文科经管类微积分第八章.ppt

微积分,大 学 数 学（一）,第四十九讲 常数项级数的概念,脚本编写：,教案制作：,n个0,n个9,通俗地说：,无限多个数的和可以是一个有限的数.,引例1:,庄子天下篇：,“一尺之棰,日取其半,万世不竭”.,意思是:,一尺长的棍子,第一天取其一半,第二,天取其剩下的一半,以后每天都取其剩下的一,半,这样永远也取不完.,引例2,把每日所取排列起来：,棰取走的部分总共长：,此是公比为,的等比数列，, (常数项)无穷级数,一般项,部分和数列,级数的部分和,常数项级数的定义,u1, u2, u3, , un, ,下列各式均为常数项级数,级数举例,调和级数,几何级数,等比级数,aqn-1,p级数,下页,级数敛散性定义,( 包括极限为 ) ,余项,rnssnun1un2 ,下页,例2. 证明级数 123 n 是发散的.,此级数的部分和为,证:,下页,故级数发散.,例1 讨论级数,的敛散性.,解: 因,则,解,收敛,发散,例1,讨论等比级数(几何级数),的收敛性.,当公比 | q | 1 时, 等比级数收敛；,当公比 | q | 1 时, 等比级数发散.,发散,发散,综上所述,例1,讨论等比级数(几何级数),的收敛性.,当公比 | q | 1 时, 等比级数收敛；,当公比 | q| 1 时, 等比级数发散.,例7,收敛吗?,解: 因为,收敛.,例8,讨论,的收敛性.,解:,因,收敛,即,是一个有限的数,而从1加到,也是个有限的数,因此级数,收敛.,例2. 判别级数 的敛散性:,解:,利用 “拆项” 求和,所以级数发散.,解:,例2,讨论无穷级数,的收敛性.,二、收敛级数的基本性质,sn、sn、tn, 则,结论: 两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减.,性质2 设有两个收敛级数,则级数,也收敛, 且有,注:,证(2):,矛盾.,假设,收敛,二、收敛级数的基本性质,性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项, 不会改变级数的收敛性.,性质1,性质2,下页,二、收敛级数的基本性质,推论 如果加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散.,性质1,性质2,性质4 如果级数收敛, 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛, 且其和不变.,性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项, 不会改变级数的收敛性.,下页,收敛,则,也收敛.,加括号仍为收敛级数.,注 收敛级数,是收敛的.,注,“加括号后所成的级数收敛, 原级数不一定收敛.”,例如级数,是发散级数.,但将相邻的两项加括号后所得级数,收敛,则,也收敛.,例7,性质2,收敛吗?,解: 因为,和,均收敛,根据性质2,级数收敛.,级数收敛的必要条件,下页,定理,n个0,级数收敛的必要条件,证:,注意: (1)级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件, 不能因为一般项趋于零就断定级数收敛. (2)如果一般项不趋于零, 则级数必发散. 因此此性质常用于判断级数发散.,下页,定理,由于,故该级数发散.,解:,级数收敛的必要条件:,是必要不充分条件:,再举一例：,级数收敛的必要条件,定理,但级数是否收敛?,例4.,这是因为,y=1/x,结束,级数收敛的必要条件,定理,作业P126,1.,2.,3.,4. (1)(3)(5)(7)(8),5.(1), 微积分,大 学 数 学（一）,第五十讲 正项级数,脚本编写：,教案制作：,8.2 正项级数及其审敛法,上页,下页,铃,结束,返回,首页,第二节 常数项级数的审敛法,1.定义:,这种级数称为正项级数.,2.