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有两个约束条件的条件极值,推导三元函数在两个约束条件下取得极值的必要条件,目标函数,约束条件,设函数 u=f(x,y,z) 在点 (x, y, z) 处取得满足两个约束条件的极值。 由隐函数知识,两个约束条件的方程可以确定两个一元函数 y=y(x) 和 z=z(x)。将这两个一元函数代入目标函数,则一元函数u=f(x,y(x),z(x)=u(x) 在点 x=x 处取得极值。 由极值的必要条件,,另一方面,将两个一元函数 y=y(x) 和 z=z(x) 代入两个约束条件方程,得两个恒等式:,以上二式两端对 x 求导,得,由 (1), (2), (3) 式知道,以下三个梯度,在点(x, y, z)处都与向量 垂直。,所以这三个梯度在点 (x, y, z) 处是共面的。 这就是函数 u=f(x,y,z) 在 (x,y,z) 处取得满足两个约束条件的极值的必要条件。,约束条件 和,函数 取得满足,即它们的混合积为零:,的极值的必要条件是:,命题,华阳 南湖 2012.3.18,
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