2012全国高考湖北卷文科数学试卷解析版.docx

整理版2012全国高考湖北卷文科数学试卷解析版2012年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷解析版) 数学(理工类)试卷 一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 2xx，,61301(方程的一个根是 A( B( C( D(,，32i32i，,，23i23i，考点分析:本题考察复数的一元二次方程求根. 难易度:? 2,，66134解析:根据复数求根公式:，所以方程的一个根为x32,i,，32i2答案为A. 32(命题“，”的否定是 x,Q，,xQ0R033A(， B(，x,Qx,Q，,xQ，,xQ0R0R003x,QC(， ,xQR3x,Q D(，,xQR4 考点分析:本题主要考察常用逻辑用语，考2 4 察对命题的否定和否命题的区别.2 2 侧视图 正视图 ? 难易度: 解析:根据对命题的否定知，是把谓词取否定，然后把结论否定。因此选Dyfx,()3(已知二次函数的图象如图所示，x则它与轴所围图形的面积为 y 俯视图 24A( B( 第4题图 135,1,1 1O x ,1 第3题图 ,1 3C( D( 22考点分析:本题考察利用定积分求面积. 难易度:?2 解析:根据图像可得: ，再由定积分的几何意义，可求得面积为yfxx,，()1114231. ,，,，,Sxdxxx(1)(),1,1334(已知某几何体的三视图如图所示，则该几 何体的体积为 8A( B( 3310C( D( 63考点分析:本题考察空间几何体的三视图. 难易度:? 解析:显然有三视图我们易知原几何体为 一个圆柱体的一部分，并且有正视图知是一个1/2的圆柱体，底面圆的半径为1，圆柱体的高为6，则知所求几何体体积为原体积的一半为.选B. 32012013,a51，a5(设，且，若能被 a,Z13整除，则 a,A(0 B(1 C(11 D(12 考点分析:本题考察二项展开式的系数. 难易度:? 解析:由于 201202012120112011151=52-1，,(52,1),C52,C52，.,C52，1201220122012又由于13|52,所以只需13|1+a，0?a13,所以a=12选D. 222abc，,10abcxyz,6(设是正数，且， 222axbycz，,20xyz，,40， abc，则 ,xyz，11A( B( 4313C( D( 24考点分析:本题主要考察了柯西不等式的使用以及其取等条件. 难易度:? 2222222解析:由于 (a，b，c)(x，y，z),(ax，by，cz) abc2222等号成立当且仅当则a=t x b=t y c=t z ，,t,t(x，y，z),10xyz abca，b，ca，b，ct,1/2所以由题知又，答案选C.,所以,t,1/2xyzx，y，zx，y，z 7(定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列， 仍(,0)(0,),，,:fx()a()fann是等比数列，则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函fx()(,0)(0,),，,:数: 2x?; ?; ?; ?fxx()ln|,.fxx(),fx()2,fxx()|,fx()则其中是“保等比数列函数”的的序号为 A(? ? B(? ? C(? ? D(? ? 考点分析:本题考察等比数列性质及函数计算. 难易度:? 222222，fafa,aa,a,fa解析:等比数列性质，?; aa,ann，2nn，2n，1n，1nnn，2，1aaa，a2a2nn，2nn，2n，1?，;fafa,22,2,2,fann，2n，122，?;fafa,aa,a,fann，2nn，2n，1n，122，fafa,lnalna,lna,fa?.选C nn，2nn，2n，1n，18(如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆. 在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 211A( B( ,1,221C( D( 考点分析:本题考察几何概型及平面图形面积求法. 难易度:? OA,1解析:令，扇形OAB为对称图形，ACBD围成面积为，S1围成OC为，作对称轴OD，则过C点。即为以OA为直径SS22的半圆面积减去三角形OAC的面积，2111112S,1。在扇形OAD中为扇形面S,，,22222228,112SSS,22121，积减去三角形OAC面积和，,2288216第8题图 2,1SSS,，,，扇形OAB面积，选A. 124429(函数在区间0,4上的零点个数为 fxxx()cos,A(4 B(5 C(6 D(7 考点分析:本题考察三角函数的周期性以及零点的概念. 