正项级数收敛的充要条件:,定理,一、正项级数及其审敛法,极限不存在,证明,第一比较判别法,(2)是(1)的等价命题.,则,大收小收, 小发大发.,第一比较判别法,解,例2,重要参考级数: p-级数, 调和级数，几何级数,例2,提示:,解:,例3,例4,解:,要应用比较判别法来判别给定级数的收敛性,就必须,给定级数的一般项与某一已知级数的一般项之间的不等式,但有时直接建立这样的不等式相当困难,为应用方便,我们给出,比较判别法的极限形式.,定理8 (第一比较判别法的极限形式),若两个正项级数,满足:,(1)当0l+时, 级数,同时敛散;,第二比较判别法,简要说明：,这样两级数有相同的敛散性.,定理8 (第一比较判别法的极限形式),若两个正项级数,满足:,(1)当0l+时, 级数,同时敛散;,(2)当l= 0且级数,也收敛;,收敛时, 级数,第二比较判别法,简要说明(2)：,得证.,定理8 (第一比较判别法的极限形式),若两个正项级数,满足:,(1)当0l+时, 级数,同时敛散;,(2)当l= 0且级数,也收敛;,收敛时, 级数,(3)当l= +且级数,也发散.,发散时, 级数,第二比较判别法,简要说明(3)：,得证.,第一比较判别法的极限形式:,第二比较判别法,例5,第二比较判别法,解:,例6,第二比较判别法,解:,第二比较判别法,例3.,解:,根据第二比较判别法知,例3.,解:,下页,根据第二比较判别法知,实际是 与 同阶无穷小 之间的比较.,例15 判定级数 的敛散性:,由比较判别法的极限形式知,收敛.,抓主要 项,抓大头,例 设正项级数,收敛,能否推出,收敛 ?,提示:,由第二比较判别法可知,收敛 .,第二比较判别法,注7 使用第一和第二比较判别法,需记住一些已知其收敛性的级数,而且建立不等式关系也比较繁.,而事实上,一个正项级数的收敛性有其自身内在的本质,可以利用级数自身的特点,来判定级数的收敛性.,第二比较判别法,除了几何级数外,数学中不存在任何一种它的和已被,严格确定的无穷级数.,阿贝尔,(Abel,Niels Henrik,1802-1829),当公比 | q | 1 时, 等比级数收敛；,当公比 | q| 1 时, 等比级数发散.,利用级数本身来进行判别.,比值判别法(达朗贝尔判别法)：,例11,收敛.,解:,解,根据第一比较判别法，,原级数收敛,例7,判别,的敛散性.,比值判别法与比较判别法的综合应用,由比值判别法，,例8,判别,的敛散性.,解,例7,判别,的敛散性.,解:,比值判别法(达朗贝尔判别法),收敛.,例13,解:,所以用比值法无法判断.,用第二比较判别法,收敛.,例8,假设,判别,的收敛性.,比值判别法,解:,则,(1)若 ,则级数收敛.,(2)若 ,则级数发散.,(3)若 ,此时比值判别法失效,时,则级数收敛,时,则级数发散.,但此时原级数为,除了几何级数外,数学中不存在任何一种它的和已被,严格确定的无穷级数.,阿贝尔,(Abel,Niels Henrik,1802-1829),当公比 | q | 1 时, 等比级数收敛；,当公比 | q| 1 时, 等比级数发散.,定理5. 根值判别法 ( Cauchy判别法),设,为正项级,则,数, 且,简要说明：,时 , 级数可能收敛也可能发散 .,说明 :,定理5. 根值判别法 ( Cauchy判别法),设,为正项级,则,数, 且,定理5. 根值判别法 ( Cauchy判别法),设,为正项级,则,数, 且,根值判别法适合 中含有某表达式的 次幂.,例15,解:,所以级数收敛.,例16,解:,所以级数收敛.,必要条件,满足,比值判别法,根值判别法,收敛,不能,用它,比较判别法,级数发散,判别,内容小结：,正项级数 的审敛法,un vn,洛必达法则：,复杂的 型,例6,判别级数,的收敛性.,复杂的 型,解: 令,由于,从而,是 级数,其中,收敛.,从而 收敛.,洛必达法则：,作业P137,1.,2. (2)(4)(5)(8),3.(2)(4)(6), 微积分,大 学 数 学（一）,第五十一讲 正项级数判别法应用实例,脚本编写：,教案制作：,必要条件,满足,比值判别法,根值判别法,收敛,不能,用它,比较判别法,级数发散,判别,内容小结：,正项级数 的审敛法,un vn,洛必达法则：,复杂的 型,6. 正项级数比较判别法的基本题型和应用实例,(1) 利用比较法（不等式形式）直接判敛题型:,(2) 利用比较法（极限形式）直接判敛题型:,抓主要 项,例15 判定级数 的敛散性:,由比较判别法的极限形式知,收敛.,抓主要 项,抓大头,例5,例6,例7,(3) 带有参数的正项级数的讨论判敛题型:,例9 判定下列级数的敛散性,收敛,收敛.,故,第二比较判别法,例9 判定下列级数的敛散性,收敛,收敛.,故,第二比较判别法,6. 