正交小波基与多分辨分析.ppt

4 正交小波基与多分辨分析,正交小波,多分辨分析,小波函数和小波空间,信号空间L2(R)的分解,双尺度方程,标准正交小波基的构造,滤波器系数h(k)和g(k)的性质,Mallat快速算法,紧支集正交小波的性质,正交小波,定义：,正交小波,其中,小波系数实质上是离散小波变换，前面所得的二进离 散小波与连续小波虽不会损失信息，但会产生冗余，而正 交小波则可以使变换后所产生的冗余消失。,正交小波,两个正交小波的例：,例4.1,经过二进伸缩与平移可得到,Haar小波,正交小波,Shannon小波,例4.2,正交小波,于是,正交小波,令,在时域，Shannon小波是无限次可微的，具有无穷阶消失矩，不是紧支的，具有渐近衰减性但较缓慢；在频域，是频率带限函数，具有好的局部化特性。,多分辨率分析是指满足下列性质的一系列子空间,1. 单调性：,2. 逼近性：,3. 伸缩性：,4. 平移不变性：,5. Riesz基存在性：,多分辨分析,参考子空间,多分辨分析,由条件(5)可证明如下定理,注：,定理 ：,小波函数和小波空间,信号空间L2(R)的分解,细节分量,近似分量,使用db1小波对一维信号leleccum进行 3层分解，得到近似分量和细 节分量，如图示,图4-1,例4.3,双尺度方程,双尺度方程,频域表示,标准正交小波基的构造,尺度函数的性质：,低通滤波器,带通滤波器,标准正交小波基的构造,H()和()的关系：,标准正交小波基的构造,H()的条件：,标准正交小波基的构造,G()的条件：,H()与G()的联合条件：,标准正交小波基的构造,两尺度序列hn的条件：,标准正交小波基的构造,hn和gn的关系：,标准正交小波基的构造,1、选择满足条件的两尺度序列hn,2、计算尺度函数,3、计算母小波,滤波器系数h(k)和g(k)的性质,Mallat快速算法,Mallat塔式快速分解算法,Mallat塔式快速重构算法,Mallat算法结构示意图,Mallat快速算法,Mallat快速算法,初始系数的选取,1、小波变换法,2、直接选取法,3、取样函数法,其中尺度函数的支撑区间是0,L，且尺度函数连续,只作不同频带的信号分解时可用该法，不适于提取分形指数和作时频分析,其中,Mallat快速算法,边界效应,实际的数字信号总是有限长序列，而大多数小波滤波 器的长度都大于1，所以mallat算法在信号的边界上必然将 滤波器强行截去一部分后再作用于这个有限长序列来实现 小波分解。这样，经过后续处理后重构得到的信号与原始 信号不可避免的在边界上产生较大的误差。,边界延拓,设实际的数字信号长度为N，即c=c0,c1,cN-1，又 设滤波器的长度为m。进行小波分解时只需要在信号的两 端个延拓L个元素即可，其中L为m/2的上整数(大于m/2的 最小整数)。,Mallat快速算法,零延拓,简单的周期延拓：N长序列以N为周期进行延拓,缺点：若输入信号在边界点的值与零有很大的差别，补零 在边界处产生很大的阶跃变化，从而给这一局部引 入大量的高频成分；数据量增加,缺点：当信号序列的两端边界值相差很大时，延拓后的信 号将存在周期性的剧烈突变，在边界附近引入高频 成分,Mallat快速算法,以边界点为对称中心的周期延拓,延拓后信号一个周期内有两个对称中心。 当采用有限长滤波器c(n)对延拓后的信号进行滤波时，输出信号也是周期为2N-2的周期序列。 如果c(n)不具有任何对称性，那么输出信号将没有输入信号那样的对称性，为了完全重构，必须取一个完整的长度2N-2的主周期，然后下采样，使计算量增大了几乎一倍。,Mallat快速算法,但滤波器有对称性，输出序列具有对称性。,此时为了完全重构，只需保留0,N-1的数据，不需要保留整周期的数据。,此时输出序列以-0.5和N-1.5为对称中心，也可只取0,N-1的数据,若滤波器的长度为偶数时，输出序列具有如下的对称性：,若滤波器的长度为奇数时，输出序列具有如下的对称性：,Mallat快速算法,边界值重复的周期延拓,采用偶数长的对称滤波器时，输出序列的对称关系为：,可只取半个主周期0,N-1的数据，然后下采样 (丢弃独立的样本值x(N)，但并不影响下采样),采用奇数长的对称滤波器时，输出序列的对称性为：,此时输入序列是以-0.5和N-0.5为对称中心的偶对称序列,与前面方法不同的是，在作对称延拓时重复原信号的边界值，使得s(n)成为一个长度为2N的对称序列,设三个频率为4Hz，6Hz，29Hz的正弦波叠加为,设采样区间为0,1，采样间隔为2-8秒，采样点数为256， 所得离散信号为F(k)=f0,f1,f255，其中fk=f(k/256) 由于28=256，可取c8,kmf(k/28)， 由于重构时还需要除以m，所以可取c8,kf(k/28) 采用简单的周期延拓 采取db4小波,要求对信号分解与滤波，从中滤去29Hz的成分,例4.4,解：,重构过程也进行周期延拓,利用db5小波对一维信号leleccum进行3层多尺度分解和重构。,例4.5,原始信号、近似信号、细节信号及重构信号的图形见图4-2、4-3、4-4。,解：,重构后的误差为 err = 1.6717e-009,图 4-2,图4