浙江省中考数学复习难题突破题型（十一）数学文化（新版）浙教版.docx

难题突破题型(十一)数学文化【题型解读】数学文化指数学的思想、精神、方法、观点、语言,以及它们的形成和发展.数学作为一种文化现象,早已是一种生活常识.在近几年的中考中,以数学文化为载体的数学题越来越多,只要我们平时注意积累和了解这方面的常识,解题时注意审题,实现载体与考点的有效转化,透过现象看本质,问题便可迎刃而解.类型1以数学名著为题材例1 九章算术中,将两底面是直角三角形的棱柱称之为“堑堵”,已知某“堑堵”的三视图如图Z11-1,主视图中的虚线平分矩形的面积,则该“堑堵”的侧面积为()图Z11-1A.2B.4+22C.4+42D.6+42【分层分析】(1)通过阅读,你知道“堑堵”是什么样的图形吗?(2)根据“堑堵”的定义,你能推断出该几何体的底面是什么图形?侧面又是什么图形?针对训练1.2018乐山 九章算术是我国古代第一部自成体系的数学专著,代表了东方数学的最高成就,它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载:“今有圆材埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”译为:“今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯这木材,锯口深1寸(ED=1寸),锯道长1尺(AB=1尺=10寸).问这块圆形木材的直径是多少?”如图Z11-2,请根据所学的知识计算:圆形木材的直径AC是()图Z11-2A.13寸B.20寸C.26寸D.28寸2.2018邵阳 程大位是我国明朝商人,珠算发明家.他60岁时完成的直指算法统宗是东方古代数学名著,详述了传统的珠算规则,确立了算盘用法.书中有如下问题:一百馒头一百僧,大僧三个更无争,小僧三人分一个,大小和尚得几丁.意思是:有100个和尚分100个馒头,如果大和尚1人分3个,小和尚3人分1个,正好分完,大、小和尚各有多少人.下列求解结果正确的是()A.大和尚有25人,小和尚有75人B.大和尚有75人,小和尚有25人C.大和尚有50人,小和尚有50人D.大、小和尚各有100人3.2018长沙 我国南宋著名数学家秦九韶的著作数书九章里记载有这样一道题目:“问有沙田一块,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知为田几何?”这道题讲的是:有一块三角形沙田,三条边长分别为5里,12里,13里,问这块沙田面积有多大?题中的“里”是我国市制长度单位,1里=500米,则该沙田的面积为()A.7.5平方千米B.15平方千米C.75平方千米D.750平方千米4.2018江西 中国的九章算术是世界现代数学的两大源泉之一,其中有一问题:“今有牛五、羊二,直金十两;牛二、羊五,直金八两.问牛羊各直金几何?”译文:今有牛5头,羊2头,共值金10两;牛2头,羊5头,共值金8两.问牛、羊每头各值金多少?设牛、羊每头各值金x两、y两,依题意,可列出方程组为.5.2018枣庄 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章一书中,给出了著名的秦九韶公式,也叫三斜求积公式.即:如果一个三角形的三边长分别为a,b,c,则该三角形的面积为S=,已知ABC的三边长分别为5,2,1,则ABC的面积为.6.2018恩施州 我国古代易经一书中记载,远古时期,人们通过在绳子上打结来记录数量,即“结绳记数”.如图Z11-3,一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结,满六进一,用来记录采集到的野果数量,由图可知,她一共采集到的野果数量为个.图Z11-37.2018雅安 九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作,其中方田章计算弧田面积所用的经验公式是:弧田面积=12(弦矢+矢2).弧田(如图Z11-4阴影部分),由圆弧和其所对弦所围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差,现有圆心角为120,半径等于4米的弧田,按照上述公式计算出弧田的面积为米2.图Z11-48.2018张家界 列方程解应用题:九章算术中有“盈不足术”的问题,原文如下:“今有共買羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三.问人数、羊價各幾何?”