《实验四导数应用》PPT课件.ppt

MATLAB,高等数学实验,实验四 导数应用,实验目的 理解并掌握用函数的导数确定函数的单调区间、凹凸区间和函数的极值的方法。进一步熟悉和掌握用MATLAB做平面图形的方法和技巧，掌握用MATLAB求方程的根（包括近似根）和求函数极值（包括近似极值）的方法。,4.1 学习MATLAB命令,4.1.1 求多项式方程近似根的命令,用MATLAB求多项式方程 的解的命令是roots，使用方法为： roots（c） 其中c是上述方程左端多项式的系数向量,4.1.2 求方程f(x)=0近似根的命令,命令的一般形式如下： (1)建立函数： f=inline(表达式) (2)求函数零点： c=fzero(f,a,b) %求函数f(x)在区间a,b内的零点c c=fzero(f,x0) %求函数f(x)在x0附近的零点c,4.1.3 求非线性函数f(x)的极小值,用MATLAB求一元函数极小值命令是fminbnd，格式如下： (1) x=fminbnd(fun,x1,x2) (2) x,fav1=fminbnd(fun,x1,x2) (3) x,fav1,exitflag,output=fminbnd(fun,x1,x2) 其中： x=fminbnd(fun,x1,x2)是求(x1,x2)上fun函数的最小值x。 x,fav1=fminbnd(fun,x1,x2)返回解x处目标函数的值。 x,fav1,exitflag,output=fminbnd(fun,x1,x2)返回包含优化信息的结构输出。,注(1) 函数fminbnd的算法基于黄金分割法和二次插值法，要求目标函数必须是连续函数，此命令可能给出局部最优值。 注(2) 命令fminbnd是求函数f(x)的极小值，若要求函数f(x)的极大值，只需求-f(x)的极小值即可。,4.2 实验内容,4.2.1 求函数的单调区间,【例1】求 的单调区间。 输入： syms x dy=diff(x3-2*x+1) 执行后得到函数的一阶导数： dy= 3*x2-2 输入： x=-4:0.1:4; y1=x.3-2*x+1; y2=3*x.2-2; plot(x,y1,k-,x,y2,b*) 其输出如图4-1，其中米字线是导函数的图形。,图4-1,观察函数的增减与导函数的正负之间的关系。输入： c=roots(3,0,-2) 得到导函数的两个零点为： c= 0.8165 -0.8165 因为导函数连续，在它的两个零点之间，导函数保持相同符号。因此，只需在每个小区间上取一点计算导数值，即可判定导数在该区间的正负，从而得到函数的增减。 再输入： x=-1; daoshuzhi=eval(dy) x=0; daoshuzhi=eval(dy) x=1; daoshuzhi=eval(dy),输出： daoshuzhi= 1 daoshuzhi= -2 daoshuzhi= 1 说明导函数在区间(-,-0.8165), (-0.8165,0.8165), (0.8165,+)上分别取+，-，+。 因此，函数在区间(-,-0.8165和0.8165,+) 上单调增加，在区间-0.8165,0.8165上单调减少。,4.2.2 求函数的极值,【例2】 求函数 的极值 输入： ezplot(x/(1+x2),-6,6) 如图4-2所示。 观察它的两个极值，输入： f=x/(1+x2); xmin,ymin=fminbnd(f,-10,10) 输出： xmin=-1.0000 ymin=-0.5000 表明x=-1是极小值点，极小值为-0.5。,图4-2,接下来将求极大值的问题转换为求极小值，输入： f1=-x/(1+x2); xmax,ymax=fminbnd(f1,-10,10) 输出： xmax= 1.0000 ymax= -0.5000 注意f=-f1，所以x=1是极大值点，极大值为-(-0.5)=0.5。,4.2.3 求函数的凹凸区间和拐点,【例3】 求函数 的凹凸区间和拐点。 输入： syms x y=1/(1+2*x2); y1=diff(y,x) y2=diff(y,x,2) 执行后得到函数的一阶、二阶导数分别为： y1=-(4*x)/(2*x2+1)2 y2=(32*x2)/(2*x2+1)3-4/(2*x2+1)2,再输入： x=-3:0.1:3; y=(1+2*x.2).(-1); y1=-4*x.*(1+2*x.2).2).(-1); y2=32*(x.2).*(1+2*x.2).3).(-1)-. 4*(1+2*x.2).2).(-1); y3=zeros(1,length(x); plot(x,y,b-,x,y1,g*,x,y2,r:,x,y3) 输出如图4-3所示。其中虚线是函数的二阶导数，米字线是函数的一阶导数。观察二阶导数的正负值与函数的凹凸之间的关系。,图4-3,输入： f=inline(32*(x.2).