通用版2019版高考数学一轮复习第八章立体几何学案理.doc

第八章 立体几何第一节 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积本节主要包括3个知识点：1.空间几何体的三视图和直观图；2.空间几何体的表面积与体积；3.与球有关的切、接应用问题.突破点(一)空间几何体的三视图和直观图 1空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征多面体结构特征棱柱有两个面平行，其余各面都是四边形且每相邻两个面的交线都平行且相等棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形棱台棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做棱台(2)旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形一条直角边所在的直线圆台直角梯形或等腰梯形直角腰所在的直线或等腰梯形上下底中点的连线球半圆或圆直径所在的直线2.空间几何体的三视图(1)三视图的名称几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图(2)三视图的画法在画三视图时，能看见的轮廓线和棱用实线表示，重叠的线只画一条，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体的正投影图3空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴，y轴的夹角为45或135，z轴与x轴和y轴所在平面垂直(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半1判断题(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱()(2)棱台各侧棱的延长线交于一点()(3)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同()(4)用斜二测画法画水平放置的A时，若A的两边分别平行于x轴和y轴，且A90，则在直观图中，A45.()答案：(1)(2)(3)(4)2填空题(1)如图所示的几何体中，是棱柱的为_(填写所有正确的序号)解析：根据棱柱的定义，结合给出的几何体可知满足条件答案：(2)有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的形状为_解析：从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样，可以判断是棱台答案：棱台(3)已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体从上往下依次由_构成解析：由三视图可知，该几何体是由一个圆台和一个圆柱组成的组合体答案：圆台，圆柱(4)利用斜二测画法得到的：三角形的直观图一定是三角形；正方形的直观图一定是菱形；等腰梯形的直观图可以是平行四边形；菱形的直观图一定是菱形以上结论正确的个数是_解析：由斜二测画法的规则可知正确；错误，是一般的平行四边形；错误，等腰梯形的直观图不可能是平行四边形；而菱形的直观图也不一定是菱形，也错误答案：1空间几何体的结构特征例1给出下列命题：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等其中正确命题的个数是()A0B1 C2D3解析错误，只有这两点的连线平行于旋转轴时才是母线；错误，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图(1)所示；错误，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图(2)所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等答案A方法技巧解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧(1)把握几何体的结构特征，要多观察实物，提高空间想象能力；(2)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，如例1中的命题易判断失误；(3)通过反例对结构特征进行辨析空间几何体的三视图1.画三视图的规则长对正、高平齐、宽相等，即俯视图与正视图一样长；正视图与侧视图一样高；侧视图与俯视图一样宽2三视图的排列顺序先画正视图，俯视图放在正视图的下方，侧视图放在正视图的右方例2(1)(2018河北衡水中学调研)正方体ABCD A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点(如图)，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为()(2)(2017北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为()A3B2C2D2解析(1)过点A，E，C1的截面为AEC1F，如图，则剩余几何体的侧视图为选项C中的图形故选C.(2)在正方体中还原该四棱锥如图所示，从图中易得最长的棱为AC12.答案(1)C(2)B方法技巧有关三视图问题的解题方法(1)由几何体的直观图画三视图需注意的事项注意正视图、侧视图和俯视图对应的观察方向；注意能看到的线用实线画，被挡住的线用虚线画；画出的三视图要符合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征(2)由几何体的部分视图画出剩余视图的方法先根据已知的部分视图推测直观图的可能形式，然后推测其剩余视图的可能情形，若为选择题，也可以逐项检验(3)由几何体三视图还原其直观图时应注意的问题要熟悉柱、锥、球、台的三视图，结合空间想象将三视图还原为直观图空间几何体的直观图直观图与原图形面积的关系按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：(1)S直观图S原图形(2)S原图形2S直观图例3用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()解析由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为2.答案A1.