物理习题-《中极值问题的数学求解方法》.docx

物理习题中极值问题的数学求解方法本文结合平常的习题教学，将高中物理习题中的极值问题解法归纳分类，以飨读者。一、利用一元二次函数知识求极值设有二次函数若0则有极大值，当时，若0则有极小值，当时，例1：一辆汽车以10m/s的速度匀速直线行驶15s后，一辆摩托车从静止开始，在同一地点出发，以1m/s2的速度作匀加速直线运动追赶汽车，求二车何时相距最远？最远距离多大？解：设摩托车行驶t秒后二车相距S米，有10(t+15)1t2=S即：S=t2+10t +150题中“何时相距最远”实际就是t为何值时，有最大值Smax依一元二次函数知识可知：t =10(s)时，Smax=200(m)例1也可以借助如下方法进行求解将S=t2+10t+150变形为t210t150S=0要使方程有解，则=(10) 24(150S)0得S200m，即S最大值Smax=200m二、利用一元二次方程根的判别式求极值应用该方法，宜选择适当的物理量作自变量，通过物理规律导出一个一元二次方程，利用=b240求解例2：如图一，顶角为的光滑圆锥置于磁感应强度为B，方向竖直向下的匀强磁场中，现有一个质量为m，带电量为+Q的小球沿圆锥面在水平面内作匀速圆周运动，求小球作圆周运动的最小半径。解：以小球为研究对象，受重力mg，弹力FN及洛仑兹力f的作用，如图2建立坐标系设：轨道半径R在方向：在方向： 整理得：关于的一元二次方程中有实数解有=Q2B2R24m2gRCot0R4 m2gRCot/ Q2B2即Rmin=4m2gCot/ Q2B2三、利用三角函数的有界属性求极值设有三角函数(或)在定义域内一定有1y1即ymax=1 ymin=1例3：某人与一平直公路距离h=50m，一客车以速度v1=10m/s沿此公路匀速驶来，当客车与人距离S=200m时，人开始追赶，求人能追上客车的最小奔跑速度。解：如图3设该人沿OB方向以v2大小奔跑在B处追上客车在AOC中，Sin = 在AOB中，即 =可见当Sin极大时，极小时，Sin=1图3min= Sin=2.5m/s方向与OA垂直例4：质量为m的物体放在水平桌面上，设物体与桌面之间的动摩擦因数为，现用力F拉物体，则F方向如何才能使物体加速度最大？最大加速度是多少？图4解：以物体为研究对象，分析受力建立坐标系如图4根据F=0 得：Fcos +FN=mg由F=ma 得：FSinf =ma又f =FN整理得物理问题又转化为上述函数问题，为值时取最大值,令=则Sin+可见当取极大值1时，即时四、利用分式函数的值域求极值设分式，当分母最大时有，当分母最小时有例5：一个质量为m1，速度为的物体与一个质量为m2的静止物体发生弹性正碰，求m2获得的最大动能？设碰撞后m1m2的速度分别为与解：因碰撞动量守恒弹性碰撞得 获得的动能=分子为定值，当时分母最小为1所以例6：如图5，有一半径的圆形木板浮在深度H=5.3m的水池水面上。在木板圆心的正上方某一高度h处放置一个点光源。欲使池底影子的半径R为最大，试问这个高度h应为多少？另求影子的最大半径？已知水的折射率解：设入射角为，折射角为根据折射定律得：又在SMO中在ONP中=图5整理得：在r、H、h为定值条件下，显然只有当h=0时分母最小为（实际情况，只能是h0，7m）五、利用均值不等式知识求极值由数学知识可知（），当且仅当时取等号当且仅当时取等号例7：如图6所示电路中，已知电源电动热E=6V，内阻r =1，R1=3，R2=3，R为5的滑动变阻器，当滑片P滑到什么位置时电流表读数最小？其值为多少？解：由闭合电路欧姆定律可知，当外电阻R为最大时，干路中电流最小，设R上在a、p音电阻为Rap则R=（R1+Rap）（R2+R Rap）/ （R1+ R2+R）因（R1+Rap）+（R2+R Rap）= R1+ R2+R为定值当（R1+Rap）=（R2+R Rap）即Rap = 3时，图6Rmax =2.5所以Imin=例8：如图7所示，小球在光滑的轨道上由A静止开始运动，其中半径为R的环中段CD为缺口，问为何值时，小球完成ABCD路径所需的离地面高度h最小，且最小值是多少？解：以小球为研究对象，从AC过程满足机械能守恒，选择地面为重力势能为零势能面，有EA=EC 又小球在CD间做斜抛运动，有水平方向： 图7竖直方向： 整理得：h=R（1+）因是定值当时 hmin=（1+）R例9：如图8所示，带电量均为+Q的点电荷相距为2L，MN是电荷连线的中垂线，求MN上场强的最大值。解：设P点的场强最大，PAO=则E=2（E1sin）=2k即图8因定值所以当 即时，E有最大值E六、利用，求极值由数学知识可知在实数范围内或 一定有例10：质量为m和M的二个粒子发生正碰，在碰撞过程中损失的动能为E。今要使碰撞前二粒子的总动能为最小，求碰前二粒子的速度。解：设碰撞前m1、m2速度分别为v1、v2碰撞后速度分别为v1、v2碰撞过程动量守恒m1v1+m2v2= m1v1+ m2v2碰撞过程能量守恒题中要求碰前总动能最小即要最小所以总动能最小的条件是有v1=v2=0将代入得v1= v2=七、利用几何作图法求极值例11：如图9，质量为m的小球放在倾角为的光滑斜面上，试分析挡板OA与斜面夹角多大时，OA所受压力最小？解：以小球为研究对象，受重力mg，斜面支持力F1，挡板OA的弹力F2的作用，处于平衡状态，故有mg+ F1+ F2=0（矢量式）图9由数学知识可知mg、F1、F2组成闭合矢量三角形，当挡板与斜面的夹角由图示位置变化时，mg大小方向不变，大F1大小改变方向不变，F2大小方向均改变，可作出一系列闭合三角形，由图中不难看出当F1F2时，即=时、八、利用数学定义域求极值有些习题，得出数学解析式后，单纯从求数学知识无法求出极值或极值不存在，这时结物理知识确定自变量的定义域，进而从数学角度求出极值。例12：如图10所示电路，已知电源电动势E=6.3V，内阻r =0.5，固定电阻R1=2R2=3，R3是阻值为5的滑动变阻器，按下电键K，调节变阻器滑片，求通过电源电流的范围。图10图11解：设间电阻为则外电路的总电阻根据闭合电路欧姆定律得整理得令易知当时，从数学知识可知y不存在极小值，但是从物理知识可知的定义域为05可作