九年级数学下册直线与圆的位置关系29.3切线的性质和判定灵活掌握切线的判定方法及应用素材.docx

灵活掌握切线的判定方法及应用我们知道关于圆的切线判定有三种方法：首先是切线的定义：直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这时的直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点其二，如果一个圆的圆心到一条直线的距离等于该圆的半径，那么这条直线是该圆的切线其三，是切线的判定定理，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线之所以给出三种判定方法，不仅是因为它们之间存在着内在的必然的联系，更主要的是可以运用它们从不同的角度进行判定，开拓了切线判定的各条通路，从而由题目中的不同的已知条件，选择恰当的方法来完成证明下面具体地就几道例题的分析，帮助同学们灵活地掌握切线判定方法的应用例1 如图1，RtABC中，C=90，AC=3，BC=4若(1)r=2；(2)r2.4；(3)r=3，那么以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？分析：判定直线与圆的位置关系，除观察直线与圆的交点个数外，还可以比较圆心到直线的距离与半径的大小一般常用后一种方法，本题中C的半径是已知的，所以只需求解C到直线AB的距离，而这个距离又是可求的它是已知RtABC的顶点C到斜边AB的垂线段的长解：作CDAB于DC=90，AC=3，BC=4，由勾股定理得AB=5又根据三角形面积公式得CABC= CDAB即圆心C到直线AB的距离d=2.4(1)当r=2时，dr，AB与C相离；(2)当r=2.4时，d=r，AB与C相切；(3)当r=3时，dr，AB与C相交例2 如图2，ABC内接于O，直线MN经过点C，而且BCM=A求证：MN是O的切线分析：MN与O之间存在着公共点C，从已知中无法对C点的唯一性作出判断，由圆的切线的判定定理知，与圆有公共点的直线，如果与圆中经过这个点的半径垂直，那么，直线MN到圆心O的距离等于半径(直线MN与O的公共点唯一)，则必有直线MN与圆O相切解题的关键是证明直线与过公共点的半径垂直证明：过C点作直径CD，连结BD则DBC=90，D+DCB= 90DA，BCM=A，BCM=DBCM+DCB= 90即MCO=90MNOC，MN是O的切线说明：切线的判定定理的题设中包含着两条：(1)直线与圆存在有公共点(公共点的存在性)；(2)直线垂直于过公共点的半径(公共点的唯一性)这两者缺一不可，如果具备(1)，只需证(2)(在这种情况下选用判定定理是最佳的选择)；如果两条都不具备，则两条都需证求证：以EF为直径的圆与AB相切分析：已知中没有给出直线与圆存在公共点，这时采用判定方法二，第一步只需作出圆心O到直线AB的距离OG，第二次仅需证明OG等于O的半径这一点即可，且由已知不难证出这一点证明：取EF的中点O，作OGAB于GCDAB，CDOGAB是以EF为直径的圆的切线说明：此题如果采用判定定理，则务必证两点：(1)先证出直线与圆存在公共点；(2)证直线垂直于过公共点的半径而(1)又可分为两种不同的情形：其一，是证直线上有一点在圆上；其二，是证圆上有一点在直线上不难判断证此题只有采用“其一”是可行的而能准确地判断出直线上的哪一点能是圆上的点是关键如果直线与圆只能有一个公共点，那么这一点只能是过圆心向直线AB引垂线段的垂足G，因而也只需证垂足G在圆O上证法同上由上述分析，判定定理又可具体的分成两种不同的情况第一种，证：(1)直线上的点在圆上；(2)直线垂直于过公共点的半径第二种，证：(1)圆上的一点在直线上；(2)直线垂直于过公共点的半径而第一种情况的实质就是判定方法二，所不同的只是在形式上把判定方法二分两步完成，显然它比方法二麻烦，因此，在证明已知中没有给出直线与圆存在公共点这类问题时，应先考虑用判定方法二，能用判定方法二的不用判定方法三例4 如图4，已知O是ABC的外接圆的圆心，过O作DEAB，交过B点的切线于E，交AC于D，过O点作OFCA交过C点的切线于F，连接EF求证：EF是O的切线分析：与例3的已知条件相同,所以我们应先考虑判定方法二.即过圆心O作OGEF于G,然后证OG等于O的半径(OB)，而证OG=OB，需证OBEOGE，证这样，我们就只有考虑用判定方法三的第二种情况证明此题，即在圆上找一点证它在直线受上述分析的启发，我