难易度:? ,22x,0x,k，,k,Zcosx,0解析:，则或，又，,x,0,4f(x),0,k,0,1,2,3,42所以共有6个解.选C. 10(我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰:置积尺数以十六乘之九而一所得开立方除之即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积，求其直径Vd316 =3.14159？dV,的一个近似公式. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据判断，9下列近似公式中最精确的一个是 33316300213dV,dV,dV,dV,2A( B( C( D(157911考点分析:考察球的体积公式以及估算. 难易度:? 解析: 3466b69dVa，3由，得设选项中常数为则;中代入得，,VA,()d,=3.37532b16a,，616157611中代入得，BD=3=3.14,=3.142857C中代入得中代入得，,230021由于D中值最接近的真实值，故选择D。,二、填空题:本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. (一)必考题(1114题) 11(设?的内角，所对的边分别为，. 若，()()abcabcab，,，,acCbABCAB则角 ( C,考点分析:考察余弦定理的运用. 难易度:? 解析: 222由(a=-a+b-c)(a+b-c)=ab,得到abcb，,222abc，,-ab12 根据余弦定理故cos=,CC,，,2223abab12(阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果 .s, 第12题图 考点分析:本题考查程序框图. 难易度:? 解析:程序在运行过程中各变量的值如下表示: 第一圈循环:当n=1时，得s=1，a=3. a=5 第二圈循环: 当n=2时，得s=4，第三圈循环:当n=3时，得s=9，a=7 此时n=3，不再循环，所以解s=9 . 13(回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数(如22，121，3443，94249等(显然 2位回文数有9个:11，22，33，99(3位回文数有90个:101，111，121，191，202，999(则 (?)4位回文数有 个; (?)位回文数有 个( 21()nn，,N，考点分析:本题考查排列、组合的应用. 难易度:? 解析:(?)4位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为9，10,900，有9(19)种情况，第二位有10(09)种情况，所以4位回文数有种。答案:90 (?)法一、由上面多组数据研究发现，2n+1位回文数和2n+2位回文数的个数相同，所以可以算出2n+2位回文数的个数。2n+2位回文数只用看前n+1位的排列情况，第一位不n9，10能为0有9种情况，后面n项每项有10种情况，所以个数为.法二、可以看出2位数有9个回文数，3位数90个回文数。计算四位数的回文数是可以看出在2位数的中间添加成对的“00,11,22,99”，因此四位数的回文数有90个按此规律推导,而当奇数位时，可以看成在偶数位的最中间添加09n9，10这十个数，因此,则答案为. 22xy14(如图，双曲线的两顶点为A，A，虚轴两端点为B，B，两焦点,1 (,0)ab112222abABCD,为FF，. 若以AA为直径的圆内切于菱形，切点分别为. 则FBFB12121122 y B A B2 A A 1 2O x 12 C D (?)双曲线的离心率 ; e,S1(?)菱形的面积与矩形的面积的比值 .SS,FBFBABCD121122S2 考点分析:本题考察双曲线中离心率及实轴虚轴的相关定义，以及一般平面几何图形的面积计算. 难易度:? O 解析:(?)由于以为直径的圆内切于菱形，因此点到直线的距离为FBAAFBFB12112222b，又由于虚轴两端点为，因此的长为，那么在中，由三角形的面aOBBB,FOB122221112222bc,a|BF|,a(b，c)c,a，b积公式知，又由双曲线中存在关系联立222225，1222可得出，根据解出 e,;e,(1,，,)(e,1),e22(?)设,很显然知道,因此.在，FOB,，FAO,，AOB,S,2asin(2,)2222222bc4abc2,sin,cos,S,4asincos,中求得故;,FOB222222222b，cb，cb，c25S，1e菱形的面积，再根据第一问中求得的值可以解出.S,2bcFBFB,112212S2(二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑. 