将新概念与认知结构中已有的概念建立起实质性与非人为性联系的过程。因而，认知结构中包含“与要学习的概念相关的概念”，成为学习的关键条件。随着学生年龄的增加，其认知结构也越来越完善和丰富。同时，要学习的概念也越来越抽象。因而，通过“概念同化”的方式来学习概念也越来越成为了主要方式，在大学阶段，则几乎处于统治地位了。概念同化的过程如下：,13,一、引言：概念学习,具体说来，概念同化学习的方式经历了以下几个阶段： 揭示概念的关键属性，给出定义、名称和符号。比如，“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。”这里需要辨认和理解的已有概念是“对边”、“平行”、“四边形。” 对概念进行分类，讨论概念所包含的各种特例，突出概念的本质特征。对于上例，可以讨论的平行四边形的特例是：长方形、正方形。要突出关键特征：两组对边都分别平行。当然这个地方的另一个特例是菱形。概念学习是概念学习很重要的一步，分类可以使学生从外延的角度进一步理解概念，对概念的认识更加细化、深化。,14,一、引言：概念学习, 建立新概念与认知结构中已有概念之间的联系，把新概念纳入到认知结构中，同化新概念。比如，把平行四边形与一般的四边形比较，知道平行四边形是特殊的四边形；把平行四边形与长方形比较，清楚长方形是特殊的平行四边形。 辨认正例和反例，使新概念与已有认知结构中的概念分化。如果说同化是建立联系的话，那么，分化则是建立区别，使概念的外部轮廓清晰。比如，可以举出菱形、梯形、一般的四边形来让学生辨认。 把新概念纳入到相应的概念体系中，形成概念的图示。即在分类、同化、分化的基础上，建立起概念与已有的概念的联系和区别。,15,概念的形成以学生的直接经验为基础，用归纳的方式抽取出一类事物的本质属性，需要学生有辨别的能力，适合低年级的学生学习数学概念，也适合“具体性概念”的学习。在教学方法上，适合采用布鲁纳的发现教学法。概念的同化则以学生的间接经验为基础，以数学语言为工具，依靠新旧概念的相互作用理解概念，需要学生有同化新概念的认知结构，适合高年级的学生学习数学概念，也适合“定义性概念”的学习。在教学方法上，适合采用奥苏贝尔的有意义的接受学习。,一、引言：概念学习,16,（三）概念（定理）的引入、形成、引出（大的框架） 引入：为何引入？怎样引入？引入的情境与必要性。 形成：按照怎样的概念形成顺序（概念认知的顺序）形成的？按照怎样的逻辑顺序形成的（数学的逻辑顺序）？ 引出：导致了那些新的知识的产生？应用到了哪些领域？,一、引言：概念学习,17,二、研究的设计,（一）研究的问题 数学是由概念与命题等内容组成的知识体系，数学教学过程是帮助学生理解并掌握数学概念，并进而构建概念与概念之间联系的的过程，学习数学最重要的是学习关系（史宁中）。 因而，在普通高中数学课程标准（实验）强调数学应当使学生对数学概念本质达到理性认识。高中数学概念是高中数学基础知识的核心，是学好数学知识和培养数学能力的基础。数学概念尤其是核心概念的教与学是数学教学的重要任务。,18,二、研究的设计,1.异面直线是具体概念，具体概念要通过概念的形成来教学。教师在教学中，是怎样遵循具体概念的形成过程的？教学环节是如何展开的？教学环节用时是怎么安排的？ 2. 异面直线所成的角是定义性概念，定义性概念可以通过概念的形成来教学。类似于具体概念，定义性概念又是怎样形成的？教学环节中表现出的教学逻辑顺序是否符合概念形成的认知规律？是否符合定义性概念的定义顺序，即渐次探索得到“这个角的存在性，以及这个角的唯一性”，尤其是唯一性？教学环节的用时保证了这些环节的顺利展开吗？,19,二、研究的设计,本文就从： 教学环节教学环节、教学顺序是否遵循了概念形成的规律，是否遵循了学生心理的内部加工过程（即具体概念、定义性概念形成的过程与顺序）； 教学用时教学用时是否保证了这样的信息加工时间。 两个维度，来探查高中数学教师对概念教学的适应性，进而为概念教学与教材编写提供意见与建议。,20,（二）研究的对象 2013年下半年，浙江省教育厅举办了面向全省的“高中数学学科带头人培训班”。经过各市教育局的推荐，来自全省各地的30名高中数学带头人聚集一堂，开展主题为“数学课堂教学设计与实践能力提升”的学习与实践。这些学科带头人都有着十年以上的教学工作经历，按照推荐要求，或者是当地的教坛新秀，或者是优质课评比一二等奖获得者。总之，“学科带头人”代表了浙江省高中数学教学的较高水平。因而，这些教师的概念教学具有代表性。 3位教师分别来自杭州宁波两地。