如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中，假命题是()A等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上解析：选B因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等，所以它的顶点在底面的射影到底面的四个顶点的距离相等，故A，C是真命题；且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等，故D是真命题；B是假命题，如底面是一个等腰梯形时结论就不成立2.用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是()解析：选B俯视图中显然应有一个被遮挡的圆，所以内圆是虚线，故选B.3.已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边长为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为()解析：选C空间几何体的正视图和侧视图“高平齐”，故正视图的高一定为2，正视图和俯视图“长对正”，故正视图的底边长为2.侧视图中的直角说明这个三棱锥最前面的面垂直于底面，这个面遮住了后面的一条侧棱综合以上可知，这个三棱锥的正视图可能是C.4.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴已知四边形ABCD的面积为2 cm2，则原平面图形的面积为()A4 cm2B4 cm2 C8 cm2D8 cm2解析：选C依题意可知BAD45，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与BC，AD相等，高为梯形ABCD的高的2倍，所以原平面图形的面积为8 cm2.5.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为()A1B2 C3D4解析：选D由题意知，三棱锥放置在长方体中如图所示，利用长方体模型可知，此三棱锥的四个面全部是直角三角形故选D.突破点(二)空间几何体的表面积与体积 1圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(rr)l圆柱、圆锥、圆台侧面积间的关系：S圆柱侧2rlS圆台侧(rr)lS圆锥侧rl.2空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VSh锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底VSh台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V(S上S下)h球S4R2VR31判断题(1)锥体的体积等于底面面积与高之积()(2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差()(3)球的体积之比等于半径比的平方()答案：(1)(2)(3)2填空题(1)已知圆柱的底面半径为a，高为a，则此圆柱的侧面积等于_解析：底面周长l2a，则S侧lh2aa2.答案：a2(2)已知某棱台的上、下底面面积分别为6和24，高为2，则其体积为_解析：V(624)228.答案：28(3)已知圆锥的母线长是8，底面周长为6，则它的体积是_解析：设圆锥底面圆的半径为r，则2r6，r3.设圆锥的高为h，则h，V圆锥r2h3.答案：3(4)正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A B1DC1的体积为_解析：在正三棱柱ABC A1B1C1中，ADBC，ADBB1，BB1BCB，AD平面B1DC1.VA B1DC1SB1DC1AD21.答案：1(5)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_解析：由三视图可知该几何体是一个底面为等腰梯形的平放的直四棱柱，所以该直四棱柱的表面积为S2(24)4442424488.答案：488空间几何体的表面积例1(1)(2018福州市五校联考)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一个直角三角形，一个锐角为30，则该几何体的表面积为()A2412 B245C1215 D1212(2)(2018南昌市十校联考)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是()A(253)B(253)C(293)D(293)解析(1)由已知可得，该几何体为三棱柱，底面是斜边长为4，斜边上的高为的直角三角形，底面面积为2，底面周长为62，棱柱的高为4，故棱柱的表面积S224(62)2412，故选A.(2)由三视图可知该几何体由一个上下底面直径分别为2和4，高为4的圆台，一个底面直径为4，高为4的圆柱和一个直径为4的半球组成，其直观图如图所示，所以该几何体的表面积为(12)443168(253)，故选B.答案(1)A(2)B方法技巧求空间几何体表面积的常见类型及思路求多面体的表面积只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积求旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系求不规则几何体的表面积通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积空间几何体的体积柱体、锥体、台体体积间的关系例2(1)(2017北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A60B30 C20D10(2)(2018洛阳市第一次统考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A.B8 C.D9解析(1)如图，把三棱锥ABCD放到长方体中，长方体的长、宽、高分别为5,3,4，BCD为直角三角形，直角边分别为5和3，三棱锥ABCD的高为4，故该三棱锥的体积V53410.(2)依题意，题中的几何体是由两个完全相同的圆柱各自用一个不平行于其轴的平面去截后所得的部分拼接而成的组合体(各自截后所得的部分也完全相同)，其中一个截后所得的部分的底面半径为1，最短母线长为3、最长母线长为5，将这两个截后所得的部分拼接，恰好可以形成一个底面半径为1，母线长为538的圆柱，因此题中的几何体的体积为1288，选B.