高等数学下册黄立宏廖基定著复旦大学出版社第十一章课后答案.pdf

习题十一习题十一 1设L为xOy面内直线x=a上的一段，证明： (),d0 L P x yx= 其中P(x,y)在L上连续 证：设L是直线x=a上由(a,b1)到(a,b2)这一段， 则L： 12 xa btb yt = = ，始点参数为t=b1，终点参数为t=b2故 ()()() 22 1 d ,dd0d0 d bb Lbb a P x yxP a,ttP a,tt t = 2设L为xOy面内x轴上从点(a,0)到点(b,0)的一段直线，证明： ()(),d0 d b La P x yxP x,x= ， 其中P(x,y)在L上连续 证：L： 0 xx axb y = = ，起点参数为x=a，终点参数为x=b 故 ()(),d,0 d b La P x yxP xx= 3计算下列对坐标的曲线积分： (1) () 22 d L xyx ，其中L是抛物线y=x2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧； (2) d L xy x 其中L为圆周(x-a)2+y2=a2(a0)及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界 (按逆时针方向绕行)； (3) dd L y xx y+ ，其中L为圆周x=Rcost，y=Rsint上对应t从 0 到 2的一段弧； (4) ()() 22 dd L xyxxyy xy + + ，其中L为圆周x2+y2=a2(按逆时针方向绕行)； (5) 2d ddxxz yy z + ，其中为曲线x=k，y=acos，z=asin上对应从 0 到的一段弧； (6) () 322 d3d+ xxzyx yz ，其中是从点(3,2,1)到点(0,0,0)的一段直线； (7) ddd L xyy z+ ，其中为有向闭拆线ABCA，这里A，B，C依次为点（1,0,0） ，(0,1,0)， (0,0,1)； (8) ()() 22 2d2d L xxyxyxyy+ ，其中L是抛物线y=x2上从点(-1,1)到点(1,1)的段弧 解：(1)L：y=x2，x从 0 变到 2， ()() 2 2 222435 0 0 1156 dd 3515 L xyxxxxxx = (2)如图 11-1 所示，L=L1+L2其中L1的参数方程为 图 11-1 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m cos 0 sin xaat t yat =+ = L2的方程为y=0(0x2a) 故 ()() ()() () 12 2 00 32 0 322 00 3 ddd 1+costsincosd0d sin1cosd sindsindsin 2 LLL a xy xxy xxy x aataattx attt at ttt a =+ =+ =+ = + = (3) () 2 0 2 2 0 2 2 0 ddsinsincoscosd cos2 d 1 sin2 2 0 L y xx yRtRtRtRtt Rt t Rt +=+ = = = (4)圆周的参数方程为：x=acost，y=asint，t:02 故 ()() ()()() () 22 2 2 0 2 2 2 0 dd 1 cossinsincossincosd 1 d 2 L xyxxyy xy atatatatat att a at a + + =+ = = (5) ()() () 2 22 0 322 0 332 0 332 ddd sinsincoscosd d 1 3 1 3 xxz yy z kkaaaa ka ka ka + =+ = = = (6)直线的参数方程是 3 2 = = = xt yt zt t 从 10 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 故 () () 322 0 322 1 0 3 1 0 4 1 d3dd 27334292d 87 d 1 87 4 87 4 xxzyyx yz tttttt tt t + = + = = = (7) ABBCCA=+ (如图 11-2 所示) 图 11-2 1 : 0 yx AB z = = ，x从 01 () 0 1 ddd112 AB xyy zdx+= = 0 : 1 x BC yz = = ，z从 01 ()() () 1 0 1 0 1 2 0 ddd11 2d 1 2 2 3 2 BC xyy zzdz zz zz += + = = = 0 : 1 y CA zx = = ，x从 01 1 0 ddd1001 CA xyy zdx+=+= 故 () () ddd ddd 31 21 22 L ABBCCA xyy z xyy z + =+ = + = 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m (8) ()() () () () 22 1 2242 1 1 2354 1 2d2d 222d 224d 14 15 L xxyxyxyy xx xxx xxx xxxxx + =+ =+ = 4计算 ()()dd L xyxyxy+ ，其中L是 (1)抛物线y2=x上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧； (2)从点(1,1)到点(4,2)的直线段； (3)先沿直线从(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到点(4,2)的折线； (4)曲线x=2t2+t+1,y=t2+1 上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧 解：(1)L： 2 xy yy = = ，y：12，故 ()() ()() () 2 22 1 2 32 1 2 432 1 dd 21 d 2d 111 232 34 3 L xyxyxy yyyyyy yyyy yyy + =+ =+ =+ = (2)从(1,1)到(4,2)的直线段方程为x=3y-2，y：12 故 ()() ()() () 2 1 2 1 2 2 1 dd 32332d 104 d 54 11 L xyxyxy yyyyy yy yy + =+ + = = = (3)设从点(1,1) 到点(1,2)的线段为L1，从点(1,2)到(4,2)的线段为L2，则L=L1+L2且 L1： 1x yy = = ，y：12；L2： 2 xx y = = ，x：14； 故 ()() ()() () 1 2 1 2 2 2 1 1 dd 101d 1 d 2 1 2 L xyxyxy yyy y yyy + =+ = = 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m ()() ()() ()() 2 4 1 4 4 2 1 1 dd 220 d 1 2 d2 2 27 2 L xyxyxy xxx xxx + =+ =+=+ = 从而 ()() ()( )() 12 dd dd 127 14 22 L LL xyxyxy xyxyxy + =+ =+= (4)易得起点(1,1)对应的参数t1=0，终点(4,2)对应的参数t2=1，故 ()() ()()() () 1 22 0 1 32 0 1 432 0 dd 32412d 10592 d 1059 2 432 32 3 L xyxyxy ttttttt tttt tttt + =+ + =+ =+ = 5 设质点受力作用， 力的反方向指向原点， 大小与质点离原点的距离成正比， 若质点由(a,0) 沿椭圆移动到B(0,b)，求力所做的功 解：依题意知F=kxi+kyj，且L： cos sin xat yat = = ，t：0 2 () () () () 2 0 22 2 0 22 2 0 22 dd cossinsincosd sin2 d 2 cos2 22 2 L Wkx xky y kattkbt btt k ba t t k ba t k ba =+ =+ = = = (其中k为比例系数) 6计算对坐标的曲线积分： (1) d L xyz z ，为x2+y2+z2=1 与y=z相交的圆，方向按曲线依次经过第、封限； (2) ()()() 222222 ddd L yzxzxyxyz+ ，为x2+y2+z2=1 在第封限部分的边界曲线， 方 向按曲线依次经过xOy平面部分，yOz平面部分和zOx平面部分 解:(1)： 222 1xyz yz += = 即 22 21xz yz += = 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 其参数方程为： cos 2 sin 2 2 sin 2 xt yt zt = = = t：02 故： 2 0 2 22 0 2 2 0 2 0 222 dcossinsincos d 222 2 sincosd 4 2 sin 2 d 16 21cos4 d 162 2 16 xyz ztttt t tt t t t t t = = = = = (2)如图 11-3 所示 图 11-3 =1+2+3 1： cos sin 0 xt yt z = = = t：0 2， 故 ()()() () () 1 222222 22 2 0 33 2 0 3 2 0 ddd sinsincoscosd sincosd 2sind 24 2 33 yzxzxyxyz ttttt ttt t t + = = + = = = 又根据轮换对称性知 ()()() ()()() 1 222222 222222 ddd 3ddd 4 3 3 4 yzxzxyxyz yzxzxyxyz + =+ = = 7应用格林公式计算下列积分： 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m (1) ()()dd24356+ xyxyxy ， 其中L为三顶点分别为(0,0)， (3,0)和(3,2)的三角形正 向边界； (2) ()() 222 ddcos2sinesin2 e xx L xyx yxxyxyxxy+ ，其中L为正向星形线 () 222 333 0 xya a += ； (3) ()() 3222 dd2cos12 sin3+ L xyxyyxyxx y ， 其中L为抛物线 2x=y2上由点(0,0)到( 2,1) 的一段弧； (4) ()() 22 ddsin L xyxyxy+ ，L是圆周 2 2yxx= 