八年级数学上册第三章勾股定理与实际问题知识点与同步训练（含解析）（新版）[苏科版].doc

勾股定理与实际问题知识精讲一勾股定理与实际问题利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：1认真审题，读懂题目，理解题意；2根据题意，画出相应的几何图形，并在图中标出相应的数量关系；3根据几何图形和数量关系，解三角形，求出答案；4作答三点剖析一考点：勾股定理与实际问题二重难点：利用勾股定理解决实际问题三易错点：把实际问题转化成几何模型，注意已知条件和图形的对应关系题模精讲题模一：勾股定理与实际问题例3.1.1 如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行_米【答案】 10【解析】 如图，设大树高为AB=12m，小树高为CD=6m，过C点作CEAB于E，则四边形EBDC是矩形，连接AC，EB=6m，EC=8m，AE=AB-EB=12-6=6（m），在RtAEC中，AC=10（m）故小鸟至少飞行10m故答案为：10例3.1.2 如图，点A处有一所中学，点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？MNA【答案】 会受到影响，影响时间为【解析】 会受到影响因为当拖拉机距离中学100以外时，不受影响，故MN上距离A点100m处为受到影响的临界点B，作AHMN于H，有，这样的点有两个，故影响的距离为120m，影响时间为例3.1.3 如图，一根长5米的竹篙AB斜靠在与地面垂直的墙上，顶端A距离墙根4米，点P为竹篙的中点（1）若竹篙顶端A下滑1米，则底端B向外滑行了多少米？（2）若竹篙AB沿墙下滑，则在下滑过程中，点P到墙根端点C的距离是否发生变化？试说明理由【答案】 （1）竹篙顶端A下滑1米，则底端B向外滑行了1米；（2）竹篙在下滑过程中，点P到墙根端点C的距离保持2.5m不变【解析】 （1）设竹篙顶端下滑1米到点，底端向外滑行到点由题意得m，m，在Rt中：在RtACB中：m即竹篙顶端A下滑1米，则底端B向外滑行了1米（2）竹篙在下滑过程中，点P到墙根点C的距离不变理由：连接CP，在ACB中，m所以竹篙在下滑过程中，点P到墙根端点C的距离保持2.5m不变例3.1.4 如图，轮船从点A处出发，先航行至位于点A的南偏西15且与点A相距100km的点B处，再航行至位于点B的北偏东75且与点B相距200km的点C处（1）求点C与点A的距离（精确到1km）；（2）确定点C相对于点A的方向（参考数据：1.414，1.732）【答案】 （1）173km（2）点C位于点A的南偏东75方向【解析】 （1）如右图，过点A作ADBC于点D，ABE=BAF=15，由图得，ABC=EBC-ABE=EBC-BAF=75-15=60，在RtABD中，ABC=60，AB=100，BD=50，AD=50，CD=BC-BD=200-50=150，在RtACD中，由勾股定理得：AC=100173（km）答：点C与点A的距离约为173km（2）在ABC中，AB2+AC2=1002+（100）2=40000，BC2=2002=40000，AB2+AC2=BC2，BAC=90，CAF=BAC-BAF=90-15=75答：点C位于点A的南偏东75方向随堂练习随练3.1 如图，受台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是_m【答案】 16【解析】 由题意得m，m，在直角ABC中，根据勾股定理得：米所以大树的高度是米随练3.2 如图，河流两岸a、b互相平行，点A、B是河岸a上的两座建筑物，点C、D是河岸b上的两点，A、B的距离约为200米某人在河岸b上的点P处测得APC=75，BPD=30，则河流的宽度约为_米【答案】 100【解析】 过点P作PEAB于点E，APC=75，BPD=30，APB=75，BAP=APC=75，APB=BAP，AB=PB=200m，ABP=30，PE=PB=100m故答案为：100随练3.3 如图，OAOB与点O，cm，cm，小猫在点B处发现有一只老鼠自点A出发正沿着AO方向匀速跑向点O，小猫立即从B处出发，并以相同的速度匀速直线前进去拦截老鼠，在点C处截住小老鼠，求小猫跑过的路程BC的长度【答案】 小猫跑过的路程BC的长度为25cm【解析】 由题意知，设cm，则cm，又cm，且OBC为直角三角形，整理得，解得，则cm，cm随练3.4 如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树AB高13米，另一棵树CD高8米（1）一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞多少米？（2）如果两树之间的地面（线段BC）上有一些食物，小鸟要从一棵树的顶端飞到地面找食吃，再飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？【答案】 （1）小鸟至少要飞13米；（2）小鸟至少要飞米【解析】 （1）如图，作DEAB于点E，根据题意得：米，米，故由勾股定理得：米，故小鸟至少要飞13米；（2）延长DC至F点，作FGBC交AB的延长线于点G，连接AF，在RtAGF中，米，故小鸟至少要飞米随练3.5 超速行驶是引发交通事故的主要原因上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到万丰路的距离为100米的点P处这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为秒且，（1）求A、B之间的路程；（2）请判断此车是否超过了万丰路每小时70千米的限制速度？（参考数据：，）【答案】 （1）（2）没有【解析】 该题考察的是解三角形（1）在RtBOP中 ，1分在RtAOP中， 2分(米)3分（2）(米/秒) 4分18.25米/秒千米/小时，此车没有超过限制速度5分随练3.6 一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子底端距墙底6m（1）若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端下滑多少米？（2）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？【答案】 （1）它的顶端下滑动米；（2）滑动的距离为2米【解析】 （1）在ABC中，米，米，由勾股定理得米，中，米，米，由勾股定理得米，米（2）设梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端水平滑动的距离相等为x米，根