正项级数比较判别法的基本题型和应用实例,(1) 利用比较法（不等式形式）直接判敛题型:,例6,判别,的敛散性.,(其中 ,正常数).,解:,(2)当 时,而此时,收敛,收敛.,因此,(1)当 时,而,为调和级数,发散,发散.,因此,要找出 中起主要 作用的项.,(4) 证明正项级数收敛或发散的题型:,第二比较判别法,(4) 证明正项级数收敛或发散的题型 .,第二比较判别法,8. 正项级数比值判别法 ( DAlembert 法 ）的应用实例,8. 正项级数比值判别法 ( DAlembert 法 ）的应用实例,8. 正项级数比值判别法 ( DAlembert 法 ）的应用实例,8. 正项级数比值判别法 ( DAlembert 法 ）的应用实例,8. 正项级数比值判别法 ( DAlembert 法 ）的应用实例,8. 正项级数比值判别法 ( DAlembert 法 ）的应用实例,必要条件,满足,比值判别法,根值判别法,收敛,不能,用它,比较判别法,级数发散,判别,内容小结：,正项级数 的审敛法,un vn,洛必达法则：,复杂的 型,作业P138,8.,13. (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8),6.,10.,11., 微积分,大 学 数 学（一）,第五十二讲 任意项级数的审敛法,脚本编写：,教案制作：,一、交错级数及其审敛法,二、绝对收敛与条件收敛,8.3 任意项级数的审敛法,上页,下页,铃,结束,返回,首页,本节讨论一般的常数项级数,即各项符号不尽相同的变号级数(任意项级数).如级数,下面讨论任意项级数的敛散性的判别法.首先讨论 其中的一种各项正负相间的特殊情形 交错级数.,二、交错级数及其审敛法,交错级数 交错级数是这样的级数, 它的各项是正负交错的.,下页,这是交错级数.,二、交错级数及其审敛法,交错级数 交错级数是这样的级数, 它的各项是正负交错的.,下页,莱布尼茨定理,则级数收敛, 且其和su1.,简要证明:,下页,设级数的前n项部分和为sn.,及 s2n=u1-(u2-u3) -(u4-u5) - -(u2n-2-u2n-1)-u2n .,设s2ns(n),则也有s2n1=s2nu2n1s(n),所以sns(n).,因此级数是收敛的, 且级数的和su1.,可见数列s2n单调增加且有界(s2nu1),所以数列s2n收敛.,s2n可写成,称莱布尼茨型级数,例9.,这是一个交错级数. 因为此级数满足,证:,是莱布尼茨型级数, 故收敛.,莱布尼茨定理,则级数收敛, 且其和su1.,首页,.,例9.,这是一个交错级数. 因为此级数满足,证:,首页,.,例 验证: 不管 大于 还是不大于 ,只要,均收敛.,是莱布尼茨型级数, 故收敛.,是莱布尼茨型级数, 故收敛.,三、任意项级数的绝对收敛与条件收敛,定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.,由于任意常数项级数各项的符号不一定同号,因而正 项级数的敛散性的判别法对它来说是不适用的.但当我们,可借助于正项级数的敛散性的判别法来研究它了.,它的每一项取绝对值后组成的级数正项级数,便,考察,三、任意项级数的绝对收敛与条件收敛,定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.,定理,证, un | un |,从而,例18,例19,定理的作用：,任意项级数,正项级数,说明:,定理,定理,(任意项级数的达朗贝尔比值判别法),因此,收敛,绝对收敛.,例11 判定级数 的敛散性.,解:,由达朗贝尔比值判别法，,例11 判定级数 的敛散性.,由达朗贝尔比值判别法，,故当 时， 该级数收敛.,解:,例21,解:,总结：,绝对收敛与条件收敛,绝对收敛,条件收敛,收敛,发散,注1 所有正项级数的收敛都是绝对收敛.,注2 一切判别正项级数的敛散性的判别法都可用来 判定 是否收敛.,定理,例20,解,定理,例15 判定级数 的敛散性:,由比较判别法的极限形式知,故级数 绝对收敛.,收敛，,例24,解:,解,由调和级数的发散性可知,故级数不是绝对收敛的.,原级数是一个交错级数, 且满足：,所以级数是收敛的.,由莱布尼兹判别法可知, 该交错级数收敛.,解,是条件收敛.,必要条件,满足,比值判别法,根值判别法,绝对收敛,不能,用它,莱布尼茨定理,交错级数,比较判别法,原级数发散,发散,至多条件收敛,判别,收敛,内容小结：,任意项级数 的审敛法,作业P138,4. (1)(2)(3),5. (1)(3),7.,14.17.,13.