答案(1)D(2)B方法技巧求空间几何体体积的常见类型及思路规则几何体若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法不规则几何体若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解三视图形式若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解1.(2018石家庄市教学质量检测)某几何体的三视图如图所示(在网格线中，每个小正方形的边长为1)，则该几何体的体积为()A2B3 C4D6解析：选A由三视图知，该几何体为四棱锥如图所示，其底面面积S(12)23，高为2，所以该几何体的体积V322，故选A.2.(2018长沙市统一模拟考试)如图是某几何体的三视图，其正视图、侧视图均是直径为2的半圆，俯视图是直径为2的圆，则该几何体的表面积为()A3B4 C5D12解析：选A由三视图可知，该几何体是半径为1的半球，其表面积为23.选A.3.(2017浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A.1B.3C.1D.3解析：选A由几何体的三视图可得，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长为的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，故该几何体的体积V12331.4.(2018南昌市模拟)如图，直角梯形ABCD中，ADDC，ADBC，BC2CD2AD2，若将该直角梯形绕BC边旋转一周，则所得的几何体的表面积为_解析：根据题意可知，此旋转体的上半部分为圆锥(底面半径为1，高为1)，下半部分为圆柱(底面半径为1，高为1)，如图所示则所得几何体的表面积为圆锥的侧面积、圆柱的侧面积以及圆柱的下底面积之和，即表面积为121212(3).答案：(3)5考点二中国古代数学名著九章算术中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)：若取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x的值为_解析：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，由题意得(5.4x)312x12.6，解得x1.6.答案：1.6突破点(三)与球有关的切、接应用问题 与球有关的组合体问题常涉及内切和外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图.如球内切于正方体时，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体时，正方体的各个顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.球与其他旋转体组合时，通常作它们的轴截面解题；球与多面体组合时，通常过多面体的一条侧棱和球心及“切点”或“接点”作截面图进行解题.多面体的内切球问题例1(1)(2017江苏高考)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是_(2)若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则_.解析(1)设球O的半径为R，因为球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底面半径为R、高为2R，所以.(2)设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S14a2a2，其内切球半径为正四面体高的，即raa，因此内切球表面积为S24r2，则.答案(1)(2)方法技巧处理与球有关内切问题的策略解答此类问题时首先要找准切点，通过作截面来解决如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作多面体的外接球问题把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径例2(1)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A.B16 C9D.(2)(2017天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_(3)(2018河北衡水调研)一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，则它的外接球的表面积为_解析(1)如图所示，设球半径为R，底面中心为O且球心为O，正四棱锥PABCD中AB2，AO.PO4，在RtAOO中，AO2AO2OO2，R2()2(4R)2，解得R，该球的表面积为4R242.(2)由正方体的表面积为18，得正方体的棱长为.设该正方体外接球的半径为R，则2R3，R，所以这个球的体积为R3.(3)由直六棱柱的外接球的直径为直六棱柱中最长的对角线，知该直六棱柱的外接球的直径为5，其外接球的表面积为4225.答案(1)A(2)(3)25 方法技巧与球有关外接问题的解题规律(1)直棱柱外接球的球心到直棱柱底面的距离恰为棱柱高的.(2)正方体外接球的直径为正方体的体对角线的长此结论也适合长方体，或由同一顶点出发的两两互相垂直的三条棱构成的三棱柱或三棱锥(3)求多面体外接球半径的关键是找到由球的半径构成的三角形，解三角形即可1.如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为()A200B150 C100D50解析：选D由三视图知，该几何体可以由一个长方体截去4个角后得到，此长方体的长、宽、高分别为5,4,3，所以外接球半径R满足2R5，所以外接球的表面积为S4R24250，故选D.2考点一一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于()A1B2 C3D4解析：选B该几何体为直三棱柱，底面是边长分别为6,8,10的直角三角形，侧棱长为12，故能得到的最大球的半径等于底面直角三角形内切圆的半径，其半径为r2，故选B.3.(2018东北三省模拟)三棱柱ABC A1B1C1的底面是边长为的正三角形，侧棱AA1底面ABC，若球O与三棱柱ABC A1B1C1各侧面、底面均相切，则侧棱AA1的长为()A.B. C1D.解析：选C因为球O与直三棱柱的侧面、底面均相切，所以侧棱AA1的长等于球的直径设球的半径为R，则球心在底面上的射影是底面正三角形ABC的中心，如图所示因为AC，所以ADAC.