上由点(0,0)到(1,1)的一段弧； (5) ()()dde sine cos xx L xyymyym+ ， 其中m为常数，L为由点(a,0)到(0,0)经过圆x2+y2=ax 上半部分的路线（a为正数） 图 11-4 解：(1)L所围区域D如图 11-4 所示，P=2x-y+4， Q=3x+5y-6， 3 Q x = ， 1 P y = ，由格林公式得 ()()dd24356 d d 4d d 4d d 1 432 2 12 L D D D xyxyxy QP x y xy x y x y + = = = = = (2)P=x2ycosx+2xysinx-y2ex，Q=x2sinx-2yex， 则 2 cos2 sin2 ex P xxxxy y =+ ， 2 cos2 sin2 ex Q xxxxy x =+ 从而 PQ yx = ，由格林公式得 ()() 222 ddcos2sinesin2 e d d 0 + = = xx L D xyx yxxyxyxxy QP x y xy (3)如图 11-5 所示，记OA，AB， BO围成的区域为D （其中BO=-L） 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 图 11-5 P=2xy3-y2cosx，Q=1-2ysinx+3x2y2 2 62 cos P xyyx y = ， 2 62 cos Q xyyx x = 由格林公式有： ddd d0 L OA ABD QP P xQ yx y xy + += 故 2 1 22 00 1 22 0 2 dddd dddd dd 12 sin3 24 3 d12 4 4 + +=+ =+ =+ + =+ = LOA AB OAAB P xQ yP xQ y P xQ yP xQ y O xy yy yyy (4)L、AB、BO及D如图 11-6 所示 图 11-6 由格林公式有 ddd d + += L AB BOD QP P xQ yx y xy 而P=x2-y，Q=-(x+sin2y) 1 = P y ， 1 = Q x ，即， 0 = QP xy 于是 () dddd0 + +=+= LABBOL AB BO P xQ yP xQ y 从而 ()() ()()()() () 22 2222 11 2 2 00 11 3 00 ddddsin ddddsinsin dd1sin 131 sin2 324 71 sin2 64 LL BAOB P xQ yxyxyxy xyxyxyxyxyxy yxxy xyy +=+ =+ =+ =+ = + (5)L，OA如图 11-7 所示 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 图 11-7 P=exsiny-my， Q=excosy-m， e cos x P ym y = ， e cos x Q y x = 由格林公式得： 2 2 ddd d d d d d 1 22 8 L OAD D D QP P xQ yx y xy m x y mx y a m m a + += = = = = 于是： ()() 2 2 0 2 0 2 dddd 8 d0 esin00ecos0 8 0d 8 8 +=+ =+ = = LOA a xx a m a P xQ yP xQ y m a x mm m a x m a 8利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积： (1)星形线x=acos3t，y=asin3t； (2)双纽线r2=a2cos2； (3)圆x2+y2=2ax 解：(1) () ()() () () 2 32 0 22 242222 00 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 dsin3 cosd sin 3 3sincosdsin 2sind 4 3 d 1cos41cos2 16 3 d 1cos2cos4cos2 cos4 16 31 2+d cos2cos6 162 3 8 L Ay xatatt t att tatt t at tt at tttt at tt a = = = = + = + = (2)利用极坐标与直角坐标的关系x=rcos，y=rsin得 coscos2xa= ， sincos2ya= 从而xdy-ydx=a2cos2d 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 于是面积为： 2 4 4 2 4 4 2 1 2dd 2 cos2 d sin2 2 L Ax yy x a a a = = = = (3)圆x2+y2=2ax的参数方程为 cos 02 sin xaa ya =+ = 故 ()() () 2 0 2 2 0 2 1 dd 2 1 d a+acossin 2 d 1cos 2 cossin L Ax yy x a a a aa = = = + = 9证明下列曲线积分与路径无关，并计算积分值： (1) ()() () ()1,1 0,0 ddxyxy ； (2) ()() () ()3,4 2322 1,2 dd663xyxyyx yxy+ ； (3) () ()1,2 2 1,1 dd x y xx y 