(9)(10),9.,12., 一元微积分学,大 学 数 学（一）,第五十三讲 函数项级数 幂级数,脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民,8.4 幂级数,上页,下页,铃,结束,返回,首页,一. 函数项级数,二. 幂级数及其敛散性,三. 幂级数的运算,1. 函数项级数的定义,设有一函数序列,为定义在区间 I 上的函数项级数.,一、函数项级数,可以利用常数项级数的知识来处理函数项级数,2. 函数项级数的敛散性,的收敛点 .,的发散点 .,记为D.,函数项级数的部分和,余项,(x在收敛域内),注意,函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.,3.和函数:,(定义域是?),可以利用常数项级数的知识来处理函数项级数,例11 求级数 的收敛域.,由达朗贝尔比值判别法，,形如,的级数称为幂级数, 其中,称为幂级数的系数.,1. 幂级数的定义,在函数项级数中, 有一类十分特殊的级数, 它的每一 项都是 x 的幂函数, 即 .,例如:,其中,证明：,2. 幂级数的敛散性,由正项级数的比较审敛法知,证明：,由(1)结论,证明：,2. 幂级数的敛散性,几何说明,收敛区域,发散区域,发散区域,O,推论,定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.,规定,问题,如何求幂级数的收敛半径?,收敛区域,发散区域,发散区域,O,定理2. 若,的系数满足,证:,1) 若0,则根据比值判别法可知:,当,原级数绝对收敛;,当,原级数发散.,即,时,1) 当 0 时,2) 当0 时,3) 当时,即,时,则,因此级数的收敛半径,（,）,定理2. 若,的系数满足,证:,1) 当 0 时,2) 当0 时,3) 当时,则,2) 若,则根据比值判别法可知,绝对收敛 ,3) 若,则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散 ,对任意 x 原级数,因此,因此,的收敛半径为,说明:据此定理,定理2. 若,的系数满足,1) 当 0 时,2) 当0 时,3) 当时,则,综上所述, 得:,(2)判断x =R时,级数 和,(3)写出幂级数 的收敛区域.,注7 (1)当R=0时,幂级数,(2)当R= +时,幂级数,的敛散性;,只在x=0收敛.,此时收敛区间为(-,+).,对于一切x均收敛,注6 求幂级数 的收敛域的步骤是:,(1)求出收敛半径,得收敛区间为(-R,R).,例2,解,例3,解,例17 求幂级数 的收敛半径及收敛域:,下面考察x=1时幂级数的敛散性:,当x=1时,幂级数变为,当x=-1时,幂级数(1)变为,故原级数收敛域为1,1.,是绝对收敛的;,是绝对收敛的;,注8 我们所说的“求幂级数的收敛半径及收敛区域”都是,如,对标准幂级数,而言的;但形,非标准幂级数,下方法求收敛半径和收敛区域:,直接用上述方法求,收敛半径和收敛区间,却不能,而只能是采用如,第一种:用变量代换把它们化为标准幂级数,如令变量代换,谁的收敛半径？,6. 非标准幂级数收敛区间的求法,由交错级数判别法, 可知此时级数收敛.,由级数收敛的必要条件, 可知,综上所述,缺少偶次幂的项,级数收敛,例5,解:,级数发散,级数发散,级数发散,级数发散,所以原级数的收敛域为,级数收敛,例5,解:,例6,求 的收敛半径和收敛域.,解:,当 | x | 1 时, = 0 1, 级数 绝对收敛.,当 | x | 1 时, = ,因此级数的收敛域为,级数 发散.,半径R为1.,当 | x | =1 时, = ,级数绝对收敛.,作业P154,1. (2)(4)(6)(8),5.,6., 一元微积分学,大 学 数 学（一）,第五十四 幂级数的运算 求幂级数的和函数,脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民,8.5 幂级数的运算,上页,下页,铃,结束,返回,首页,二.