,二、研究的设计,21,（三）数据分析 依据研究需要，我们从两个维度，分析了3位教师”的教学： 一是质性的方法：教学环节分析，以探查这样的教学安排是否符合两个顺序，即不同类型概念的认知顺序（这里主要是指概念形成的顺序），以及概念自身形成的逻辑顺序（数学的逻辑顺序，主要是指为了给“异面直线所成的角”这个概念下定义，必须首先说明角的存在性与角的唯一性）； 二是用定量的方法：教学环节用时分析，以探查概念学习的过程中，教师是否提供了合适的认知时间。 通过以上两个维度的分析，来探查教师概念教学的适应性。,二、研究的设计,22,（一）教师A 1. 情境创设 （00:03）T：各位同学们，昨天我们已经研究了空间中的一个非常重要的部分，就是平面，并且了解了或者掌握了它的基本性质，也就是三大规律。我们说平面与平面相交会产生什么？ （00:21-01:10）T：直线。那么空间存在着有很多的直线，那么它们之间又有什么样的位置关系呢？这是我们今天要学习的课题空间中直线与直线的位置关系。,三、结果：三位教师的教学分析,23,当然，我们昨天也体会到了要研究空间，我们要一个空间结构，我不可能悬空的去研究，我们第一要准备一下我们所学的平面的知识，第二，我们需要一个载体，或者说一个研究的载体，我们时常会拿来一些我们习惯的几何体作为我们研究空间问题的一个载体，对不对呀？今天呢，我们仍然带着这两点研究空间中直线与直线之间的位置关系。 首先，同学们，我们应该回忆一下什么事情？ （01:11）S：平面 （01:12-01:21）T：谁能告诉我？平面中直线与直线有哪些位置关系？,三、结果：三位教师的教学分析,24,（01:22）S：平行，相交，重合 （01:26）T：那么什么依据来判断平行和相交？ （01:38）S：有没有公共点 01:40-01:54）T：同学们刚才提到了平面中直线与直线的位置关系。在平面有两种关系，一种是平行，一种是相交，主要依据是看有没有公共点 （01:55）T板书,三、结果：三位教师的教学分析,25,2. 概念的引入 （02:20-02:29）T：它的主要的判断依据。那么空间中呢？是不是也只有平行和相交？凭空想想，刚才我说了需要什么？ （02:30）S：载体 （02:32）T：我们找比较熟悉的几何体，比如说长方体，正方体。今天呢我带领大家一起以长方体为载体来感受一下空间中直线的位置关系到底有哪几个方面。好，我们先来看第一组。,三、结果：三位教师的教学分析,26,长方体ABCD-A1B1C1D1 （1）（02:50）第一组，相交，在同一个平面内；,三、结果：三位教师的教学分析,27,（2）第二组：平行，在同一个平面内 （05:40）S看ppt,（07:07）S：因为AB平行DC,然后D1C1平行DC，所以AB平行D1C1 （07:16）T：你是用平行的传递性，传递性我们在平面中也接触过吧！ （07:20）S：恩 （07:21）T：平面直线的传递性，ab，bc，则ca，这位同学说这里也有传递性，这种传递性好像有点跨越了一个平面到了空间的传递，传递吗？好像传递，是吧？的确是传递。在我们现实中，我们说平行的传递性同样可以推广到我们今天的空间中的传递性，这是我们同学提到的一个公理4平行公理我们这个概念得到了推广：在空间当中，平行于同一条直线的两条直线平行。,三、结果：三位教师的教学分析,28,那么这样一来，其实解释了刚才那位同学的想法，他觉得AB和D1C1共面，现在是不是有支撑力量了啊？平行以后它们自然就共面了，有没有公共点当然也是从视觉上来感受了一下。 说明：此处引入平行线传递性公理的好处是，比较自然，问题是，该公理出现就能够说明两条平行直线决定一个平面了吗？公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。这个公理的推论有，相交直线决定了一个平面。但是，它不能够推论出两条平行直线决定一个平面。因为，要得到这个结论，还需要用到公理4。,三、结果：三位教师的教学分析,29,3.概念形成总用时：5:34 逻辑型的教学：思维方式，逻辑的、演绎的 （1）从平面空间 （2）相交平行（同一平面内） 平行公理（平行线的传递性），为证明异面直线做准备。 （3）异面（证明：不平行，不相交），为证明异面直线做准备。,三、结果：三位教师的教学分析,30,（3）（09:08-09:15）继续，C1C和A1B1（翻ppt）它们又是什么关系？,三、结果：三位教师的教学分析,31,讨论并证明：它们不平行 T：平行吗？相交吗？ （09:40）T：平行吗？ （09:42）S5：没有平行 （09:43）T：哦，没有平行，如果平行的话会出现什么情况？如果C1C和A1B1平行，那么C1C必须和什么平行？刚才我们说的平行的传递性。,（09:59）S5：C1C和B1B （10:03）T：C1C和什么？ （10:05）S5：B1B （10:06）T：B1B？恩，它是平行，是长方体啊。如果C1C和A1B1平行，那么下来我们会有一些结论出现，比如说C1C和什么平行？ （10:22）S5：D1C1 （说明：利用公理4进行逻辑推理，说明C1C与A1B不能够平行，否则得到了矛盾的结论来，有必要吗？有必要如此推理吗?） （10:23）T：D1C1平行，这显然是不行的，恩，平行否定了啊，那A1B1与C1C相交吗？,三、结果：三位教师的教学分析,32,讨论、感受并证明，它们不相交 （说明：相交就只有直观感受了，没有办法去证明了。当然，可以如景老师所做，利用公理2，三点决定一个面，来说明。但是，这个地方是要用到直观的。） （10:29）S：没有 （10:30-10:31）T：为什么没有？ （10:39）S：不在一个平面上 （10:41）T：恩，不在一个面上，那么你用什么东西判定它不在一个平面上好多人说公理3，是吗？ （11:06）T：我们说这个平面上，首先是不是要有个面？我们来看看，假如A1B1C1确定了一个面的话，如果要在同一个面上，那么,三、结果：三位教师的教学分析,33,那条C1C是不是没有在平面上？因为如果在平面上，C1C是不是还有另外一个点在平面内？但事实上C1C是不是有一点在平面外，所以没有能放在同一平面内，同时我从空间上感觉它们好像是两个层面上的运动，好，那么出现这样情况，既不是平行也不是相交，那么既然没有办法放进同一个平面，这是我们前面判断的用一些惯性的平面的方式来判断平行还是相交，在这样的方式下，让我们发现没有办法实现，而且我们更重要的是发现了它们无法放进同一个平面，那么这是我们空间中的区别于平面的两种位置关系的新的一种关系，这种关系呢，我们针对它的特色，它的名字叫做异面。什么叫异面直线，譬如你们会诠释成什么？比如说现在啊，你会诠释成什么？ （12:29）S6：在一个平面里（错误），既不相交，也不平行,三、结果：三位教师的教学分析,34,（12:34）T：好，也可以，对，还有呢？ （12:41）S7：没有在同一个平面内的两条直线 （12:44）T：啊，没有在同一个平面内的两条直线，好，那么我们严密的定义是这个定义，不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线，你觉得跟你的诠释一样吗？ （12:56）S：不一样 （12:57）T：不一样它说没有找到一个平面，没有平面，那我讲的是什么？不在 （13:03）S：不在任何一个平面,三、结果：三位教师的教学分析,35,（13:05）T：对，不在任何一个平面，这是语言表述的不同而已啊，就表达没有找到，无法找到一个平面，使得这两条线同时落到这两个平面。这样一来，我们发现空间直线的位置关系有几种啊？几种？ （13:32）S：3种 （13:33）T：3种了啊，（板书），我们说除了我们前面所提到的相交、平行是不是一定共面？ （13:49）S：嗯 （13:50）T：否则就既不平行也不相交，就是什么？ （13:54）S：异面,三、结果：三位教师的教学分析,36,（4）概念的进一步辨析 （说明：从有无交点的视角来对空间中的直线关系分类） （13:55）T：对，好，刚才有同学说了，没有公共点就代表平行，请问今天在我的空间里面还行吗？行不行？ （14:05）S：不行。 （14:07）T：不行啦，哪一种位置关系中照样出现没有公共点？ （14:10）S：异面。 （14:12）T：所以判断的时候我们这个没有公共点除了在平行中拥有以外，我们还有一种关系是异面，三种位置关系。好，那么异面是我们新扩充到空间几何体中的一种新的位置关系，我们呢看看这些是否异面呢？,三、结果：三位教师的教学分析,37,4. 概念巩固 总用时：19:04 层层递进的复杂练习 （1）简单练习 （14:42）S看ppt 基本的 （2）异面直线的画法 （16:00）T： （3）P45页探究题,三、结果：三位教师的教学分析,38,（25:44）T：CD与GH，好，请坐！对不对？非常正确啊，非常正确，所以看下来的主要的问题是折叠上遇到的一些困难，折叠完以后呢如何判断相交，平行与异面。那我们说，现在有我们异面的直观图的画法，判断异面会更加清晰一点啊，比如说CD和AB。我很容易理解AB，我可以想象成上底面的一条直线，对不对？