题意是:若干人共同出资买羊,每人出5元,则差45元;每人出7元,则差3元.求人数和羊价各是多少.类型2以数学名人为题材例2 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,第n个三角形数为n(n+1)2=12n2+12n.记第n个k边形数为N(n,k)(k3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式.三角形数N(n,3)=12n2+12n,正方形数N(n,4)=n2,五边形数N(n,5)=32n2-12n,六边形数N(n,6)=2n2-n,可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)=.针对训练1.2017云南 正如我们小学学过的圆锥体积公式V=13r2h(表示圆周率,r表示圆锥的底面半径,h表示圆锥的高)一样,许多几何量的计算都要用到.祖冲之是世界上第一个把计算到小数点后7位的中国古代科学家,创造了当时世界上的最高水平,差不多过了1000年,才有人把计算得更精确.在辉煌成就的背后,我们来看看祖冲之付出了多少.现在的研究表明,仅仅就计算来讲,他至少要对9位数字反复进行130次以上的各种运算,包括开方在内.即使今天我们用纸笔来算,也绝不是一件轻松的事情,何况那时候没有现在的纸笔,数学计算不是用现在的阿拉伯数字,而是用算筹(小竹棍或小竹片)进行的,这需要怎样的细心和毅力啊!他这种严谨治学的态度,不怕复杂计算的毅力,值得我们学习.下面我们就来通过计算解决问题:已知圆锥的侧面展开图是个半圆,若该圆锥的体积等于93,则这个圆锥的高等于()A.53B.53C.33D.332.2018德州 我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算术一书中,用图Z11-5的三角形解释二项式(a+b)n的展开式的各项系数,此三角形称为“杨辉三角”.(a+b)01(a+b)111(a+b)2121(a+b)31331(a+b)414641(a+b)515101051图Z11-5根据“杨辉三角”请计算(a+b)8的展开式中从左起第四项的系数为()A.84B.56C.35D.283.2018莱芜 如图Z11-6,若ABC内一点P满足PAC=PCB=PBA,则称点P为ABC的布罗卡尔点.三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现,后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现,并用他的名字命名,布罗卡尔点的再次发现,引发了研究“三角形几何”的热潮.已知ABC中,CA=CB,ACB=120,P为ABC的布罗卡尔点,若PA=3,则PB+PC=.图Z11-64.2017乐山 庄子说:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”.这句话(文字语言)表达了古人将事物无限分割的思想,用图形语言表示为图Z11-7,按此图分割的方法,可得到一个等式(符号语言):1=12+122+123+12n+.图Z11-7也是一种无限分割:在ABC中,ACB=90,B=30,过点C作CC1AB于点C1,再过点C1作C1C2BC于点C2,又过点C2作C2C3AB于点C3,如此无限继续下去,则可将ABC分成ACC1、CC1C2、C1C2C3、C2C3C4、Cn-2Cn-1Cn、.假设AC=2,这些三角形的面积和可以得到一个等式是.图Z11-7类型3其他题材例3 “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.图Z11-8它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.其实际直观图中四边形不存在,当其主视图和左视图完全相同时,它的主视图和俯视图分别可能是()图Z11-8图Z11-9A.a,bB.a,cC.c,bD.b,d【分层分析】(1)根据题目所给的直观图,你发现“牟合方盖”有哪些特征?(2)“牟合方盖”的主视图和俯视图分别是什么?针对训练1.2018金华 如图Z11-10,小靓用七巧板拼成一幅装饰图,放入长方形ABCD内,装饰图中的三角形顶点E,F分别在边AB,BC上,三角形的边GD在边AD上,则ABBC的值是.图Z11-102.2002年在北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图Z11-11).