沿在右半平面的路径； (4) () ()6,8 221,0 dd xy x xy y+ + 沿不通过原点的路径； 证：(1)P=x-y，Q=y-x显然P，Q在xOy面内有连续偏导数，且 1 PQ yx = ，故积分与 路径无关取L为从(0,0)到(1,1)的直线段，则L的方程为：y=x，x：01于是 ()() () ()11,1 00,0 0d0ddxxyxy= (2)P=6xy2-y3，Q=6x2y-3xy2显然P，Q在xOy面内有连续偏导数，且 2 123 P xyy y = ， 2 123 Q xyy x = ，有 PQ yx = ，所以积分与路径无关 取L为从(1,2)(1,4)(3,4)的折线，则 ()() () () ()() 3,4 2322 1,2 43 2 21 4 3 23 2 1 2 dd663 dd63 9664 3 4864 236 xyxyyx yxy yxyy x yy xx + =+ =+ = (3) 2 y P x = ， 1 Q x = ，P，Q在右半平面内有连续偏导数，且 2 1P yx = ， 2 1Q xx = ，在右半平 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 面内恒有 PQ yx = ，故在右半平面内积分与路径无关 取L为从(1,1)到(1,2)的直线段，则 () () () 21,2 2 11,1 dd d1 1 x y xx y y = (4) 22 x P xy = + ， 22 y Q xy = + ，且 () 3 22 PQxy yx xy = + 在除原点外恒成立，故曲线积 分在不含原点的区域内与路径无关， 取L为从(1,0)(6,0)(6,8)的折线，则 () ()686,8 1022221,0 8 2 0 dd dd xyx36+y 1 5 2 36 2 9 x xy yxy xy y + =+ + =+ + = 10验证下列P(x,y)dx+Q(x,y)dy在整个xOy面内是某一函数u(x,y)的全微分，并求这样的一 个函数u(x,y)： (1)(x+2y)dx+(2x+y)dy； (2)2xydx+x2dy； (3)(3x2y+8xy2)dx+(x3+8x2y+12yey)dy； (4)(2xcosy+y2cosx)dx+(2ysinx-x2siny)dy 解：证：(1)P=x+2y，Q=2x+y 2 PQ yx = ，所以(x+2y)dx+(2x+y)dy是某个定义在整个xOy面内的函数u(x,y)的全微分 ()()() () () () , 0,0 00 2 2 0 22 dd,22 dd2 2 2 2 2 22 x y xy y uxyx yxyxy x xyxy x y xy xy xy =+ =+ =+ + =+ (2)P=2xy,Q=x2, 2 PQ x yx = ，故 2xydx+x2dy是某个定义在整个xOy面内的函数u(x,y)的全 微分 () () (), 2 0,0 2 00 2 2dd, 0dd x y xy uxy xxyx y xxy x y =+ =+ = (3)P=3x2y+8xy2，Q=x3+8x2y+12yey， 2 316 =+= PQ xxy yx ，故(3x2y+8xy2)dx+(x3+8x2y+12yey)dy 是某个定义在整个xOy面内函数u(x,y)的全微分， ()()() () () () , 2232 0,0 32 00 322 d,38812 e 0dd812 e 412 e12e12 x y y xy y yy uxx yx yx yxx yy xyxx yy x yx yy =+ =+ =+ 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m (4)P=2xcosy+y2cosx，Q=2ysinx-x2siny， 2 sin2 cos P xyyx y = + ， 2 cos2 sin Q yxxy x = ， 有 PQ yx = ，故(2xcosy+y2cosx)dx+(2ysinx-x2siny)dy是某一个定义在整个xOy面内的函数 u(x,y)的全微分， ()()() () () () , 22 0,0 2 00 22 dd,2 coscos2 sinsin 2 dd2 sinsin sincos x y xy uxyx yxyyxyxxy x xyyxxy yxxy =+ =+ =+ 11证明： 22 ddx xy y xy + + 在整个xOy平面内除y的负半轴及原点外的开区域G内是某个二元函 数的全微分，并求出这样的一个二元函数 证： 22 x P xy = + ， 22 y Q xy = + ，显然G是单连通的，P和Q在G内具有一阶连续偏导数， 并且 () 2 22 2 = + PQxy yx xy ，(x,y)G 因此 22 ddx xy y xy + + 在开区域G内是某个二元函数u(x,y)的全微分 由 () () 22 22 2222 dd11 ln 22 d x yx xy y d xy xyxy + = + + 知 ()() 22 1 ln, 2 u x yxy=+ 12设在半平面x0 中有力 () 3 k Fxiyj r = + 构成力场，其中k为常数， 22 rxy=+ ，证明： 在此力场中场力所做的功与所取的路径无关 证：场力沿路径L所作的功为 33 dd L kk Wx xy y rr = 其中 3 kx P r = ， 3 ky Q r = ，则P、Q在单连通区域x0 内具有一阶 连续偏导数，并且 5 3 (0) PkxyQ x yrx = 因此以上积分与路径无关，即力场中场力所做的功与路径无关 13当为xOy面内的一个闭区域时，曲面积分 ()d d, ,Rx yx y z 与二重积分有什么关系？ 