上底面，而CD是不是经过上底面的D点？是不是？而D点又不在AB上，以及上底面外的一点C，所以很准确的可以看出异面，除了用直观的感觉以外，我们已经可以从原理上判断是不是异面。,三、结果：三位教师的教学分析,39,那平行，我们说CD和EF平行，这种平行，我们首先的依据是什么？看看啊，正方体我们很熟悉是吧，对面的两条对角线平行，但是今天我们严格一点，依据是什么呢？依据首先是共面，对不对？或者说是一个平行四边形，EG和FD，利用平行公理传递性，EG平行右侧这条棱，这条棱又平行于FD，平行传递性，所以EG平行于FD，它是个平行四边形，从而得到对边互相平行，是吧！而不是直观的，所以今天我们多了很多原理的支持啊来判断异面直线，这是一个确切的几何体。,三、结果：三位教师的教学分析,40,从异面直线的画法来探讨异面直线； 从平行线的传递性来探讨平行。 （4）看练习2 （27:43）S思考 （5）看练习3 （33:45） 结束：（33:46）,三、结果：三位教师的教学分析,41,教师A的概念教学概述如下： 教师A按照概念形成的顺序，基于严密的逻辑推理，来形成异面直线的概念。首先，回顾了研究空间问题的一般方法，即从二维到三维的推广，以及选择研究的载体，这一回顾，为教学空间中直线与直线的位置关系，做好了知识的铺垫即平面中直线与直线的位置关系，也做好了研究方法的铺垫即以同学们所熟知的正方体作为研究载体。在复习了平面中直线与直线的位置关系后，提出了研究的问题，即空间中直线与直线的位置关系。教师A提供了正方体上的三组直线，第一组是相交关系；第二组是平行关系，在探讨空间中直线的平行关系时，引入了平行线的传递性公理（推理的抓手）。,三、结果：三位教师的教学分析,42,然后，以这一公理以及以前学习的公理为基础，用逻辑推理的方法，说明两条直线不平行，也不相交，从而不在同一个平面内。进而，以“这两条直线不在同一个平面内”为基本特征，引导学生命名两条直线的位置关系。教师引入平行线的传递性公理的意图是“给异面直线一个严密的定义”。 该概念教学的另一个显著的特征是遵循了概念形成的顺序，即提供刺激（空间中直线与直线的位置关系），分化、类化（三类），抽象（第三类，不平行，也不相交），然后，通过推理的方式进行概括。,三、结果：三位教师的教学分析,43,练习时，也是基于推理来判断两条直线是异面直线，进而巩固概念。在做探究题目的时候，教师强调“我们可以从原理上判断是不是异面”。对于平行，也是通过证明平行四边形，从而得到对边互相平行的。练习的设计层层推进，概念的巩固时间充分。 概言之，教师A的教学可以称之为“逻辑型教学”：以逻辑推理为主线，按照概念形成的顺序，展开教学。概念的形成过程充分，学生思考、练习的时间充分。 我们的问题也恰恰由此产生：对于异面直线的概念，有无必要花费如此大的时间与精力来学习吗。,三、结果：三位教师的教学分析,44,评述： （1）用逻辑推理（平行线的传递性，作为推理的总抓手，同时要借助直观），按照概念的形成（不平行，也不相交，即不在一个平面内，形成本质属性），来讲概念； （2）练习也是基于推理，来巩固概念。 （3）形成过程充分 思维过程充分：严密的演绎推理； 概念形成的时间：14:42； 练习充分：时间充分，19:04；思维过程充分，严密的推理。,三、结果：三位教师的教学分析,45,（二）教师B 1.情境创设 用时：1:46 形象的二维空间中直线与直线的位置关系：“擦肩而过，相遇在人海。” （00：11-01:44）老师：转眼间，杭州的秋天到了，秋天是一个唯一让人觉得感伤的季节。某年某月的某一天，我和你都幻化成了两条不同的直线，在我们曾经走在同一个平面的日子里，我和你曾经擦肩而过，我们能用两条直线的位置关系来反应么？诶，很有感觉，平行。但我们也曾相遇在人海，诶。这两条直线相交，这是我们曾经的过往。但是我们即将走入三维空间，也许我们既不能擦肩而过，也不能相遇。,三、结果：三位教师的教学分析,46,这是我的设计。我们之间到底怎么了？ （01：45-01:46）学生：没关系。 用现实生活的情境引入，具有了诗情画意：擦肩而过，相遇，虽然不是很精确，但是，容易让大家想象出两条直线的关系。,三、结果：三位教师的教学分析,47,2.概念引入 用时：1:36 （01：47-02:01）老师：有人说没关系，到底有没有关系呢。我们首先从位置关系来看，这两条直线给你的直观感觉它们不平行吧，也不怎样 （02：01-02:02）学生：相交。 （02：02-02:08）老师：相交。那它们总得有个名分吧。