* (1+2*x.2).3) .(-1)-4*(1+2*x.2).2).(-1); c1=fzero(f,-3,0) c2=fzero(f,0,3) 得到二阶导数的零点为： c1= -0.4082 c2= 0.4082 即得到二阶导数等于零的点是0.4082。用例1中类似的方法可知，在(-,-0.4082)和(0.4082,+)上二阶导数大于零，曲线弧向上凹。在(-0.4082,0.4082)上二阶导数小于零，曲线弧向上凸。,再输入： x=-0.4082; zhi=eval(1/(1+2*x2) x=0.4082; zhi=eval(1/(1+2*x2) 输出： zhi= 0.7500 zhi= 0.7500 说明函数在-0.4082和0.4082的值都是0.75。因此两个拐点分别是(-0.4082,0.75)和(0.4082,0.75),4.2.4 求极值的近似值,【例4】求 位于区间 内的极值的近似值。 输入： f=2*(sin(2*x)2+5/2*x*(cos(x/2)2; f1=-2*(sin(2*x)2-5/2*x*(cos(x/2)2; xmin,ymin=fminbnd(f,0,pi) xmax1,ymax1=fminbnd(f1,0,1) xmax2,ymax2=fminbnd(f1,2,pi),输出： xmin=1.6239 ymin=1.9446 xmax1=0.8642 ymax1=-3.7323 xmax2=2.2449 ymax2=-2.9571 输入 ezplot(f,0,pi) 输出如图4-4。从图中可看出，极大值为3.7323和2.9571，极小值为1.9946.,图4-4,4.2.5 证明函数的不等式,【例5】证明不等式 ,当 时。 先做图，输入： x=0:0.1:3; y1=exp(x); y2=1+x; plot(x,y1,k-,x,y2,b*) 输出如图4-5所示。,图4-5,再输入： syms x; y=exp(x)-x-1; f1=diff(y,x) c=fzero(exp(x)-1,0) 输出： f1=exp(x)-1 c=0 当X=0时两曲线交于一点，当x增加时，差距逐渐增大。这正是用单调性证明不等式的典型特征 。 通过计算知y(0)=0，且y(x)= ，仅当x=0时，y(x)=0。因为x0时， ，所以当x0时，y(x)0。于是y(x)单调增加，当x0时，有 。,【例6】证明 ，当x1,且x0时。 作图，输入： x=-1:0.1:1/2; y1=exp(x); y2=(1-x).(-1); plot(x,y1,b-,x,y2,r*) 如图4-6所示，两条曲线在x=0处相交，在两侧差距逐渐增大。一个证明方法是用单调性，此时应从点x=0出发，向两侧分别证明。另一个证明是用最大值。为此，改写不等式为 。,图4-6,输入： syms x f=exp(x)*(1-x); g=diff(f,x) h=diff(f,x,2) 输出： g=exp(x)*(1-x)-exp(x) h=exp(x)*(1-x)-2*exp(x) 输入： c1=fzero(exp(x)*(1-x)-exp(x),-1,0) c2=fzero(exp(x)*(1-x)-exp(x),0,1) x=0; h1=eval(exp(x)*(1-x)-2*exp(x) f1=eval(exp(x)*(1-x),输出： c1=0 c2=0 h1=-1 f1=1 即函数有唯一驻点x=0，且g(0)=f(0)=-10，f(0)=1。由于在驻点x=0处函数的二阶导数小于0，该点是极大值点。又因为这是唯一驻点，所以它是函数的最大值点。于是， 在x=0取最大值1。因此当x1且x0时 ，有,【例7】证明 ，其中x0。 作图，输入： ezplot(atan(x)+1/x,4,20) 输出如图4-7所示。 当x趋向于正无穷时，直线 是 的渐近线。这也是用单调性证明的不等式。,图4-7,输入： syms x y=atan(x)+1/x; y1=diff(y,x) limit(y,x,inf) 输出： y1=1/(1+x2)-1/x2 ans=1/2*pi,再研究单调性，输入 c=fzero(1/(1+x2)-1/x2,1,inf) 输出： c=Inf 即当x0时，函数y=arctan(x)+1/x无驻点。 再输入： x=2; y2=eval(1/(1+x2)-1/x2) 输出： y2=-0.0500 即当x0时，y1(x)=y(x)0时，有 。,【例8】 证明 ，当 时。 作图，输入： x=0:0.1:pi/2; y1=sin(x); y2=2*x/pi; plot(x,y1,b-,x,y2,r) 输出如图4-8所示。,图4-8,当x=0或x= 时，两曲线相交。在两点之间差距较大。这是需要用凹凸性证明的不等式的特征。 输入： x=0; f1=eval(sin(x)-2*x/p