2018_2019学年高中数学第7章解析几何初步7.2.1直线的一般方程学案湘教版.docx

72.1直线的一般方程学习目标1了解直线的方程与方程的直线的概念和关系2了解平面直角坐标系中任意一条直线都可以用关于x，y的二元一次方程来表示3理解直线的一般式方程的特点，掌握求直线一般方程的方法预习导引1方程的图象一般地，对任意一个二元方程f(x，y)0，以这个方程的某一组解(x，y)为坐标，有唯一一个点与之对应，所有这些点组成的集合称为这个方程的图象2定理1任意一个二元一次方程AxByC0(A，B不全为0)的图象是与n(A，B)垂直的一条直线3直线的一般式方程(1)方程：AxByC0；(2)法向量：如果非零向量n与直线l垂直，就称n是l的法向量4与v(a，b)垂直的向量n(b，a)或n(b，a)5直线方程的两点式方程(y2y1)(xx1)(x2x1)(yy1)0要点一直线方程的概念例1已知方程2x3y60.(1)画出这个方程所对应的直线l；(2)点(，1)是否在直线l上；(3)求直线的法向量；(4)方程2x3y60(xZ)是不是直线l的方程？直线l是不是该方程的直线？解(1)在方程中令x0或y0，得A(0，2)，B(3，0)，直线AB即为所求的直线l，图象如图所示(2)当x，y1时，方程的左边231612，右边0，左边右边点(，1)不在直线l上(3)A2，B3，直线的法向量为n(2，3)(4)虽然以方程2x3y60(xZ)的解为坐标的点都在l上，但是l上点的坐标不都是该方程的解，比如点C(，1)l，但，不是该方程的解，所以方程2x3y60(xZ)不是直线l的方程，直线l也不是方程2x3y60(xZ)的直线规律方法根据直线方程的概念解答或举反例说明跟踪演练1如图所示，方程yax0的直线可能是()答案B要点二利用直线的法向量求直线方程例2已知三角形的三个顶点A(1，1)，B(3，1)，C(1，2)(1)求高AD所在的直线方程；(2)求BC的垂直平分线l所在的直线方程；(3)求B的平分线BE所在直线方程解(1)BCAD，因此是直线AD的法向量(2，1)，故直线AD的方程具有形式： 2xyC0.将A(1，1)代入，得C1，因此直线AD的方程为2xy10.(2)BC的垂直平分线l过BC的中点M，M的坐标为(，)(2，)lBC，(2，1)是l的法向量故l具有的形式为2xyC0.将M(2，)代入，得C.故BC的垂直平分线l的方程为2xy0，即4x2y50.(3)(13，11)(4，2)，(13，21)(2，1)，|2，|.|.于是可在，方向上取长度相等的向量和.则的方向就是角平分线的方向，(4，2)(2，1)(4，0)由(4，0)(0，1)0知n(0，1)垂直，即为BE的法向量故直线BE的方程具有的形式为0xyC0，将点B(3，1)代入，得C1，B的平分线BE所在直线方程为y10.规律方法通过该题可以总结出解决以下几个问题的算法：(1)已知直线AD的法向量n和直线上一点A的坐标，求直线AD的方程；(2)已知与直线BE平行的向量v及B点坐标，求BE的方程；以上两个问题在求直线方程时都充分利用了直线的法向量跟踪演练2已知ABC的三个顶点A(3，4)，B(6，0)，C(5，2)，求：(1)边AC的垂直平分线的方程；(2)高CD所在的直线方程解(1)AC的垂直平分线l过AC的中点M，M的坐标为(，)(1，1)lAC，是直线l的法向量，(8，6)，直线l方程具有的形式为8x6yC0.将M(1，1)代入，得8(1)6(1)C0，C2.故AC的垂直平分线方程为：4x3y10.(2)高CDAB，是CD的法向量又(3，4)，CD所在直线的方程形式为3x4yC0，将C(5，2)代入，得3(5)42C0，C7，CD所在直线方程为3x4y70.要点三已知两点求直线方程例3已知ABC三个顶点坐标A(2，1)，B(2，2)，C(4，1)，求三角形三条边所在的直线方程解A(2，1)，B(2，2)，A，B两点横坐标相同，直线AB与x轴垂直，故其方程为x2.A(2，1)，C(4，1)，由直线方程的两点式可得AC的方程为(24)(y1)(11)(x4)0，即xy30.同理可由直线方程的两点式得直线BC的方程式为(12)(x2)(42)(y2)0即x2y60.三边AB，AC，BC所在的直线方程分别为x2，xy30，x2y60.规律方法当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程跟踪演练3已知三角形的三个顶点A(2，2)，B(3，2)，C(3，0)，求这个三角形的三边所在直线的方程解由两点式方程可得AB所在直线为(22)(x2)(32)(y2)0，y2.AC所在直线方程为(02)(x2)(32)(y2)0，即2x5y60，BC所在直线方程为(02)(x3)(33)(y2)0，x3.1二元一次方程xy10的图象为()答案A解析易知直线过(0，1)和(1，0)点，故选A.2直线x2y10的一个法向量为()A(1，2) B(1，2)C(1，2) D(1，2)答案A3法向量是n(2，3)，并且过(0，1)的直线方程为()Axy10 B2x3y30C2x3y0 Dxy10答案B解析法向量是n(2，3)的直线方程具有形式2x3yC0，将点(0，1)代入得3C0，C3，故直线的方程为2x3y30.4过点(1，2)且与过B(1，3)，C(3，0)两点的直线垂直的直线方程为_答案4x3y20解析的坐标为(31，0(3)(4，3)，故所求直线的法向量为，其形式为4x3yC0，将(1，2)代入得46C0，C2，所以所求直线方程为4x3y20.5直线(m2)x(2m)y2m与x轴的交点坐标为(3，0)，则m_.