高等数学统一模拟试题

n更多企业学院： 中小企业管理全能版183套讲座+89700份资料总经理、高层管理49套讲座+16388份资料中层管理学院46套讲座+6020份资料国学智慧、易经46套讲座人力资源学院56套讲座+27123份资料各阶段员工培训学院77套讲座+ 324份资料员工管理企业学院67套讲座+ 8720份资料工厂生产管理学院52套讲座+ 13920份资料财务管理学院53套讲座+ 17945份资料销售经理学院56套讲座+ 14350份资料销售人员培训学院72套讲座+ 4879份资料n更多企业学院： 中小企业管理全能版183套讲座+89700份资料总经理、高层管理49套讲座+16388份资料中层管理学院46套讲座+6020份资料国学智慧、易经46套讲座人力资源学院56套讲座+27123份资料各阶段员工培训学院77套讲座+ 324份资料员工管理企业学院67套讲座+ 8720份资料工厂生产管理学院52套讲座+ 13920份资料财务管理学院53套讲座+ 17945份资料销售经理学院56套讲座+ 14350份资料销售人员培训学院72套讲座+ 4879份资料 级别3 2009年江苏省普通高校“专转本”统一考试 高等数学模拟试题一、填空题1、极限= 1B、设，则 = 2、微分方程满足初始条件的特解为 2B、曲线的斜渐近线方程为 3、设二元函数，则 3B、 3C、微分方程满足的解为 3D、当时，与是等价无穷小，则k= 二、选择题4、当a取下列哪个值时，函数恰好有两个不同的零点.(A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8.4B、设函数，则f(x)在内(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点.5、设,其中，则(A) . B、. (C) . D、.6、下列结论中正确的是(A) 与都收敛. B、与都发散.(C) 发散，收敛. (D) 收敛，发散.6B、设若发散，收敛，则下列结论正确的是(A) 收敛，发散 . （B） 收敛，发散.(C) 收敛. (D) 收敛.7、设,下列命题中正确的是A、f(0)是极大值，是极小值. B、 f(0)是极小值，是极大值.C、f(0)是极大值，也是极大值. (D) f(0)是极小值，也是极小值.8、以下四个命题中，正确的是A、若在0，1、内连续，则f(x)在0，1、内有界. B、若在0，1、内连续，则f(x)在0，1、内有界. C、若在0，1、内有界，则f(x)在0，1、内有界. D、若在0，1、内有界，则在0，1、内有界.8B、设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，表示“M的充分必要条件是N”，则必有A、F(x)是偶函数f(x)是奇函数. B、F(x)是奇函数f(x)是偶函数.C、F(x)是周期函数f(x)是周期函数. D、F(x)是单调函数f(x)是单调函数.三 、解答题9、求10、设f(u)具有二阶连续导数，且，求11、 计算二重积分，其中.12、求在椭圆域上的最大值和最小值.13、设f(x),g(x)在0，1上的导数连续，且f(0)=0,.证明：对任何a,有14、求幂级数在区间(-1,1)内的和函数S(x).级别3 2009年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学模拟试题参考答案1、分析： 本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可.详解： =评注： 若在某变化过程下，则1B、分析： 本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导.详解： 方法一： =，于是 ，从而 =方法二： 两边取对数，对x求导，得，于是 ，故 =评注：幂指函数的求导问题，既不能单纯作为指数函数对待，也不能单纯作为幂函数，而直接运用相应的求导公式.2、分析： 直接积分即可.详解： 原方程可化为 ，积分得 ，代入初始条件得C=2，故所求特解为 xy=2.评注： 本题虽属基本题型， 也可先变形，再积分求解.2B、【分析】 求斜渐近线不是专科要求范围但却是本科高数的基本题型，转本的考生应向本科看齐，故应掌握之；本题直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.【详解】 因为a= ，于是所求斜渐近线方程为【评注】 如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握。这里应注意两点：1）当存在水平渐近线时，不需要再求斜渐近线；2）若当时，极限不存在，则应进一步讨论或的情形，即在右或左侧是否存在斜渐近线，本题定义域为x0，所以只考虑的情形.3、分析： 基本题型，直接套用相应的公式即可.详解： ，,于是 .3B、【分析】 作三角代换求积分即可.【详解】 令，则=【评注】 本题为广义积分，但仍可以与普通积分一样对待作变量代换等.3C、【分析】直接套用一阶线性微分方程的通解公式： ，再由初始条件确定任意常数即可.【详解】 原方程等价为，于是通解为 =，由得C=0，故所求解为【评注】 本题虽属基本题型，但在用相关公式时应注意先化为标准型. 另外，本题也可如下求解：原方程可化为 ，即 ，两边积分得 ，再代入初始条件即可得所求解为3D、【分析】 题设相当于已知，由此确定k即可.