它们到底怎么了？,三、结果：三位教师的教学分析,48,（02：08-02:09）学生：异面直线。 （02：10-03:22）老师：它们异面，或者说我们异面。我们曾经擦肩也好，相遇也罢。总能找到一个平面，来存放幸福的我们。而当我们异面的时候，我们很悲催的是，既然找不到任何一个平面，来安放我们，但我们不必悲伤。正因为有了异面的我们，才有了丰满的三维图形。（这句话很深刻）刚才我们经历了一个感性的过程，但是我们数学总是要由感性到理性，由具体到抽象，根据刚才的描述，你能给出异面直线的定义嘛？来，试着来想一想，刚才我们经历了这样丰富的描述，你能给出异面直线的定义嘛？好我们请这位同学来表达一下你的看法。,三、结果：三位教师的教学分析,49,3.概念形成 直观，情感型的教学：思维方式，直观的，感性的 用时：0:50 （03：23-03：25）学生1：不在同一个平面内的直线。 （03：25-03:44）老师：不在同一个平面内的直线，叫做异面直线。还有没有其他的说法类。不在同一个平面内的两条直线有怎样的位置关系呢？异面，又回到异面的问题上面。还是从另外一个角度，从否定的角度来看。怎么去看呢？,三、结果：三位教师的教学分析,50,（03：45-03:46）学生2：不平行也不相交。 （03：46-04:15）老师：诶，不平行也不相交。那么可以给出异面直线抽象的定义。不能在任何一个平面内的两条直线我们把它叫做异面直线。当然，也可以这样描述，既不平行也不相交的两条直线我们把它叫做异面直线。,三、结果：三位教师的教学分析,51,4.练习 简单的直观的练习 用时：3:49 （1）画法 04:15-05:21 （2）空间直线位置关系的分类 （05：22-06:22） （3）练习（巩固） （06：22-08:04）师生：异面。,三、结果：三位教师的教学分析,52,刚才我们说了空间中直线的形象的作图方法。我们来做一个简单的问题。正方体的棱所在的直线中,与直线A1B异面的直线有哪些？ TB：怎么找呢？首先我们来看下，与A1B相交的棱能不能异面？ 师生：不能。 TB：那么来看下与A1B相交的棱有哪些呢？首先我们来看过A1点的棱有A1D1。 师生：A1B1，A1A 师生：还有BC， BB1， BA。 TB： BA也不行。除掉了6条棱，还剩下6条棱，这6条棱与A1B异面吗？ 学生：逐一回答异面。,三、结果：三位教师的教学分析,53,教师B按照概念形成的顺序，借助直观形象，通过直观感悟，来进行概念教学。首先，用个诗意化的、直观的语言，对二维空间中直线与直线的位置关系进行了描摹，“我和你都幻化成了两条不同的直线，在我们曾经走在同一个平面的日子里，我和你曾经擦肩而过，我们也曾相遇在人海”这是对旧知识的回顾，也是对新知识学习的铺陈。然后，同样用优美的语言，转入到要学习的主题，“这是我们曾经的过往。但是我们即将走入三维空间，也许我们既不能擦肩而过，也不能相遇”，从而引入到概念的学习。而对于概念本质的认识，也是诗意的、直观的、感性的：“当我们异面的时候，很悲催的是，找不到任何一个平面，来安放我们”，进而引导学生概括出“不在同一,三、结果：三位教师的教学分析,54,个平面内的直线叫异面直线”。然后，从否定的方面（不平行、不相交），加深对概念的理解。虽然是这样一种诗意的认知，教师也表述了“正因为有了异面的我们，才有了丰满的三维图形”这样深刻的话语。 练习时，也是基于直观感悟，来理解、巩固概念的。直观排除与A1B相交的棱，再直观排除与A1B平行的棱，从而得到了与A1B异面的直线。 概言之，教师B的教学可以称之为“直观型、感悟型教学”：以茫茫人海的际遇为喻体，以直线的位置关系为本体，感悟、理解异面直线的本质。概念形成的过程简单、直观、省时，学生思考、练习的时间短暂。,三、结果：三位教师的教学分析,55,评价：总共用时8分钟。 （1）借助直观形象、通过直观感悟（既没有相遇，也没有擦肩而过；不相交，不平行），按照概念的形成（不平行，不相交，或者不在同一个平面内），来讲概念； （2）练习也是基于直观，来巩固概念。 不说理，排除了相交的情况外，不推理说明不平行，直接说出异面否。（从不相交，不平行入手） （3）形成过程简单、直观、省时 过程：人生的平面人生的空间既没有擦肩而过，也没有相遇在人海。 概念形成时间，4:15 练习时间：3:49 完成练习，借助直观，无需严密的推理。,三、结果：三位教师的教学分析,56,（三）教师C 1.情境创设 用时：0:37 数学情境：二维空间中直线与直线的位置关系 （00:00-00:11）老师：（这节课我们学习空间中直线与直线的）位置关系，那么首先我们来回忆一下，关于直线和直线的位置关系，在初中里面，我们学过哪几种关系？ （00:11-00:12）学生：相交. （00:12-00:14）老师：相交和. （00:14-00:15）学生：平行.,三、结果：三位教师的教学分析,57,（00:15-00:31）老师：平行，非常好，那么在平面里面，我们直线和直线的位置关系，相交和平行。其实一个非常简单的一个图形，上面全部包含了，大家看看，AB所在的直线跟CD所在的直线，怎么样？ （00:31-00:32）学生：平行. （00:31-00:32老师：平行. （00:32-00:36）老师：AB所在的直线跟AD所在的直线？ （00:36-00:37）师生共答：相交.,三、结果：三位教师的教学分析,58,2.概念引入 用时：2:10 (00:37-01:08)老师：对不对？那么我们今天要把这个二维空间平面里的这一个直线和直线的位置关系给它拓展,放到我们这个三维空间里面，看看在三维空间里面直线和直线有哪些位置关系。是不是只有这些相交或者只有这些平行，或者两者皆而有之或者还有别的关系。那么同样的找一个非常简单的图形，大家觉得用个什么图形方便点啊？ (01:08-01:09)学生：正方体.,三、结果：三位教师的教学分析,59,(01:10-01:28)老师：正方体？如你所愿，我们来个正方体，大家看看，在这个正方体里面，棱所在的直线有很多吧，那么在那么多直线里面大家看一看它们之间的位置关系，有哪些？我们先思考一下。 (02:01-02:03)老师：找位同学来说说看啊 （1）与AA1平行的找一找 (02:05-02:19)老师：大家看，在这里面因为直线比较多，我们以这段为例，好吧。与AA1这条棱所在的直线平行的直线有没有. (02:28-02:29)学生1：BB1.（直观） (02:46-02:47)学生1：AD,AB.,三、结果：三位教师的教学分析,60,（2）与AA1相交的 (02:29-02:37)老师：垂直的有没有，相交的有没有， (02:37-02:39)学生1：A1D1. (02:39-02:40)老师：哪个？ (02:40-02:41)学生1:A1D1. (02:41-02:43)老师：A1D1，还有呢? (02:43-02:44)学生1：A1B1. (02:44-02:46)老师：A1B1，还有 (02:46-02:47)学生1：AD,AB.,三、结果：三位教师的教学分析,61,3.概念形成 （3）与AA1不相交，也不平行 概念的反驳与完善。 (02:47-03:21)老师：这四条绿色的线跟这条红色的线的所在的直线，它们的位置关系平行吗？ (03:21-03:22)学生：不平行.（直观） (03:22-03:23)老师：不平行，相交吗？ (03:23-03:24)学生：不相交. (03:24-03:28)老师：不相交，那么你说它们怎么的位置关系啊？ (03:28-03:30)学生：异面.（直观）,三、结果：三位教师的教学分析,62,(03:58-04:21)老师：那么我们给出了个新名词叫异面了，接下来我们看一看，能不能给这个异面下个定义，怎样的两条直线叫做异面直线？用自己的话说说看，好，有没有办法？ 概念的初步形成（不相交，不平行） (04:21-04:27找学生作答） (04:27-04:30)学生2：不在同一个面上（概念1） (04:32-04:34)学生2：又不相交又不平行的（概念2） (04:59-05:26)老师：没有啦，那我们来看看哦，刚才同学说的不在同一个平面内的、不平行也不相交的直线，那不行平不相交、不在同一个平面内，好像说起来比较绕口哦，前面一个女同学。,三、结果：三位教师的教学分析,63,(05:29-05:33)同学4：不在一个平面然后也不相交的（概念3） (05:36-05:46)同学4：不在一个平面内也不平行（概念4） (05:51-05:53)同学4：直接不在一个平面内（概念1） (05:56-06:03)老师：哦，不在一个平面内的两条直线叫异面直线，是吧？那为什么后面两个不要了呢？ (06:04-06:10)同学4：因为异面直线本身就是不相交的（反驳概念3，概念4） (06:10-06:22)老师：不在同一平面内的两条直线叫异面直线（反驳，因为没有“任何”二字），对吧？是吧.,三、结果：三位教师的教学分析,64,反驳： (06:22-06:23)同学：对啊. (06:23-06:32)老师：对呗，这条线（AA1与CC1）在这个面内呗，在这个面内吧? (06:46-06:47)老师：在哪个平面内啊？ (06:47-06:53)师生共答：A1ACC1 （反驳，这个反驳似乎没有力量，因为， 你所指出AA1与CC所在的两个平面的确不是同一个平面；但是，这并不能够说明AA1与CC1不能够在同一个平面，只是你没有找到这个“同一平面”而已，事实上这个平面是容易找到的。教材中用的定义是“不在任何一个平面的两条直线”，而没有用“同一平面”。辞海中用的定义是“不在任何一个平面内的两条直线”）,三、结果：三位教师的教学分析,65,(06:53-07:07)老师：刚刚才不是有同学说不在同一个平面内吗，那我找到两个平面，你不在同一个平面内啊，所以那怎么说？ (07:07-07:13)师生共答：不在任何一个平面内的两条直线。形成 (08:41-08:42)学生：对,三、结果：三位教师的教学分析,66,4.练习 比较复杂的直观的练习 用时：8:54 （1）画异面直线 (08:42-09:00)老师：好啦，我们把异面直线解决掉了以后接下来我们拿出大家草稿纸，知道异面直线怎么回事情，接下来就要画这个图形，画画看能不能把异面直线给画出来。在白纸上画异面直线？ （让学生动手） （2）空间直线与直线的三种位置关系 (12:31-12:33)学生：三种 (13:54-13:55)学生：平行,三、结果：三位教师的教学分析,67,（3）练习 (13:55-15:13)老师：平行，一类是异面直线。非常好，我们把这个空间直线的位置关系全部把它给分清楚啦，接下来我们用我们刚刚学过的这个直线之间的一个位置关系的知识来解决一下这个问题。大家看，黑板上的这个正方体，现在上位线比刚才多多啦，我需要大家给我解决的是这四条对角线A1C1、AC、A1D、D1C这四条对角线之间一共有几组异面直线。一共有几组，一共四条直线，对吧？四条直线它们之间有几组异面直线。 (16:12-16:16)老师：好啦，我们找个同学来说说看啊，这个女同学，来,三、结果：三位教师的教学分析,68,(16:16-16:18)学生5：D1C与A1C1 (16:18-16:29)老师：等一下啊，我听到是女生的D1C跟谁啊？A1C1，大家说对吧，对不对？ (16:29-16:30)学生：对 (16:30-16:31)老师：对的，还有呢（不说明理由，直观把握） (16:31-16:34)老师：D1C与 (16:34-16:35)学生5：A1D (16:35-16:37)老师：A1D，对吧？ (16:37-16:38)学生：对 (16:37-16:39)老师：也对的啊，还有吗？ S：没啦。,三、结果：三位教师的教学分析,69,教师C按照概念形成的顺序，基于直观，通过简单的探究，开展概念教学。首先，通过一个简单的例子，回顾二维平面上直线与直线的位置关系，然后，提出问题，即三维空间中直线与直线的位置关系是什么？同样，以正方体为载体，开展了异面直线概念本子属性的探究。之所以称之为探究，是因为教师C带领学生经历了异面直线概念猜测、反驳、完善的过程：先通过直观，形成了一个概念的猜测“不在一个平面，不平行又不相交的两条直线是异面直线”，然后，通过反驳“可以去掉不平行又不相交”，进而得到“不在一个平面的两条新直线是异面直线”，再进一步反驳“一个平面”，形成完善的概念“不在任何一个平面的两条直线是异面直线”。对于特别注重解题,三、结果：三位教师的教学分析,70,教学的高中数学教学而言，在概念教学时，能够给学生提出适当的问题，能够给学生提供适当的探索的时间，能够让学生经历一个探究的过程，难能可贵。 练习时，也是基于直观，来辨别哪些是异面直线，进而巩固巩固概念。 概言之，教师C的教学可以称之为“直观型、探究型教学”：从二维拓展到三维，借助正方体，从平行、相交入手，直观感悟“不平行、不相交的两条直线”，猜测、反驳、形成异面直线的概念。概念形成的过程简洁、充分、直观，概念巩固的过程也简单直观。,三、结果：三位教师的教学分析,71,评价：总共用时17：36。 （1）借助直观形象（不相交，不平行），按照概念的形成（不平行，不相交），来讲概念； 概念的形成有了探究的味道。 （2）练习也是基于直观，来巩固概念。 不说理，排除了相交的情况外，不推理说明不平行，直接说出异面否。（从不相交，不平行入手） 完成练习，借助直观，无需严密的推理。,三、结果：三位教师的教学分析,72,（四）3位教师的课题教学环节对比表,三、结果：三位教师的教学分析,73,74,1.相同之处 就情境创设而言，均创设了学生已经熟知的二维空间的情境，教师A、教师C创设的是纯粹的数学情境，教师C创设了生活情境。 