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1,第四节 平面、空间直线及其方程,一平面及其方程 二 空间直线及其方程 三 直线与平面的位置关系,2,一平面及其方程, 平面的点法式方程,如果非零向量垂直于一个平面，,则称这个向量为该平面的法向量,法向量：,说明：,则,一个平面的法向量不唯一,任意两个法 向量共线.,3,是空间一点，,则过 且以,为法向量的平面是唯一的,一个平面的法向量与平面内任意向量正交.(法向量的特征),4,内任意一点，,则,因为,即,所以,为平面的,点法式方程。,5,例1,求过三点,的平面方程,解：,方法一,由点法式方程,所求平面方程为,6,方法二,共面，,所以,即,为所求平面方程。,内任意一点，则,7, 平面的一般式方程,由平面的点法式方程,为平面的一般式方程,法向量是,8,平面一般方程的几种特殊情况：,平面方程为,该平面过原点,平面方程为,该平面平行x 轴，法向量,同理，可讨论,平面方程为,该平面平行于xy 面，法向量,同理可讨论,9, 三个坐标面的方程,xy 面的方程：,法向量,yz 面的方程为：,法向量,xz 面平面方程为：,法向量, 平面的截距式方程,为平面的截 距式方程,10,4. 两平面的夹角,定义,两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.,两平面夹角余弦公式,（通常取锐角）,11,5. 两平面位置特征：,利用线性方程组解的情况进行研究 ,看:,12,方程组无解,方程组有解且有一个 多余方程,13,不对应成比例,线,方程组有解且无多余方程,特别地，,14,取法向量,化简得,所求平面方程为,解:,15,设平面为,由平面过原点知,所求平面方程为,解:,16,6. 点到平面的距离,d,点到平面距离公式,17,二 空间直线及其方程, 空间直线的一般方程,空间直线可看成两平面的交线,为空间直线l的一般式方程。,线 为,18, 空间直线的对称式方程与参数方程,方向向量：,如果一非零向量 平行于一条已知直线l ，这个向量称为这条直线的方向向量,设,为直线l上的一定点，,为直线l 上的任意一点，则,直线的对称式方程.,19,其中m ,n , p为直线的方向数。,令,则有,直线的参数方程。,20,例4 用对称式方程及参数方程表示直线,解,在直线上任取一点,取,解得,点坐标,21,因所求直线与两平面的法向量都垂直,取,对称式方程,参数方程,22,解,所以交点为,所
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