因为tan ，所以球的半径RMDADtan1，所以AA12R21.4.三棱锥P ABC中，PA平面ABC，ACBC，ACBC1，PA，则该三棱锥外接球的表面积为()A5B. C20D4解析：选A把三棱锥P ABC看作由一个长、宽、高分别为1、1、的长方体截得的一部分(如图)易知该三棱锥的外接球就是对应长方体的外接球又长方体的体对角线长为，故外接球半径为，表面积为425.5.(2018洛阳统考)已知三棱锥PABC的四个顶点均在某球面上，PC为该球的直径，ABC是边长为4的等边三角形，三棱锥PABC的体积为，则此三棱锥的外接球的表面积为()A.B. C.D.解析：选D依题意，记三棱锥PABC的外接球的球心为O，半径为R，点P到平面ABC的距离为h，则由VPABCSABChh得h.又PC为球O的直径，因此球心O到平面ABC的距离等于h.又正ABC的外接圆半径为r，因此R2r22，所以三棱锥PABC的外接球的表面积为4R2，故选D.全国卷5年真题集中演练明规律 1.(2017全国卷)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()A10B12C14D16解析：选B由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，易知该多面体有2个面是梯形，这些梯形的面积之和为212，故选B.2(2017全国卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()AB. C.D.解析：选B设圆柱的底面半径为r，则r2122，所以圆柱的体积V1.3(2016全国卷)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是()A4B. C6D.解析：选B设球的半径为R，ABC的内切圆半径为2，R2.又2R3，R，Vmax3.故选B.4(2016全国卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A20B24 C28D32解析：选C由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h.由图得r2，c2r4，h4，由勾股定理得：l4，S表r2chcl416828.5(2015全国卷)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.B. C.D.解析：选D由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V1111，剩余部分的体积V213.所以，故选D.6(2017全国卷)长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为_解析：由题意知，长方体的体对角线长为，记长方体的外接球的半径为R，则有2R，R，因此球O的表面积为S4R214.答案：14 课时达标检测 小题对点练点点落实对点练(一)空间几何体的三视图和直观图1给出下列四个命题：各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；长方体一定是正四棱柱其中正确的命题个数是()A0B1 C2D3解析：选A直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正棱柱；底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；显然错误，故选A.2(2018广州六校联考)已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，给出下列5个图形：其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数为()A5B4 C3D2解析：选B由题知可以作为该几何体的俯视图的图形可以为.故选B.3在如图所示的空间直角坐标系O xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)给出编号为的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()A和B和C和D和解析：选D由题意得，该几何体的正视图是一个直角三角形，三个顶点的坐标分别是(0,0,2)，(0,2,0)，(0,2,2)，且内有一条虚线(一顶点与另一直角边中点的连线)，故正视图是；俯视图即在底面的射影，是一个斜三角形，三个顶点的坐标分别是(0,0,0)，(2,2,0)，(1,2,0)，故俯视图是.4.如图，OAB是OAB的水平放置的直观图，其中OAOB2，则OAB的面积是_解析：在RtOAB中，OA2，OB4，OAB的面积S244.答案：45一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则这个圆台的母线长为_cm.解析：如图，过点A作ACOB，交OB于点C.在RtABC中，AC12 cm，BC835(cm)AB13(cm)答案：13对点练(二)空间几何体的表面积与体积1已知圆锥的表面积为a，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是()A.B.C.D.解析：选C设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意知2rl，l2r，则圆锥的表面积S表r2(2r)2a，r2，2r.2(2017全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A90B63 C42D36解析：选B由题意知，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，故其体积V321032663.3(2018湖北四校联考)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A16B(10)C4(5)D6(5)解析：选C该几何体是两个相同的半圆锥与一个半圆柱的组合体，其表面积为S444(5).4(2017山东高考)由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为_解析：该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成，V21121212.