福建省高中毕业班数学教学质量检查

2007年福建省普通中学高中毕业班质量检查数学（理科）试题2007.4.7 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题），共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项：1考生将自己的姓名、准考证号及所有答案均填写在答题卡上。2答题要求，见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”。参考公式：如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）.如果事件A、B相互独立，那么P（AB）=P（A）P（B）.如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么它在次独立重复试验中恰好发生次的概率.球的表面积公式，其中R表示球的半径.球的体积公式，其中R表示球的半径.第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，在答题卡上相应题目答题区域内作答。1若全集，则为A B C D 2设等比数列的前三项为，则该数列的第四项为 A1 B C D3定义在R上的函数满足及，则可以是 A B C D4复数（，为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限5已知、是双曲线的两个焦点，M为双曲线上的点，若，则双曲线的离心率为 A B C D 6正三棱锥内接于球O，球心O在底面ABC上,且，则球的表面积为A B C D7条件：，条件：在内是增函数，则是的A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 8已知、满足约束条件，则的最小值是 A B1 C D 9已知函数，则不等式的解集为A或 B或且C或 D或或 10已知函数的反函数的图象的对称中心为，则实数的值是A3 B1 C5 D7 11从6名学生中选出4人分别从事A、B、C、D四项不同的工作，若其中甲、乙两人不能从事A种工作，则不同的选派方案共有 A96种 B180种 C240种 D280种 12已知函数，正实数、成公差为正数的等差数列，且满足，若实数是方程的一个解，那么下列四个判断：；中有可能成立的个数为 A1 B2 C3 D4第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，在答题卡上的相应题目的答题区域内作答。13已知某质点的位移与移动时间满足，则质点在的瞬时速度是 ； 14若的展开式中的系数为，则 ； 15如图，ABCD为矩形，AB=3，BC=1，EF/BC且AE=2EB，G为BC中点，K为ADF的外心。沿EF将矩形折成一个120的二面角AEFB，则此时KG的长是 ；16直线和圆相切，其中、，试写出所有满足条件的有序实数对： 。 三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卡上相应题目的答题区域内作答。17（本小题满分12分）已知ABC的面积为，。（1）求的值；（2）求的值。18（本小题满分12分）某校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作。规定：至少正确完成其中2题的便可通过。已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都为，且每题正确完成与否互不影响。（1）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算其数学期望；数学（理科）试题 第3页（共4页）（2）试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力。19（本小题满分12分）如图，平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E、F、G分别是线段PA，PD，CD的中点。（1）求证：PB/面EFG；（2）求异面直线EG与BD所成的角；（3）在线段CD上是否存在一点Q，使得点A到平面EFQ的距离为0.8。若存在，求出CQ的值；若不存在，请说明理由。20（本小题满分12分）某个QQ群中有名同学在玩一个数字哈哈镜游戏，这些同学依次编号为1，2，。在哈哈镜中，每个同学看到的像用数对表示，规则如下：若编号为的同学看到像为，则编号为的同学看到像为，且。已知编号为1的同学看到的像为（5，6）。（1）请根据以上规律分别写出编号为2和3的同学看到的像；（2）求编号为的同学看到的像。21（本小题满分12分）已知，点P满足，记点P的轨迹为E。（1）求轨迹E的方程；（2）若直线过点且与轨迹E交于P、Q两点。（）无论直线绕点怎样转动，在轴上总存在定点，使恒成立，求实数的值。（）过P、Q作直线的垂线PA、QB，垂足分别为A、B，记，求的取值范围。22（本小题满分14分）设、是函数的两个极值点。（1）若，求函数的解析式；（2）若，求的最大值。（3）若，且，函数，求证：。2007年福建省普通中学高中毕业班质量检查数学试题（理科）参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1D 2A 3D 4D 5C 6C 7B 8C 9C 10D 11C 12C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分138 142 15 16（1，1），（2，2），（3，4），（4，8）三、解答题：本大题共6小题，共74分。17解：（1）， 2分又，。 4分由、得。6分（2）=8分= 10分=。12分18解：（1）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为、，则取值分别为1，2，3；取值分别为0，1，2，3。2分，。考生甲正确完成题数的概率分布列为1234分。5分=，同理：，。方法一：考生乙正确完成题数的概率分布列为：01237分。8分方法二：考生乙正确完成题数的概率分布列为：01237分考生乙做对题数服从二项分布，因此，。8分（2），。（或）。，。从做对题数的数学期望考察，两人水平相当；从做对题数的方差考察，甲较稳定；从至少完成2题的概率考察，甲获得通过的可能性大。因此可以判断甲的实验操作能力较强。12分说明：只回答数学期望与方差以及结论，也给4分。19解法一：（1）证明：取AB中点H，连结GH，HE，E，F，G分别是线段PA、PD、CD的中点，GH/AD/EF，E，F，G，H四点共面。1分又H为AB中点，EH/PB。2分又面EFG，平面EFG，PB/面EFG。3分（2）解：取BC的中点M，连结GM、AM、EM，则GM/BD，EGM（或其补角）就是异面直线EG与BD所成的角。 4分 在RtMAE中，同理，5分又，在RtMGE中，6分故异面直线EG与BD所成的角为。7分（3）假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件。过点Q作QRAB于R，连结RE，则QR/AD。ABCD是正方形，PAD是直角三角形，且PA=AD=2，ADAB，ADPA，又，AD平面PAB。8分又E，F分别是PA，PD中点，EF/AD，EF平面PAB又面EFQ， 面EFQ平面PAB。9分过A作ATER于T，则AT面EFQ，AT就是点A到平面EFQ的距离。10分设，则，AE=1，在RtEAR中，11分解得。故存在点Q，当时，点A到平面EFQ的距离为0.812分解法二：建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，数学（理科）试题答案 第3页（共8页）则， ，。（1）证明：，1分设，即解得。，又与不共线，、与共面。2分平面EFG，PB/平面EFG。3分（2）解：，4分。6分故异面直线EG与BD所成的角为。7分（3）假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件。令，则，点Q的坐标为，。8分而，设平面EFQ的法向量为，则。令，则。9分又，点A到平面EFQ的距离10分即，或不合题意，舍去。故存在点Q，当时，点A到平面EFQ的距离为0.812分20解：（1）由题意规律，编号为2的同学看到的像是（6，8）；编号为3的同学看到的像是（8，11）。4分（2）设编号为的同学看到的像是，则，当时，。5分由题意， 。6分=。9分。11分经检验时，上式也成立。编号为的同学看到的像是12分21解：（1）由知，点P的轨迹E是以、为焦点的双曲线右支，由，故轨迹E的方程为。3分（2）当直线的斜率存在时，设直线方程为，与双曲线方程联立消得，解得5分（）数学（理科）试题答案 第5页（共8页）=。7分，故得对任意的恒成立，解得。当时，。当直线的斜率不存在时，由，及知结论也成立，综上，当时，。8分（），是双曲线的右准线9分由双曲线定义得：，方法一：。10分，故，11分注意到直线的斜率不存在时，此时，综上，。12分方法二：设直线PQ的倾斜角为，由于直线PQ与双曲线右支有二个交点，过Q作，垂足为C，则，。10分由得，故。12分22解：1分（1）是函数的两个极值点，。2分，解得。3分。4分（2）是函数的两个极值点，。是方程的两根。，对一切恒成立。，。6分由得，。7分，。8分令，则。当时，在（0，4）内是增函数；当时，在（4，6）内是减函数。9分 当时，有极大值为96，在上的最大值是96，的最大值是。10分（3）证法一：是方程的两根，11分12分，。，。14分证法二