如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为,那么cos的值等于.图Z11-113.2017江西 中国人最先使用负数,魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出,可将算筹(小棍形状的记数工具)正放表示正数,斜放表示负数.如图Z11-12,根据刘徽的这种表示法,观察图,可推算图中所得的数值为.图Z11-12参考答案例1 C解析 依题意,得该几何体为三棱柱,且底面为等腰直角三角形,两直角边长均为2,高为2,所以其侧面积为S=22+222=4+42.故选C.赏析 该题以我国古代数学名著九章算术中所描述的特殊几何体“堑堵”为背景,是一道新概念信息的迁移题.试题以三视图为依托,在考查空间想象能力的同时传播数学文化.针对训练1.C解析 本题主要考查圆的相关知识,解决本题的关键是掌握和运用垂径定理和勾股定理.根据题意可知,ED=1寸,AB=1尺=10寸.ODAB,AD=BD=5寸,不妨设O的半径为r,在AOD中,r2=52+(r-1)2,解得r=13,圆形木材的直径AC的长为26寸.故选C.2.A解析 设大和尚有x人,则小和尚有(100-x)人,根据相等关系:大和尚吃的馒头个数+小和尚吃的馒头个数=100,可列方程为3x+100-x3=100.解方程可得x=25.所以大和尚有25人,小和尚有75人.故选A.3.A解析 将里换算为米为单位,则三角形沙田的三边长分别为2.5千米、6千米、6.5千米.因为2.52+62=6.52,所以这个三角形为直角三角形,直角边长为2.5千米和6千米,所以S=1262.5=7.5(平方千米).故选A.4.5x+2y=10,2x+5y=85.1解析 把5,2,1代入三角形的面积公式得S=1.故填1.6.1838解析 由题意可知,因为满六进一,从右到左依次排列的绳子分别代表绳结数乘6的0次幂,6的1次幂,6的2次幂,6的3次幂,6的4次幂.她一共采集到的野果数量为1838个.7.(43+2)解析 由题可知,AOB=120,OB=4,OCAB,“矢”为CD的长,则AD=DB.在RtBOD中,OBD=30,所以OD=2,所以CD=2,BD=23,AB=2BD=43,即“弦”的长,由公式,得弧田面积=12(弦矢+矢2)=12(432+22)=43+2. 8.解:设买羊的有x人,则羊价为(5x+45)元.根据题意,得5x+45=7x+3.解得x=21.521+45=150(元).答:买羊人数为21人,羊价为150元.例2 1000解析 由N(n,4)=n2,N(n,6)=2n2-n,可以推测:当k为偶数时,N(n,k)=k2-1n2-k2-2n,于是N(n,24)=11n2-10n,故N(10,24)=11102-1010=1000.针对训练1.D解析 如图,圆锥的侧面展开图是个半圆,设这个半圆的半径为R,则AC=R,这个半圆的弧长为R.设圆锥底面圆的半径为r,则2r=R,得R=2r,AC=2r.由圆锥的母线AC=2r,OC=r得在RtAOC中,h=AO=3r.圆锥的体积等于93,13r23r=93,r=3,h=AO=3r=33.故选D. 2.B3.1+33解析 如图,由“布罗卡尔点”的定义,如图,设PAC=PCB=PBA=,PAB=.CA=CB,ACB=120,ABC=BAC=30,CBP=PAB=30-=,BCPABP,PBPA=BCAB=PCPB.而在ABC中,如图,作CDAB于点D,则BD=12AB.cosB=BDBC=32,BCAB=13,PB3=13=PCPB,PB=1,PC=33,PB+PC=1+33.故答案为1+33.4.23=321+34+342+343+34n+解析 根据三角形的面积来列出等式.由ACB=90,B=30,AC=2,可得三角形的面积为12ACBC=12223=23.又因为三角形的面积可表示为n个三角形的面积和,则可得到1213+123232+1234334+1212n332n+=.所以根据面积相等得23=.例3 A解析 当主视图和左视图完全相同时,“牟合方盖”相对的两个曲面正对前方,主视图为一个圆,俯视图为一个正方形,且对角线为两条实线.故选A.赏析 “牟合方盖”是我国古代利用立体几何模型和数学思想方法解决数学问题的代表之一.本题取材于“牟合方盖”,通过添加解释和提供直观图的方式降低了理解题意的难度.试题从识“图”到想“图”,再到构“图”,要经历分析、判断的逻辑过程.另外,我国古代数学中的其他著名几何体,如“阳马”“鳖臑”和“堑堵”等的三视图问题都有可能在中考中考查,值得我们注意.针对训练