答案：25我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸若盆中积水深九寸，则平地降雨量是_寸(注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸)解析：由题意知，圆台中截面圆的半径为十寸，圆台内水的体积为Vh(rrr中r下)9(10262106)588(立方寸)，降雨量为3(寸)答案：36(2018合肥市质检)高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的_解析：由侧视图、俯视图知该几何体是高为2、底面积为 2(24)6的四棱锥，其体积为624.而直三棱柱的体积为2248，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的.答案：对点练(三)与球有关的切、接应用问题1在三棱锥A BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，ABC，ACD，ADB的面积分别为，则该三棱锥外接球的表面积为()A2B6 C4D24解析：选B设相互垂直的三条侧棱AB，AC，AD分别为a，b，c则ab，bc，ac，解得a，b1，c.所以三棱锥A BCD的外接球的直径2R，则其外接球的表面积S4R26.2已知正四面体的棱长为，则其外接球的表面积为()A8B12 C.D3解析：选D如图所示，过顶点A作AO底面BCD，垂足为O，则O为正三角形BCD的中心，连接DO并延长交BC于点E，又正四面体的棱长为，所以DE，ODDE，所以在直角三角形AOD中，AO.设正四面体外接球的球心为P，半径为R，连接PD，则在直角三角形POD中，PD2PO2OD2，即R222，解得R，所以外接球的表面积S4R23.3(2018湖北七市(州)联考)一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积为()A36B. C32D28解析：选B根据三视图，可知该几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为4的正方形，高是2.将该四棱锥补形成一个三棱柱，如图所示，则其底面是边长为4的正三角形，高是4，该三棱柱的外接球即为原四棱锥的外接球，其中心到三棱柱 6个顶点的距离即为该四棱锥外接球的半径三棱柱的底面是边长为4的正三角形，底面三角形的中心到该三角形三个顶点的距离为2，外接球的半径R ，外接球的表面积S4R24，故选B.4.(2018陕西西工大附中训练)如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为m的正方形，PD底面ABCD，且PDm，PAPCm，若在这个四棱锥内放一个球，则此球的最大半径是_解析：由PD底面ABCD，得PDAD.又PDm，PAm，则ADm.设内切球的球心为O，半径为R，连接OA，OB，OC，OD，OP(图略)，易知VP ABCDVO ABCDVO PADVO PABVO PBCVO PCD，即m2mm2Rm2Rm2Rm2Rm2R，解得R(2)m，所以此球的最大半径是(2)m.答案：(2)m大题综合练迁移贯通1有一根长为3 cm，底面半径为1 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少？解：把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD(如图)，由题意知BC3 cm，AB4 cm，点A与点C分别是铁丝的起、止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度AC5(cm)故铁丝的最短长度为5 cm.2.一个几何体的三视图如图所示已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为、宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的表面积S.解：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为.所以V11.(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D平面ABCD，CD平面BCC1B1，所以AA12，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形S2(11112)62.3一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为，求这个三棱锥的体积解：正三棱锥S ABC如图所示，设H为正三角形ABC的中心，连接SH，则SH的长即为该正三棱锥的高连接AH并延长交BC于点E，则E为BC的中点，且AEBC.ABC是边长为6的正三角形，AE63，AHAE2.在ABC中，S ABCBCAE639.在RtSHA中，SA，AH2，SH，V正三棱锥SABCSH99. 第二节 空间点、直线、平面之间的位置关系本节主要包括2个知识点：1.平面的基本性质；2.空间两直线的位置关系.突破点(一)平面的基本性质 1公理13文字语言图形语言符号语言公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 l公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线有且只有一个平面，使A，B，C公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P，且Pl，且Pl公理1是判断一条直线是否在某个平面内的依据，公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据，公理3是证明三线共点或三点共线的依据2公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面1判断题(1)如果两个不重合的平面，有一条公共直线a，就说平面，相交，并记作a.()(2)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线()(3)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于A点，并记作A.()(4)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.