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这种发展是与广泛的应用紧密交织在一起的，并且刺激和推动了许多新分支的产生，使数学分析形成了在观念和方法上都具有鲜明特点的独立的数学领域。,牛顿（Newton，I（英）16421727）和莱布尼茨（Leibniz，GW（德）1646171）在十七世纪后半叶各自独立地建立了微积分，这是变量数学发展的第二个决定性步骤 。,微积分的发展2,微积分出现于十七世纪后半叶的西欧:,微积分学深入发展，是十八世纪数学的主流:,了解无穷级数收敛的必要条件与无穷级数的基本性质。熟悉几何级数和p-级数的敛散性。掌握正项级数的比较审敛法及极限审敛法，熟练掌握正项级数的比值审敛法及根值申敛法。掌握交错级数的莱布尼茨定理，并能估计交错级数的截断误差。了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。理解函数项级数的收敛域与和函数的概念，掌握幂级数的收敛半径、收敛域的求法，了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会利用幂级数的性质求幂级数的和函数,了解函数展开为泰勒级数的充要条件。,无穷级数理论,理解无穷级数收敛、发散以及和的概念:,随着数学研究范围的扩大，研究问题的深入，函数概念经历了由不全面到全面，不严密到严密的发展过程。 在17世纪，数学已经出现了三角函数，对数函数、指数函数、代数函数，超越函数等概念。当时还没有充分认识到函数概念。因此，17世纪引进的绝大部分函数是当作曲线来研究的。,函数概念的深化,微积分是以变量和函数作为研究对象的:,牛顿在老师巴罗的指导下，在钻研笛卡尔的解析几何的基础上，找到了新的出路。可以把任意时刻的速度看是在微小的时间范围里的速度的平均值，这就是一个微小的路程和时间间隔的比值，当这个微小的时间间隔缩小到无穷小的时候，就是这一点的准确值。,牛顿 (Isaac Newton, 16421727年) . 牛顿是英国伟大的物理学家、数学家、天文学家。 牛顿一生中的几个重要贡献：万有引力定律、经典力学、微积分和光学。,牛顿（1642-1727）,微积分的概念,微分的概念:,求微分相当于求时间和路程关系得在某点的切线斜率。一个变速的运动物体在一定时间范围里走过的路程，可以看作是在微小时间间隔里所走路程的和，这就是积分的概念。求积分相当于求时间和速度关系的曲线下面的面积。牛顿从这些基本概念出发，建立了微积分。,微积分的求法,欧拉于1748年出版了无穷小分析引论，这部巨著与他随后发表的微分学、积分学标志着微积分历史上的一个转折：以往的数学家们都以曲线作为微积分的主要研究对象，而欧拉则第一次把函数放到了中心的地位，并且是建立在函数的微分的基础之上。函数概念本身正是由于欧拉等人的研究而大大丰富了。,欧拉（1707-1783）,微积分的代表作,函数就是在某变化过程中有两个变量X和Y，变量Y随着变量X一起变化，而且依赖于X。如果变量X取某个特定的值，Y依确定的关系取相应的值，那么称Y是X的函数。这一要领是由法国数学家黎曼在19世纪提出来的，但是最早产生于德国的数学家菜布尼茨。,莱布尼茨 （1646-1716）,函数产生的背景,1755年，欧拉(LEuler，瑞士，17071783) 把函数定义为：“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数.”并给出了沿用至今的函数符号 .,函数的发展,欧拉角,直到18世纪，法国数学家达朗贝尔在进行研究中，给函数重新下了一个定义，他认为，所谓变量的函数，就是指由这些变量和常量所组成的解析表达式，即用解析式表达函数关系。后来瑞士的数学家欧拉又把函数的定义作了进一步的规范，他认为函数是能描画出的一条曲线。我们常见到的一次函数的图像、二次函数的图像、