【详解】 由题设，=，得【评注】 无穷小量比较问题是历年考查较多的部分，本质上，这类问题均转化为极限的计算.4、分析： 先求出可能极值点，再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析，当恰好有一个极值为零时，函数f(x)恰好有两个不同的零点.详解： =，知可能极值点为x=1,x=2，且 ，可见当a=4时，函数f(x) 恰好有两个零点，故应选(B).评注： 对于三次多项式函数f(x)=,当两个极值同号时，函数f(x) 只有一个零点；当两个极值异号时，函数f(x) 有三个零点；当两个极值有一为零时，函数f(x) 有两个零点.4B、【分析】 先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形.【详解】 当时，； 当时，；当时，即 可见f(x)仅在x=时不可导，故应选(C).【评注】 本题综合考查了数列极限和导数概念两个知识点.5、分析： 关键在于比较、与在区域上的大小.详解： 在区域上，有，从而有 由于在 上为单调减函数，于是 因此 ，故应选(A).评注： 本题比较二重积分大小，本质上涉及到用重积分的不等式性质和函数的单调性进行分析讨论.6、分析： 直接计算相应积分，判定其敛散性即可.详解： =，积分收敛， =，积分发散.故应选(D).评注： 广义积分敛散性的判断，一般只要求掌握通过计算能判定的情形.6B、分析：可通过反例用排除法找到正确答案.详解：取，则发散，收敛，但与均发散，排除(A),(B)选项，且发散，进一步排除(C), 故应选(D). 事实上，级数的部分和数列极限存在.评注：通过反例用排除法找答案是求解类似无穷级数选择问题的最常用方法.7、分析：先求出，再用取极值的充分条件判断即可.详解：，显然 ，又 ，且，故f(0)是极小值，是极大值，应选(B).评注： 本题为基本题型，主要考查取极值的充分条件.8、分析： 通过反例用排除法找到正确答案即可.详解： 设f(x)=, 则f(x)及均在0，1、内连续，但f(x)在0，1、内无界，排除(A)、(B); 又在0，1、内有界，但在0，1、内无界，排除(D). 故应选(C). 评注： 本题也可直接证明：用拉格朗日中值定理，有在(0,1)之间，由此容易推知若在0，1、内有界，则f(x)在0，1、内有界. 8B、【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】 方法一：任一原函数可表示为，且当F(x)为偶函数时，有，于是，即 ，也即，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则为偶函数，从而为偶函数，可见(A)为正确选项. 方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=, 排除(D); 故应选(A).【评注】 函数f(x)与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过. 请各位思考f(x)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系？9、分析： 型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则.详解： = =评注： 本题属基本题型，在里用罗必塔法则求极限的过程中，应注意利用无穷小量的等价代换进行简化.10、分析： 先求出二阶偏导数，再代入相应表达式即可.详解： 由已知条件可得 ， ， ，所以 =评注： 本题属基本题型，但在求偏导数的过程中应注意计算的准确性.11、分析： 被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可.详解： 记，于是 =+=评注： 形如积分、等的被积函数均应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分.12、分析： 根据全微分和初始条件可先确定f(x,y)的表达式. 而f(x,y)在椭圆域上的最大值和最小值, 可能在区域的内部达到，也可能在区域的边界上达到，且在边界上的最值又转化为求条件极值.详解： 令得可能极值点为x=0,y=0. 且 ，所以点(0,0) 不是极值点，从而也非最值点.再考虑其在边界曲线上的情形：令拉格朗日函数为 ，解 得可能极值点； 代入f(x,y)得 ，可见z=f(x,y)在区域内的最大值为3，最小值为-2.评注： 本题综合考查了多元函数微分学的知识，涉及到多个重要基础概念，特别是通过偏导数反求函数关系，要求考生真正理解并掌握了相关知识.当在区域边界上求极值时，也可将代入f(x,y)=,转化为一元函数求极值.13、分析：可用参数变易法转化为函数不等式证明，或根据被积函数的形式，通过分部积分讨论. 详解： 方法一：设，则F(x)在0，1上的导数连续，并且，由于时，因此，即F(x)在0，1上单调递减.注意到 ，而 =，故F(1)=0.因此时，由此可得对任何，有 方法二： =， = 由于时，因此 ， ，从而 评注： 对于积分不等式的证明，主要有两个途径：一是转化为函数不等式，二是通过恒等变形，如变量代换、分部积分等，再用积分的不等式性质进行讨论.14、分析:幂级数求和函数一般采用逐项求导或逐项积分，转化为几何级数或已知函数的幂级数展开式，从而达到求和的目的.详解: 设 ，则 ，由于 =， ,因此 ，又由于 ，故所以 评注：而幂