()答案：(1)(2)(3)(4)2填空题(1)空间不共线的四点，可以确定平面的个数是_答案：1或4(2)下列命题中，真命题是_空间不同三点确定一个平面；空间两两相交的三条直线确定一个平面；两组对边相等的四边形是平行四边形；和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内解析：是假命题，当三点共线时，过三点有无数个平面；是假命题，当三条直线共点时，不能确定一个平面；是假命题，两组对边相等的四边形可能是空间四边形；是真命题答案：(3)设P表示一个点，a，b表示两条直线，表示两个平面，给出下列四个命题，其中真命题是_(填序号)Pa，Pa；abP，ba；ab，a，Pb，Pb；b，P，PPb.答案：平面的基本性质及其应用典例已知空间四边形ABCD(如图所示)，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且CGBC，CHDC.求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)三直线FH，EG，AC共点证明(1)连接EF，GH，E，F分别是AB，AD的中点，EFBD.又CGBC，CHDC，GHBD，EFGH，E，F，G，H四点共面(2)易知FH与直线AC不平行，但共面，设FHACM，M平面EFHG，M平面ABC.又平面EFHG平面ABCEG，MEG，FH，EG，AC共点方法技巧1证明点共线问题的常用方法公理法先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在交线上同一法选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上2.证明线共点问题的方法证明若干线共点的基本思路是先找出两条直线的交点，再证明其他直线都经过该点而证明直线过该点的方法是证明点是以该直线为交线的两个平面的公共点3证明点、直线共面问题的常用方法纳入平面法先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内辅助平面法先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面，重合1在正方体ABCD A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么正方体的过P，Q，R的截面图形是()A三角形B四边形C五边形D六边形解析：选D画出正方体，结合共面的公理与推论求得选D.2如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是()解析：选DA、B、C图中四点一定共面，D中四点不共面3若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值()A至多等于3B至多等于4C等于5D大于5解析：选Bn2时，可以；n3时，为正三角形，可以；n4时，为正四面体，可以；n5时，为四棱锥，侧面为正三角形，底面为菱形且对角线长与边长相等，这种情况不可能出现，所以正整数n的取值至多等于4.4以下四个命题中，正确命题的个数是()不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；依次首尾相接的四条线段必共面A0B1 C2D3解析：选B显然是正确的，可用反证法证明；中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面；构造长方体或正方体，如图显然b，c异面，故不正确；中空间四边形中四条线段不共面故只有正确5.如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点求证：E，C，D1，F四点共面证明：如图所示，连接CD1，EF，A1B，因为E，F分别是AB和AA1的中点，所以EFA1B且EFA1B，又因为A1D1綊BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1BCD1，所以EFCD1，所以EF与CD1确定一个平面，所以E，F，C，D1，即E，C，D1，F四点共面突破点(二)空间两直线的位置关系 1空间中两直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系(2)公理4和等角定理公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补2异面直线所成的角(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)(2)范围：.1判断题(1)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b不可能是平行直线()(2)没有公共点的两条直线是异面直线()(3)经过平面内一点的直线(不在平面内)与平面内不经过该点的直线是异面直线()(4)若两条直线共面，则这两条直线一定相交()答案：(1)(2)(3)(4)2填空题(1)若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的_条件解析：若两直线为异面直线，则两直线无公共点，反之不一定成立答案：充分不必要(2)(2018江西七校联考)已知直线a和平面，l，a，a，且a在，内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是_解析：依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面答案：相交、平行或异面(3)空间两个角、，且与的两边对应平行，且60，则为_解析：与两边对应平行，但方向不一定与相等或互补答案：60或120(4)如图所示，已知在长方体ABCD EFGH中，AB2，AD2，AE2，则BC和EG所成角的大小是_，AE和BG所成角的大小是_解析：BC与EG所成的角等于EG与FG所成的角即EGF，tanEGF1，EGF45.AE与BG所成的角等于BF与BG所成的角即GBF，tanGBF，GBF60.答案：4560空间两直线位置关系的判定例1(1)下列结论正确的是()在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；平行于同一条直线的两条直线平行；一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；空间四条直线a，b，c，d，如果ab，cd，且ad，那么bc.AB CD(2)在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(填上所