全国高考数学二轮复习三角函数三角恒等变换与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形学案文.doc

第2讲三角恒等变换与解三角形考情考向分析正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1.边和角的计算.2.三角形形状的判断.3.面积的计算.4.有关参数的范围问题由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视热点一三角恒等变换1三角求值“三大类型”“给角求值”“给值求值”“给值求角”2三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1sin2cos2tan 45等(2)项的拆分与角的配凑：如sin22cos2(sin2cos2)cos2，()等(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次(4)弦、切互化：一般是切化弦例1(1)(2018张掖市诊断考试)已知sin，则cos等于()A. B.C D答案D解析coscoscos，sincos，coscos2cos211.(2)已知sin ，sin()，均为锐角，则等于()A. B. C. D.答案C解析因为，均为锐角，所以.又sin()，所以cos().又sin ，所以cos ，所以sin sin()sin cos()cos sin().所以.思维升华(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解跟踪演练1(1)(2018榆林模拟)若0，0，cos，cos，则cos等于()A. B C. D答案A解析由题意得sin，sin，而coscoscoscossinsin.(2)(2018河北省衡水中学模拟)若，则cos sin 的值为()A B C. D.答案C解析(sin cos )，cos sin .热点二正弦定理、余弦定理1正弦定理：在ABC中，2R(R为ABC的外接圆半径)变形：a2Rsin A,b2Rsin B,c2Rsin C，sin A,sin B,sin C，abcsin Asin Bsin C等2余弦定理：在ABC中，a2b2c22bccos A.变形：b2c2a22bccos A，cos A.例2(2018北京)在ABC中，a7，b8，cos B.(1)求A；(2)求AC边上的高解(1)在ABC中，因为cos B，所以sin B.由正弦定理得sin A.由题设知B，所以0A，所以A.(2)在ABC中，因为sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，所以AC边上的高为asin C7.思维升华关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口跟踪演练2(2018天津市十二校模拟)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角B的大小；(2)已知4，ABC的面积为6，求边长b的值解(1)由已知得bcos Aacos Bbsin C，由正弦定理得sin Bcos Acos Bsin Asin Bsin C，sin(AB)sin Bsin C，又在ABC中，sin(AB)sin C0，sin B，0B，B.(2)由已知及正弦定理得c4，又 SABC6，B，acsin B6，得a6，由余弦定理b2a2c22accos B，得 b2.热点三解三角形与三角函数的综合问题解三角形与三角函数的综合是近几年高考的热点，主要考查三角形的基本量，三角形的面积或判断三角形的形状例3(2018天津)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin Aacos.(1)求角B的大小；(2)设a2，c3，求b和sin(2AB)的值解(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsin Aasin B.又由bsin Aacos，得asin Bacos，即sin Bcos，所以tan B.又因为B(0，)，所以B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，得b2a2c22accos B7，故b.由bsin Aacos，可得sin A .因为a0，得sin A2sin B.根据正弦定理，得a2b.2(2017北京)在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称若sin ，cos()_.答案解析由题意知2k(kZ)，2k(kZ)，又sin ，cos()cos cos sin sin cos2sin22sin2121.3(2018全国改编)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC的面积为，则C_.答案解析Sabsin Cabcos C，sin Ccos C，即tan C1.又C(0，)，C.4(2018全国)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin Ccsin B4asin Bsin C，b2c2a28，则ABC的面积为_答案解析bsin Ccsin B4asin Bsin C，由正弦定理得sin Bsin Csin Csin B4sin Asin Bsin C.