§6.5数列的综合应用.ppt

6.5 数列的综合应用,高 效 梳 理 gao xiao shu li,课前必读知识备考,等差、等比交汇，考查数列的综合问题. 以递推关系为背景，考查数列的通项与前n项和. 数列与函数、不等式交汇，考查数列的综合应用. 以实际问题为背景，考查数列的应用.,(1)解答数列应用题的步骤 审题仔细阅读材料，认真理解题意 建模将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么 求解求出该问题的数学解 还原将所求结果还原到原实际问题中,(2)数列应用题常见模型 等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差 等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比数列，这个固定的数就是公比,(3)与银行利率相关的几类模型银行储蓄单利公式利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和ya(1xr)，属于等差模型.银行储蓄复利公式按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和ya(1r)x，属于等比模型产值模型原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x的总产值yN(1p)x.,(4)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，是随项的变化而变化时，应考虑是an与an1的递推关系，还是前n项和Sn与Sn1之间的递推关系(5)分期付款模型设贷款总额为a，年利率为r，等额还款数为b，分n期还完，则ba.,(5)分期付款模型设贷款总额为a，年利率为r，等额还款数为b，分n期还完，则b,考 点 自 测 kao dian zi ce,课前热身基础备考,1已知等差数列an的公差d0，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是( ),答案：B,2已知a，b，c，d成等比数列，且曲线yx22x3的顶点是(b，c)，则ad等于( ) A3 B2 C1 D2,答案：B,解析：由于a，b，c，d成等比数列，所以有bcad.曲线yx22x3(x1)22的顶点为(1,2)，所以b1，c2，所以adbc2.,3数列an的通项公式是关于x的不等式x2xnx(nN*)的解集中的整数个数，则数列an的前n项和Sn( ),答案：C,4某种产品三次调价，单价由原来的每克512元降到216元，则这种产品平均每次降价的百分率为_,解析：设平均每次降价百分率为x，则512(1x)3216，x0.25.,答案：25%,5莱因德纸草书是世界上最古老的数学著作之一书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得,解析：设公差为d(d0)， 则5份分别为202d,20d,20,20d,202d， 则7(202d20d)20(20d)(202d)，,题 型 突 破 ti xing tu po,互动探究方法备考,题型一ti xing yi,等差数列与等比数列的综合 【例1】已知等差数列an中，a11，公差d0，且a2，a5，a14分别是等比数列bn的第二项、第三项、第四项 (1)求an、bn的通项公式；,解析：(1)等差数列an中的a2，a5，a14分别是等比数列bn的第二、三、四项，且a11， (1d)(113d)(14d)2，d2，an2n1. 又公比q3，a2b23，b11， bnb1qn113n13n1. 故an2n1，bn3n1.,创新预测1 已知各项均为正数的数列an前n项和为Sn，首项为a1，且2，an，Sn成等差数列 (1)求数列an的通项公式；,解析：(1)由题意知2anSn2，an0， 当n1时，2a1a12，a12. 当n2时，Sn2an2，Sn12an12，,数列an是以2为首项，2为公比的等比数列 ana12n122n12n.,题型二ti xing er,以递推关系为背景的数列的综合,又anan10，anan12(n2)， 数列an是以3为首项，2为公差的等差数列， an32(n1)2n1.,(3)Tn321522(2n1)2n0， 又2Tn0322(2n1)2n(2n1)2n1， 得 Tn3212(22232n)(2n1)2n1 6822n1(2n1)2n1 (2n1)2n12， Tn(2n1)2n12.,题型三ti xing san,数列与函数、不等式的综合,(2)由(1)得an4n2202logabn，bna2n11. 结合指数函数的性质， 当0a1时，由a2n111，得n5.5， 显然不存在满足条件的自然数m； 当a1时，由a2n111，得n5.5， 存在m6,7,8，使当nm时bn1成立， m的最小值是6.,解析：原不等式的解集为x|0xn1，nN*， 因此ann.,题型四ti xing si,数列与实际问题的综合 【例4】我国是一个人口大国，随着时间推移，老龄化现象越来越严重，为缓解社会和家庭压力，决定采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d0)，因此，历年所交纳的储备金数目a1，a2，an是一个公差为d的等差数列与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利这就是说，如,果固定年利率为r(r0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1(1r)n1，第二年所交纳的储备金就变为a2(1r)n2，以Tn表示第n年末所累计的储备金总额 (1)写出Tn与Tn1(n2)的递推关系式； (2)求证：TnAnBn，其中An是一个等比数列，Bn是一个等差数列,解析：(1)由题意可得TnTn1(1r)an(n2) (2)T1a1，对n2反复使用上述关系式，得 TnTn1(1r)an Tn2(1r)2an1(1r)an a1(1r)n1a2(1r)n2an1(1r)an，,创新预测4 某市2008年共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2009年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问： (1)该市在2015年应该投入多少辆电力型公交车？,解析：(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列an，其中a1128，q1.5，则在2015年应该投入的电力型公交车为a7a1q61281.561 458(辆),对 接 高 考 dui jie gao kao,试题调研方向备考,1(2010石家庄市质检二)已知数列an满足a11，an12an(1)n(nN*),高 效 作 业 gao xiao zuo ye,自我测评技能备考,一、选择题,答案：B,2某工厂总产值月平均增长率为p，则年平均增长率为( ) Ap B12p C(1p)12 D(1p)121,答案：D,解析：设1月份产值为1，年平均增长率为x，依题意得,3某人为了观看2010年南非足球世界杯，从2006年起，每年的5月1日到银行存入a元的定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到2010年的5月1日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱(元)的总数为( ) Aa(1p)4 Ba(1p)5,答案：D,解析：依题意，可取出钱的总数为,4(2009福建龙岩模拟)在等比数列an中，a12，前n项和为Sn，若数列an1也是等比数列，则Sn( ) A2n12 B3n C2n D3n1,答案：C,解析：因数列an为等比数列，则an2qn1，因数列an1也是等比数列，则(an11)2(an1)(an21)a2an1anan2anan2anan22an1an(1q22q)0q1，即an2，所以Sn2n.,5抛物线y(n2n)x2(2n1)x1与x轴交点分别为An，Bn(nN*)，以|AnBn|表示该两点的距离，则|A1B1|A2B2|A2 010B2 010|的值是( ),答案：B,解析：令y0，则(n2n)x2(2n1)x10， 设两根分别为x1，x2.,答案：B,二、填空题,5,14,解析：由于f(x)tanxsinx，显然该函数为奇函数,三、解答题 10(2009广东六校联考)一辆邮政车自A城驶往B城，沿途有n个车站(包括起点站A和终点站B)，每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个，设该车从各站出发时邮政车内的邮袋数构成一个有穷数列ak(k1,2,3，n)试求： (1)a1，a2，a3. (2)邮政车从第k站出发时，车内共有邮袋数多少个？ (3)求数列ak的前k项和Sk.,解析：(1)由题意得a1n1， a2(n1)(n2)1， a3(n1)(n2)(n3)12.,(2)从第k站出发时，放上的邮袋共： (n1)(n2)(nk)个， 而从第二站起，每站放下的邮袋共： 123(k1)个， 故ak(n1)(n2)(nk)12(k1),(3)akkn