解：因为：z=0，在xOy面上的投影区域就是 故 ()()d dd d, , ,0Rx yRx yx y zx y = 当取的是上侧时为正号，取的是下侧时为负号 14计算下列对坐标的曲面积分： (1) 22 d dx y z x y ，其中是球面x2+y2+z2=R2的下半部分的下侧； (2) d dd dd dz x yx y zy z x + ， 其中是柱面x2+y2=1 被平面z=0 及z=3 所截得的在第封限内 的部分的前侧； (3) ()()()d d2d dd d, , , ,fxy zfyz xfzx yx y zx y zx y z + ，其中f(x,y,z)为连续函 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 数，是平面x-y+z=1 在第封限部分的上侧； (4) d dd dd dxz x yxy y zyz z x + ， 其中是平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1 所围成的空间区域的整个 边界曲面的外侧； (5) ()()()d dd dd dy zz xx yyzxyzx + ，其中为曲面 22 zxy=+ 与平面z=h(h0)所 围成的立体的整个边界曲面，取外侧为正向； (6) ()() 2 2 d dd dd d+ yy zxz xx yyxz xz ，其中为x=y=z=0，x=y=z=a所围成的正方体表 面，取外侧为正向； 解：(1)： 222 zRxy= ，下侧，在xOy面上的投影区域Dxy为：x2+y2R2 () () ()() () ()() () ()() 2222 222 2 422 22 00 2 2 222 2 22 22 00 2 35 422222 2222 00 35 42 2222 22 d dd d dcossind 1 sin 2 dd 8 1 dd 1cos42 16 1242 2 1635 xy D R R R x y z x yx yx y Rxy rr r Rr RrR RrrR RRrRRr RrRr RR RrRr = = = + = + = + () 7 22 2 0 7 7 2 105 R Rr R = (2)如图 11-8 所示，在xOy面的投影为一段弧， 图 11-8 故 d d0z x y = ，在yOz面上的投影 Dyz=(y,z)|0y1，0z3，此时可表示为： 2 1xy= ，(y,z)Dyz， 故 2 31 2 00 1 2 0 d d1d d d1d 31d yz D x y zyy z zyy yy = = = 在 xOz 面上的投影为Dxz=(x,z)|0x1，0z3，此时可表示为： 2 1yx= ，(x,z)Dxz， 故 2 31 2 00 1 2 0 d d1d d d1d 31d xz D y z xxz x zxx xx = = = 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 因此： 1 2 0 1 2 0 d dd dd d 2 3 1d 61d 6 4 3 2 z x yx y zy z x xx xx + = = = = (3)如图 11-9 所示，平面x-y+z=1 上侧的法向量为 n=1,-1,1，n的方向余弦为 1 cos 3 = ， 1 cos 3 = ， 1 cos 3 = ， 图 11-9 由两类曲面积分之间的联系可得： ()()() () () () () ()() d d2d dd d, , , , cos d(2)cosd()d d coscos d d(2)d d()d d coscos (2)() d d d d 1d d xy D fxy zfyz xfzx yx y zx y zx y z sfysfzx yfx x yfyx yfzx yfx fyfzx yfx x yxyz x yxyxy + =+ =+ =+ =+ =+ d d 1 1 1 2 1 2 xy D x y= = = (4)如图 11-10 所示： 图 11-10 =1+2+3+4其方程分别为1：z=0，2：x=0，3：y=0，4：x+y+z=1， 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 故 () () 1234 4 11 00 d d 000d d d d1 1 dd1 24 xy D x xz x y xz x y xx yxy xxyxy =+ =+ = = 由积分变元的轮换对称性可知 1 d ddzd 24 xy y zyzx = 因此 d ddydd d 11 3 248 xz x yxyzyz z x + = (5)记所围成的立体为，由高斯公式有： ()()() ()()() d dd dd d d d d 0d d d0 y zz xx yyzxy zx yzxy zx x y z xyz x y z + =+ = (6)记所围的立方体为， P=y(x-z)，Q=x2，R=y2+xz 由高斯公式有 ()() () () () 2 2 000 00 2 0 0 2 0 4 d dd dd d d d d d d d ddd dd d 2 d 2 aaa aa a a a yy zxz xx yyxz xz PQR x y z xyz x y zxy xyzxy xayxy y ax xy a ax ax a + += =+ =+ =+ = + = + = 15.