如果全选则按第15题作答结果计分.) 15(选修4-1:几何证明选讲) B C 如图，点D在的弦AB上移动，连接OD，过点D OAB,4D 作的垂线交于点C，则CD的最大值为 . OD O考点分析:本题考察直线与圆的位置关系 . 难易度:? O 22A OCCD,OC,OD解析:(由于OD,CD,因此,线段长为定值， 第15题图 OD即需求解线段长度的最小值，根据弦中点到圆心的距离最短，此 1C时为的中点，点与点重合，因此. |CD|,|AB|,2DBAB216(选修4-4:坐标系与参数方程) 在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴 xt,，1,建立极坐标系. 已知射线与曲线(t为参数) ,24yt,(1),相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为 . 考点分析:本题考察平面直角坐标与极坐标系下的曲线方程交点. 难易度:? xt,，1,解析:在直角坐标系下的一般方程为，将参数方程(t为参y,x(x,R),24yt,(1),222数)转化为直角坐标系下的一般方程为表示一条抛物y,(t,1),(x,1,1),(x,2)2A、B线，联立上面两个方程消去x,5x，4,0有，设两点及其中点的横坐标分别yPxx，5ABx,为，则有韦达定理,又由于点点在直线上，因此x、x、xy,xPAB0AB02255P(,)的中点. 22三、解答题 17(本小题满分12分) 已知向量a,(cossin,sin),xxx，设函数b,(cossin,23cos),xxx1()x,Rfx(),，ab,的图象关于直线对称，其中，为常数，且. x,(,1)2 fx()(?)求函数的最小正周期; 3fx()yfx,()(?)若的图象经过点，求函数在区间上的取值范围.(,0)0,45 考点分析:本题考察三角恒等变化，三角函数的图像与性质。 难易度:? 22解析:(?)因为 fxxxxx()sincos23sincos,，,，,. ,，cos23sin2,xx,，,2sin(2)x6 yfx,()由直线是图象的一条对称轴，可得， x,sin(2)16 k1所以，即( ,，,Z,，,Z2kk()()k6223 51又，所以，故. k,Zk,1,(,1)62 6所以的最小正周期是. fx()5 (?)由的图象过点，得， yfx,()(,0)f()0,445即，即. ,2,，,2sin()2sin26264 5故， fxx()2sin()2,36 355由，有， 0,x,x56366155所以，得，,sin()1x,122sin()222x23636 3故函数在上的取值范围为. fx()12,22,0,5 18(本小题满分12分) 已知等差数列前三项的和为，前三项的积为. a8,3n(?)求等差数列的通项公式; an(?)若，成等比数列，求数列的前项和. aaan|a231n考点分析:考察等差等比数列的通项公式，和前n项和公式及基本运算。 难易度:? 解析:(?)设等差数列的公差为，则，aaad,，aad,，2dn2131 333,ad，,a,2,a,4,111由题意得 解得或 ,d,3.aadad()(2)8.，,d,3,111 所以由等差数列通项公式可得 ，或. ann,，23(1)35ann,，,43(1)37nn故，或. an,，35an,37nn (?)当aaa时，分别为，不成等比数列;an,，35,1,42231n aaa当时，分别为，成等比数列，满足条件.an,37,12,4231n ,，,37,1,2,nn,故 |37|an,n37,3.nn, nS|a记数列的前项和为. nn当时，Sa,|4;当时，Saa,，,|5; n,1n,211212当时， n,3,，,，,，,5(337)(347)(37)？nSSaaa,，|？ nn234(2)2(37)311nn,，,2. 当时，满足此式.n,2,，,，510nn222 4,1,n,综上， S,311n2nnn,，,10,1.,22 19(本小题满分12分) ,BC,3ADBC,，,ACB45如图1，过动点A作，垂足D在线段BC上且异于点,，,BDC90B，连接AB，沿将?折起，使(如图2所示)( ADABD ABCD,(?)当的长为多少时，三棱锥的体积最大; BDABCD,(?)当三棱锥的体积最大时，设点，分别为棱，的中点，试在BCACEM EN,BMN棱上确定一点，使得，并求与平面所成角的大小(CDNENBM A A M D B C . ? C D B E 图2 图1 第19题图 考点分析:本题考察立体几何线面的基本关系，考察如何取到最值，用均值不等式和导数均可求最值。同时考察直线与平面所成角。本题可用综合法和空间向量法都可以。运用空间向量法对计算的要求要高些。 难易度:? 解析: CDx,3BDxx,(03)(?)