就概念的教学而言，概而言之，三位教师均按照概念的形成过程来展开教学。概念形成的总体思路是，以正方体为异面直线概念研究的物理载体，以二维空间到三维空间的推广为方法载体，以平面直线与直线的位置关系为知识载体：平面中，直线与直线有相交与平行两种位置关系，那么，到了三维空间，直线与直线是否还是这两种关系呢？然后，以正方体（长方体）为载体，首先认识了相交直线，再认识了平行直线，最后认识了既不相交也不平行的直线，即不在同一个平面内的直线，从而，通过辨别刺激、分化、类化，进而抽象，获得了异面直线的本质特征。,三、结果：三位教师的教学分析,75,就概念的巩固而言，大都通过画异面直线，通过练习，来进一步理解、巩固这一概念。,三、结果：三位教师的教学分析,76,2.不同之处 但是，三位教师的教学，也还有着较大的差异。 在概念的形成过程中，教师A引入了“平行线的传递性公理”作为知识的准备（仅有教师A这样做），并以此为理论基础，通过演绎证明“两条直线不平行、也不相交”，进而说明他们是一种新的直线关系异面。在以后设计的层次推进的复杂的练习中，也是主要通过推理来证明两直线的异面。在教师A看来，异面直线的概念是一个很重要的概念，必须通过严密的推理，来把握概念的本质特征，而且获得这一特征的过程必须充分展开，因而，步步证明，层层推进，浓墨重彩，时间充分，过程细致。教师A概念的形成与巩固过程是“逻辑的，演绎的”。,三、结果：三位教师的教学分析,77,教师B整个概念的形成过程强调直观：创设的情境是感性的、直观的，方法的载体（从二维带三维的推广）是直观的，对于异面直线特征的感悟是直观的（既不擦肩而过，也不相遇），对于后面的练习，也要求学生仅仅能够从直观上感悟两直线异面即可。整个过程，没有如教师A般的说理。练习也是简简单单。也许在教师B看来，该概念是一个难以说清楚的概念，只需要从整体上直观感受一下，能够分清楚哪些是异面直线即可。因而，教学过程简单、直观、省时。教师B的概念形成与巩固过程是“直观的、感性的”。,三、结果：三位教师的教学分析,78,教师C的概念形成过程强调直观、探究。如教师B一样，教师A也是让学生从直观来感受“不平行，也不相交”，并进而形成概念的本质特征的。然而，教师C却安排了“猜测，反驳，完善”的层层递进的探究过程，让学生在“辨别，分类，抽象”的基础上，通过“检验、概括”来形成概念，即经历了完整的概念形成过程，从而，加深了学生对概念本质特的理解。教师C安排的练习，相对教师B要复杂，但比教师A简单，也是通过直观来说明异面直线的。也许在教师C看来，该概念是一个难以说清楚的概念，因而，要强调直观，但是，可以安排学生经历探究的过程，加深对该概念的理解，因而教学过程简洁、充分、直观。教师C的概念形成过程是“直观的，探究的”,三、结果：三位教师的教学分析,79,（五）教学用时分析 三位教师“异面直线概念”教学环节用时分析表,三、结果：三位教师的教学分析,80,从上表中可以发现：教师的中用时有着很大的差异，教师A的总用时是教师C的两倍，是教师B的三倍。如果把整个教学过程合并为两个阶段，即概念的形成（包括，情境创设，概念引入，概念形成）与概念的巩固，我们发现教师A的概念形成的时间是14:42，教师B是4:12，教师C是8:42。教师A的时间是教师B的三倍，教师C的两倍。也就是说，教师A用了比教师B、教师若干倍的时间，展开概念的形成；同时，用了更多的时间，来进行概念的巩固。这与教师A强调逻辑，层层推进的教学特点是一致的。 当然，在教师A看来，该概念如此重要，所以，要用近一节课的时间来开展教学。从而，也就没有更多的时间来进行“异面直线所成的角”的教学了。,三、结果：三位教师的教学分析,81,（一）异面直线是“具体概念”，还是“定义性概念” 具体概念指一类事物的共同本质特征，这些特征可以直接通过观察获得。定义性概念指一类事物的共同本质特征，这些特征不能通过直接观察获得，必须通过下定义来揭示。 1. 如果是具体概念，你感觉到能够说得清楚吗？ 一般而言，具体概念是很难说清楚概念的本质属性的。异面直线的概念，就是这样的概念。我以为，这个概念，只有通过代数的方法，才能够说明： 两条直线有了方程后：方向不一致，说明不平行；有距离，这个距离是可以实实在在地求出来的，说明不相交；或者说，没有公共点（方程组无解），说明不相交。从而，异面。,四、结论与讨论,82,或者，根据三点决定一个平面，先由一条直线（l1）与另一直线上（l2）的一点（A），决定一个平面，求出该平面的方程；然后，算出l2上有一点B，其坐标不