幂级数的运算,注9 两个收敛的幂级数在它们共同的收敛区间上可以逐项相加.,1.代数运算性质:,(1) 加减法,2.和函数的分析运算性质:,且收敛半径仍为R.,2.和函数的分析运算性质:,且收敛半径仍为R.,2.和函数的分析运算性质:,的敛散性, 并求其收敛域.,这是等比级数.,故该级数的收敛域为:,利用幂级数和函数逐项求导，逐项求积性质求幂级数的和函数 问题,（2）利用幂级数和函数逐项求导，逐项求积性质求幂级数和函数 的实例,例7,解,求得幂级数的收敛域为1 1),解,解,的和函数,由此题,有时需要进行逐项求导连续两次或逐项积分连续两次.,例20 求下列幂级数的收敛域及和函数:,解: 设,则此幂级数的收敛区间为(-1,1).,而当 x =1时, 级数,故收敛区域为(-1,1).,发散.,需要时可将幂级数拆开,将原级数逐项积分有,再将级数S1(x)逐项积分有,对上式两端求导有,对此式两端再求导有,(1x1),作业P155,9.,2. (1)(3)(4)(5)(6)(7), 一元微积分学,大 学 数 学（一）,第五十五讲,脚本编写：,教案制作：,函数展开为幂级数,一、麦克劳林级数,二、函数展开成幂级数,8.5 函数展开成幂级数,上页,下页,铃,结束,返回,首页,第四节 函数展开成幂级数,上节例题,求幂级数, 在其收敛域内以f (x)为和函数,问题:,1.如果能展开, 是什么?,如果f(x)在点x00的某邻域(R, R)内能展开成x的标准幂级数, 即 f(x)a0a1xa2x2 +anxn , ,a0=f(0),a1=f (0), .,提示:,f (x)2!a232a3x43a4x254a5x3 , f (0)2!a2.,f (n)(x)n!an(n1)n(n1)2an1x , f (n)(0) n!an.,那么有,f (x)a12a2x3a3x24a4x35a5x4 , f (0)a1 .,下页,.,f(x),麦克劳林级数,此级数称为f(x)的麦克劳林级数.,下页,下页,泰勒级数,麦克劳林级数,.,.,f(x),f(x),在泰勒级数中取x00, 得,非标准幂级数,三、函数展开为幂级数,直接法的步骤,第一步 求出f (x)的各阶导数: f (x), f (x), , f (n)(x), ; 第二步 求函数及其各阶导数在x0 处的值: f(0), f (0), f (0), , f (n)( 0), ; 第三步 写出幂级数,并求出收敛半径R;,下页,直接展开法,由此可得,例1. 将函数f(x)ex展开成x的幂级数.,解:,显然 f (n)(x)ex(n1, 2, ),由此得级数,f (n)(0)1(n1, 2, ).,下页,下页,.,f(x),例2. 将函数f(x)sin x展开成x的幂级数.,解:,所以f (n)(0)顺序循环地取0, 1, 0, 1, (n0, 1, 2, 3, ),于是得级数,它的收敛半径为R.,由此得展开式,下页,.,f(x),例3. 将函数f(x)(1x)m (m为任意常数)展开成x的幂级数.,所以 f(0)=1, f (0)=m, f (0)=m(m-1), , f (n)(0)=m(m-1)(m-2) (m-n1), , 由此得幂级数,解:,f(x)的各阶导数为,f (x)=m(1x)m-1,f (x)=m(m-1)(1x)m-2, ,f (n)(x)=m(m-1)(m-2) (m-n1)(1x)m-n, ,因此,(1x1),.,f(x),麦克劳林级数,.,下页,f(x),间接展开法,直接展开法太麻烦,根据展开式的唯一性, 利用已知展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式.,两边求导, 得,2.间接展开法,例4,例5.,解:,已知,把x换成x2, 得,提示:,收敛半径的确定:,由-1-x21,得-1x1.,下页,例5,解：,提示:,幂级数展开式小结,结束,例22,将上述两式两端分别从0到 x (1 x 1)积分, 得,(1x1).,(1x1).,例7,解:,例8,例1 把函数 展开为关于 的 幂级数.,解:,例9,解,解