解法1:在如图1所示的?中，设，则(ABC ,ADBC,ADCDx,3，,ACB45由，知，?为等腰直角三角形，所以.ADC BDDCD:,ADBC,ADDC,由折起前知，折起后(如图2)，且，ADBD, 11,，,BDC90所以平面(又，所以(于是BCDSBDCDxx,AD,(3),BCD22 1111 VADSxxxxxx,(3)(3)2(3)(3)ABCDBCD,33212312(3)(3)2xxx，,，,，,， ,1233，23xx,当且仅当，即时，等号成立， x,1ABCD,故当，即时, 三棱锥的体积最大( x,1BD,1 解法2: 111132同解法1，得( VADSxxxxxx,，(3)(3)(69)ABCDBCD,3326 113203,x令，由，且，解得(,x,1fxxxx()(69),，fxxx()(1)(3)0,62 ,当时，;当时，( x,(0,1)fx()0,x,(1,3)fx()0,所以当时，取得最大值( fx()x,1ABCD,故当时, 三棱锥的体积最大( BD,1 (?)解法1:以为原点，建立如图a所示的空间直角坐标系(Dxyz,D ABCD,ADCD,2由(?)知，当三棱锥的体积最大时，(BD,1 1于是可得，D(0,0,0)B(1,0,0)C(0,2,0)A(0,0,2)M(0,1,1)E(,1,0)2 ,且( BM,(1,1,1),1ENBM,设，则. 因为等价于，即ENBM,0N(0,0),EN(,1,0)2 1111，故，. ,，,N(0,0)(,1,0)(1,1,1)1022221ENBM,所以当(即是的靠近点的一个四等分点)时，( NCDDN,D2 ,n,BN,1,设平面的一个法向量为，由 及，n,(,)xyzBMNBN,(1,0),2n,BM, yx,2,得 可取( n,(1,2,1),zx,.,11设与平面所成角的大小为，则由，n,(1,2,1)，可得EN,BMNEN,(,0) 221,|1|,nEN3,2,60，即( ,sincos(90)2,n|EN2，62,60.故与平面所成角的大小为 ENBMN z A A M M D N D N y C C B E E B x 图a 图b M G N D C H N E B E P B 图d 图c 第19题解答图 ABCD,ADCD,2解法2:由(?)知，当三棱锥的体积最大时，(BD,1 如图b，取的中点，连结，则?.CDFMFBFEFMFAD 由(?)知平面，所以平面. BCDBCDAD,MF,如图c，延长至P点使得，连，则四边形为正方形，FEBPDPDBPFFPDB, 所以. 取的中点，连结，又为的中点，则?，NENENDFEFPDPDPBF, ENBF,MFEN,所以. 因为平面，又面，所以. BCDEN,BCDMF, MFBFF:,ENBM,又，所以面. 又面，所以.EN,BMFBM,BMF ENBM,ENBF,因为当且仅当，而点是唯一的，所以点是唯一的.N 1ENBM,即当(即是的靠近点的一个四等分点)，( NCDDN,D2 5连接，由计算得， NBNMEBEM,MNME2所以?与?是两个共底边的全等的等腰三角形， NMBEMB如图d所示，取的中点，连接， GEGNGBMEHGN,则平面(在平面中，过点作于，EGNEGNEHBM, 则平面(故是与平面所成的角( ENBMN，ENHBMNEH, 2在?中，易得，所以?是正三角形，EGNEGNEGGNNE,2 ,60.，,ENH60故，即与平面所成角的大小为 ENBMN 20(本小题满分12分) 根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如下表:X,300300700,X700900,XX,900 降水量X 工期延误天数 Y0 2 6 10 历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9. 求: (?)工期延误天数的均值与方差; Y(?)在降水量X至少是的条件下，工期延误不超过6天的概率. 300 考点分析:本题考察条件概率、离散型条件概率分布列的期望与方差。 难易度:? 解析: (?)由已知条件和概率的加法公式有: ，PX(300)0.3,PXPXPX(300700)(700)(300)0.70.30.4, . PXPXPX(700900)(900)(700)0.90.70.2,. PXPX(900)1(900)10.90.1,所以的分布列为: YY0 2 6 10 P0.3 0.4 0.2 0.1 于是，; EY()00.320.460.2100.13,，,2222.DY()(03)0.3(23)0.4(63)0.2(103)0.19.8,，,，,，,，, 故工期延误天数的均值为3，方差为. 9.8Y (?)