答案6解析直线(m2)x(2m)y2m与x轴的交点坐标为(3，0)，即x3时，y0，3(m2)(2m)02m.m6.1直线l的法向量不止一个，我们常用的是以x，y的系数为坐标的向量n(A，B)2二元一次方程AxByC0的图象就是过(，0)且与向量n(A，B)垂直的直线，确定此直线时，可以利用特殊点在直角坐标系内直接画出图象3若已知法向量和定点求直线方程时可有两种方法，一是利用向量的内积；二是将已知点的坐标代入AxByC0求常数项一、基础达标1直线2x3y10过()A第一、二、三象限 B第二、三、四象限C第一、三、四象限 D第一、二、四象限答案C解析直线2x3y10的图象，如图，故直线过一、三、四象限2直线3xay40的法向量为(3，2)，则a的值为()A2 B2 C3 D3答案B解析直线3xay40的法向量为n(3，a)，故a2.3过两点(2，5)，(2，5)的直线的方程为()Ax Bx2Cxy2 Dy0答案B解析两点的横坐标相同， 直线与x轴垂直，x2.4过点(1，0)且与直线x2y20平行的直线方程是()Ax2y10 Bx2y10C2xy20 Dx2y10答案A解析与直线x2y20平行的直线方程可设为x2yC0(C2)，将点(1，0)代入x2yC0，解得C1，故直线方程为x2y10.5直线的法向量n(2，3)，并且过点(3，4)，则直线的方程为_答案2x3y180解析设直线方程为2x3ym0，直线过点(3，4)，m2x3y233(4)18，直线方程为2x3y180.6经过两点(5，0)，(0，5)的直线方程是_答案xy50解析由两点式方程，得(50)(x5)(05)(y0)0，即xy50.7已知直线l的方程为3x4y120，求直线l的方程，l满足(1)过点(1，3)，且与l平行；(2)过点(1，3)，且与l垂直解(1)法一直线l与3x4y120平行，故直线l的法向量为n(3，4)设P(x，y)为直线l上的任意一点(3，4)(x1，y3)0，3x34y120，即3x4y90.法二设直线l的方程为3x4ym0，直线过(1，3)，3(1)34m0，m9.直线l的方程为3x4y90.(2)法一直线l与3x4y120垂直，直线l的法向量n(4，3)设P(x，y)为直线l上的任意一点，(4，3)(x1，y3)0，即4x43y90，即4x3y130.法二设直线l的方程为4x3ym0，又直线过(1，3)，则4(1)33m0，m13，直线l的方程为4x3y130.二、能力提升8已知A(1，2)，B(3，2)，则过A点且与AB垂直的直线l的方程为()Axy30 Bxy30Cxy30 Dxy30答案A解析lAB，是直线l的法向量，且(4，4)直线l方程的形式为4x4yC0.代入A点坐标得414(2)C0，C12.直线l的方程为4x4y120，即xy30.9已知过点A(5，m2)和B(2m，3)的直线与直线x3y10平行，则m的值为_答案4解析直线x3y10的法向量n(1，3)，n0，(1，3)(2m5，5m)0，2m5153m0，m4.10直线l过点(1，1)，(2，5)，点(1 005.5，b)在l上，则b的值为_答案2 012解析直线l的方程为(51)(x1)(21)(y1)0，即2xy10.当x1 005.5时，b21 005.512 012.11ABC的三个顶点分别为A(0，4)，B(2，6)，C(8，0)(1)求边AC所在直线方程；(2)求AC边上的中线BD所在直线方程；(3)求边AC的中垂线所在直线方程解(1)AC所在直线方程为：(04)(x0)(80)(y4)0，即：x2y80.(2)AC的中点D的坐标为(，)(4，2)，直线BD的方程为(26)(x2)(42)(y6)0，即：2xy100.(3)AC的中点为(4，2)，是中垂线的法向量，(8，4)，中垂线所在直线的方程形式为8x4yC0.代入中点(4，2)，得8(4)42C0，C24.中垂线所在直线的方程为2xy60.三、探究与创新12已知A(3，2)，B(5，4)，C(0，2)，在ABC中，(1)求BC边的方程；(2)求BC边上的中线所在直线的方程解(1)BC边过两点B(5，4)，C(0，2)，由两点式得，即2x5y100.故BC边的方程为2x5y100(0x5)(2)设BC的中点为M(x0，y0)，则x0，y03.M，又BC边上的中线经