又sin Bsin C0，sin A.由余弦定理得cos A0，cos A，bc，SABCbcsin A.押题预测1在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A，sin Bcos C，并且a，则ABC的面积为_押题依据三角形的面积求法较多，而在解三角形中主要利用正弦、余弦定理求解，此题很好地体现了综合性考查的目的，也是高考的重点答案解析因为0A0，并结合sin2Ccos2C1，得sin C，cos C.于是sin Bcos C.由a及正弦定理，得c.故ABC的面积Sacsin B.2已知函数f(x)sin xcos xcos2x(0)的最小正周期为.(1)求的值；(2)在ABC中，sin B，sin A，sin C成等比数列，求此时f(A)的值域押题依据三角函数和解三角形的交汇命题是近几年高考命题的趋势，本题综合考查了三角变换、余弦定理和三角函数的值域，还用到数列、基本不等式等知识，对学生能力要求较高解(1)f(x)sin 2x(cos 2x1)sin，因为函数f(x)的最小正周期为T，所以.(2)由(1)知f(x)sin，易得f(A)sin.因为sin B，sin A，sin C成等比数列，所以sin2Asin Bsin C，所以a2bc，所以cos A(当且仅当bc时取等号)因为0A，所以0A，所以3A，所以sin1，所以10，2tan 2tan 2，当且仅当tan ，即tan ，时等号成立故选D.方法二为锐角，sin 0，cos 0，2tan 2，当且仅当，即时等号成立故选D.6(2017全国)已知，tan 2，则cos_.答案解析coscos cos sin sin (cos sin )又由，tan 2知，sin ，cos ，cos.7设ABC内切圆与外接圆的半径分别为r与R.且sin Asin Bsin C234，则cos C_；当BC1时，ABC的面积等于_答案解析sin Asin Bsin C234，abc234.令a2t，b3t，c4t，则cos C，sin C.当BC1时，AC，SABC1.8(2018绵阳诊断)如图，在ABC中，BC2，ABC，AC的垂直平分线DE与AB，AC分别交于D，E两点，且DE，则BE2_.答案解析如图，连接CD，由题设，有BDC2A，所以，故CD.又DECDsin A，所以cos A，而A(0，)，故A，因此ADE为等腰直角三角形，所以AEDE.在ABC中，ACB75，所以，故AB1，在ABE中，BE2(1)222(1).9(2017全国)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(AC)8sin2.(1)求cos B；(2)若ac6，ABC的面积为2，求b.解(1)由题设及ABC，得sin B8sin2，故sin B4(1cos B)上式两边平方，整理得17cos2B32cos B150，解得cos B1(舍去)或cos B.故cos B.(2)由cos B，得sin B，故SABCacsin Bac.又SABC2，则ac.由余弦定理及ac6，得b2a2c22accos B(ac)22ac(1cos B)3624，所以b2.10(2018西宁模拟)已知函数f(x)cossincos2.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)已知在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)1，a2，求ABC面积的最大值解(1)f(x)cossincos2sin xcos xsin2xsin 2xcos 2xsin.令2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，所以f(x)的单调递增区间为(kZ)(2)由(1)知f(A)sin1，因为A(0，)，所以2A，所以2A，所以A.在ABC中，由余弦定理得a2b2c22bccos A，又a2，则4b2c2bc2bcbcbc，即bc4，当且仅当bc2时，等号成立所以ABC面积的最大值为SABCbcsin A4.B组能力提高11已知2sin 1cos ，则tan 等于()A或0 B.或0C D.答案A解析因为2sin 1cos ，所以4sin cos 12sin2，解得sin 0或2cos sin ，即tan 0或2，又tan ，当tan 0时，tan 0；当tan 2时，tan .12在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(ab)(sin Asin B)(cb)sin C，若a，则b2c2的取值范围是()A(3,6 B(3,5) C(5,6 D5,6答案C解析(ab)(sin Asin B)(cb)sin C，由正弦定理得(ab)(ab)(cb)c，即b2c2a2bc，cos A，又A(0，)，A，BC.又ABC为锐角三角形，B.由正弦定理2，得b2sin B，c2sin C，b2c24(sin2Bsin2C)4432sin2B2sin Bcos B31cos 2Bsin 2B4242cos，又B，2B，1cos，5，0A.由正弦定理得.0tan A，2，即2.的取值范围是(2，)14如图，在ABC中，D为边BC上一点，AD6，BD3，DC2.(