由概率的加法公式， PXPX(300)1(300)0.7,，又. PXPXPX(300900)(900)(300)0.90.30.6, PX(300900)0.66, 由条件概率，得PYXPXX(6300)(900300),.PX(300)0.77, 6故在降水量X至少是mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是. 3007 21(本小题满分13分) 22设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与 xy，,1xxllAAD轴的交点，点在直线上，且满足. 当点在圆上运|(0,1)DMmDAmm,且lMA动时，记点M的轨迹为曲线( C(?)求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标; CCQ(?)过原点且斜率为的直线交曲线于，两点，其中在第一象限，它在轴kCyPPQN上的射影为点，直线交曲线于另一点. 是否存在，使得对任意的mNCHk,0PQPH,，都有,若存在，求的值;若不存在，请说明理由. m 考点分析:本题主要考察求曲线的轨迹方程、直线与圆锥曲线的位置关系，要求能正确理解椭圆的标准方程及其几何性质，并能熟练运用代数方法解决几何问题，对运算能力有较高要求。 难易度:? 解析: Mxy(,)(?)如图1，设，Axy(,)，则由|(0,1)DMmDAmm,且，00 1xx,xx,可得，|ymy,，所以，. ?|yy,0000m 22因为点在单位圆上运动，所以. ?xy，,1A00 2y2将?式代入?式即得所求曲线的方程为. Cxmm，,1 (0,1)且2m ，所以 因为m,，,(0,1)(1,):01,m当时，曲线是焦点在轴上的椭圆， xC22两焦点坐标分别为，; (1,0),m(1,0),m当时，曲线是焦点在轴上的椭圆， Cym,122两焦点坐标分别为，. (0,1),m(0,1)m, (?)解法1:如图2、3，设，则，Pxkx(,)Hxy(,)Qxkx(,),Nkx(0,),k01111221 直线的方程为，将其代入椭圆的方程并整理可得QNykxkx,，2C1 2222222. (4)40mkxkxxkxm，,11依题意可知此方程的两根为，于是由韦达定理可得 x,x21224kxmx11，即. ,，,xxx,2122222mk，4mk，422kmx1因为点H在直线QN上，所以ykxkx,2. 21222mk，422,42kxkmx11于是，PHxxykx,(,)(,). PQxkx,(2,2)2121112222mkmk，44 222,4(2),mkx1PQPH,0而PQPH,等价于， 22mk，4220,mm,2即，又，得， m,02y2m,2PQPH,故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有. x，,1k,02 y yy H A H N P P NM O D x x O x OQ Q (01),m图2 (1)m,图1 图3 第21题解答图 解法2:如图2、3，,x(0,1)，设Pxy(,)，Hxy(,)，则Qxy(,),，Ny(0,)，11122111 2222,mxym，,11因为，两点在椭圆上，所以 两式相减可得CPH,2222mxym，,22 22222. ? mxxyy()()0,，,1212 依题意，由点在第一象限可知，点也在第一象限，且，不重合，PHPH 故. 于是由?式可得 ()()0xxxx,，,1212()()yyyy,，21212. ? ,m()()xxxx,，12122yyy，112又，三点共线，所以kk,，即. Q,NHQNQHxxx，112 2yyyyyyy,，()()1m1121212kk,于是由?式可得.PQPHxxxxxxx,，2()()21121212 2mkk,1而等价于，即，又，得，m,2PQPH,1m,0PQPH2 2y2故存在m,2，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有. PQPH,x，,1k,02 22(本小题满分14分) r01,r(?)已知函数，其中为有理数，且. 求的fx()fxrxxrx()(1)(0),，,r最小值; (?)试用(?)的结果证明如下命题: bb12设，为正有理数. 若，则;bb,aaabab,，aa,0,0bb，,1121212121122 (?)请将(?)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题.,1,注:当为正有理数时，有求导公式. ,()xx,考点分析:本题主要考察利用导数求函数的最值，并结合推理，考察数学归纳法，对考生的归纳推理能力有较高要求。 难易程度:? rr,11,fx()0,解析:(?)fxrrxrx()(1),，令，解得. x,1,fx()0,fx()(0,1)当时，所以在内是减函数; 01,x,fx()0,fx()(1,)，,当 时，所以在内是增