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平均变化率 (Average rates of change),新沂市王庄中学 王秀彩,问题1 同样是登山,但是从A处到B处会感觉比较轻松,而从B处到C处会感觉比较吃力。想想看,为什么?,情境1下图是一段登山路线。,问题2 “陡峭” 是生活用语,如何量化线段BC的陡峭程度呢?,情境2 某市2004年3月18日到4月20日期间的日最高气温记载.,联想直线?,问题3 你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗?,问题4如果将上述气温曲线看成是函数y = f(x) 的图象,任取x1,x2 1,34,则函数y = f(x)在区间1,34上的平均变化率为 在区间1, x1上的平均变化率为 在区间x2,34上的平均变化率为,你能据此归纳出 “函数f(x)的平均变化率”的一般性定义吗?,问题5 下面分别是两个函数y=f(x)和y=g(x)的图象,它们在区间x1,x2 上平均变化率是否相等?,x,x1,y,o,x2,y=f(x),y=g(x),y1,y2,结论 用平均变化率来量化曲线的陡峭程度是“粗糙不精确”的。,问题6 如图,请分别计算气温在区间1,32和区间32,34上的平均变化率。,18.6,3.5,o,1,32,34,33.4,t /d,T/,A(1,3.5),B(32,18.6),C(34,33.4),气温曲线,气温在区间1,32 上的平均变化率约为0.5; 气温在区间 32,34上的平均变化率为7.4。,问题7 对比本题的运算结果与气温曲线以及气温的变化速度,你能发现“平均变化率”和“曲线陡峭程度”以及“气温变化速度”之间有什么对应关系吗?,如图,分别计算曲线在区间1,2和2,4上的平均变化率。,曲线在区间1,2 上的平均变化率为-3; 曲线在区间 2,4上的平均变化率为 。,结论 平均变化率的绝对值越大,曲线越陡峭,变量变化的速度越快。,=1(kg/月);,例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示,试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率。,解:从出生到第3个月,婴儿体重的平均变化率为,问题8 本例中两个平均变化率的数值不同的实际意义是什么?,从第6个月到第12个月,婴儿体重的平均变化率为,=0.4(kg/月),练习1 如图,水经过虹吸管从容器甲流向容器乙,t s后容器甲中水的体积V()5 (单位: ),试计算第一个10s内V的平均变化率。,解:在第一个10秒内,体积V的平均变化率为,问题9 容器甲中水的体积V的平均变化率是一个负数, 它的实际意义是什么?,0.25(,/),即第一个10s内容器甲中水的体积V的平均变化率为025,)。,(,例2 已知函数f(x)=2x+1,g(x)= -2 x,分别计算在区间-3,-1,0,5上函数f(x)及g(x)的平均变化率。,解:函数f(x)在区间-3,-1上的平均变化率为,同理可得, 函数f(x)在区间0,5上的平均变化率为 2; 函数g(x)在区间-3,-1上的平均变化率为-2; 函数g(x)在区间0,5上的平均变化率为-2,问题10从上述例、习题的求解中,你能发现一次函数y = kx + b在区间p ,q上的平均变化率有什么规律吗?,结论:一次函数y = kx + b在区间p , q上的平均变化率为直线的斜率k,练习2. 若函数f (x) = 3 x + 1 ,试求f (x) 在区间 a , b 上的平均变化率。,答案:3,例3已知函数 ,分别计算它在下列区间上的平均变化率:(1) 1,1.1; (2) 1,1.01; (3) 1,1.001; (4) 1,1.0001。,同理可得: (3)函数f(x)在区间1,1.001上的平均变化率为2.001; (4)函数f(x)在区间1,1.0001上的平均变化率为2.0001。,探究与思考 当x0逼近1的时候,f(x)在区间1, x0上的平均变化率呈现什么样的变化?,
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