设某流体的流速V=(k,y,0)，求单位时间内从球面x2+y2+z2=4 的内部流过球面的流量. 解：设球体为，球面为，则流量 3 d dd d d d d 432 d d d 2 33 k y zy z x PQ x y z xy x y z =+ += = （由高斯公式） 16利用高斯公式，计算下列曲面积分： (1) 222 d dd dd dxy zyz xzx y + ，其中为平面x=0，y=0，z=0，x=a，y=a，z=a所围成的立 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 体的表面的外侧； (2) 333 d dd dd dxy zyz xzx y + ，其中为球面x2+y2+z2=a2的外侧； (3) ()() 2 232 d dd dd d2xzy zz xx yx yzxyy z + ， 其 中为 上 半 球 体x2+y2a2， 222 0zaxy 的表面外侧； (4) d dd dd dx y zy z xz x y + ，其中是界于z=0 和z=3 之间的圆柱体x2+y2=9 的整个表面的 外侧； 解：(1)由高斯公式 () () 222 000 4 d dd dd d d222 2d 6d 6ddd 3 aaa xy zyz xzx y vxyz vxyz x v x xyz a + =+ =+ = = 对称性 (2)由高斯公式： () 333 222 2 4 000 5 d dd dd d d 3d 3ddsin d 12 5 a xy zyz xzx y PQR v xyz vxyz rr a + += =+ = = (3)由高斯公式得 ()() () 2 232 222 2 22 2 000 2 4 00 5 d dd dd d2 d d ddsin d 2sin dd 2 5 a a xzy zz xx yx yzxyy z PQR v xyz vzxy rrr rr a + += =+ = = = (4)由高斯公式得： 2 d dd dd d d 3d 3 33 81 x y zy z xz x y PQR v xyz v + += = = = 17.利用斯托克斯公式，计算下列曲线积分： 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m (1) dddy xz yx z + ，其中为圆周x2+y2+z2=a2，x+y+z=0，若从x轴的正向看去，这圆周 是取逆时针的方向； (2) ()()() 2222 22 dddxyzyzxy zx + ，其中是用平面 3 2 xyz+= 截立方体： 0 x1，0y1，0z1 的表面所得的截痕，若从Ox轴的正向看去，取逆时针方向； (3) 2 3 dddy xxz yyzz + ，其中是圆周x2+y2=2z，z=2，若从z轴正向看去，这圆周是取 逆时针方向； (4) 2 2 d3 dd+ y xx yzz ，其中是圆周x2+y2+z2=9，z=0，若从z轴正向看去，这圆周是取 逆时针方向 解：(1)取为平面x+y+z=0 被所围成部分的上侧，的面积为a2（大圆面积） ，的单位 法向量为 111 ,cos,cos,cos 333 n = 由斯托克斯公式 2 2 ddd coscoscosd 3 d 3 3 d 3 3 3 3 y xz yx z RQQP PR s yzxy zx s s a a + =+ = = = = (2)记为为平面 3 2 xyz+= 被所围成部分的上侧，可求得的面积为 3 3 4 （是一个边长 为 2 2 的正六边形） ； 的单位法向量为 111 ,cos,cos,cos 333 = n n n n 由斯托克斯公式 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m ()()() ()()() () 2222 22 ddd 111 2222d 22 333 4 d 3 43 d 23 43 3 3 243 9 2 xyzyzxy zx yzxys zx sxyz s + += = + = = = (3)取：z=2，Dxy：x2+y24 的上侧，由斯托克斯公式得： ()() () 2 2 2 3 ddd d d0d dd d 3 d d 3 5d d 52 20 + =+ + = + = = = xy D y xxz yyzz y zz xx y zzx x y z x y (4)圆周x2+y2+z2=9，z=0 实际就是xOy面上的圆x2+y2=9，z=0，取：z=0，Dxy：x2+y29 由 斯托克斯公式得： ()()() 2 2 2 d3 dd d dd dd d 000032 d d d d 3 9 + =+ = = = = xy D y x