专题9高考解题中的数学思想.ppt

HUN-理科,数学,数学,数学,数学,对点集训,数学思想方法是对数学知识最高层次的提炼与概括,数学思想 方法较之数学知识具有更高的层次,具有理性的地位,它是一种数学 意识,属于思维和能力的范畴,它是数学知识的精髓,是知识转化为能 力的桥梁.,纵观近几年的高考试题,都加大了对数学思想方法的考查,把数学思,想方法的考查寓于各部分知识的考查之中,以知识为载体,着重考查 能力与方法题目很常见.预测2013年高考中,还会有较多的题目以数 学知识为背景,考查数学思想方法,对数学思想方法的考查不会削弱, 会更加鲜明,更加重视.,对点集训,【函数与方程的思想】,函数思想,就是运用运动和变化的观点,集合与对应的思想,去分析和 研究数学问题中的等量关系,建立或构造函数关系,再运用函数的图 象和性质去分析问题,达到转化问题的目的,从而使问题获得解决的 思想.方程思想,就是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中 的条件转化为数学模型方程或方程组,通过解方程或方程组,或,者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决的思想.,对点集训,运用函数思想解决问题主要从下面四个方面着手:一是根据方程与 函数的密切关系,可将二元方程转化为函数来解决;二是根据不等式 与函数的密切关系,常将不等式问题转化为函数问题,利用函数的图 象和性质进行处理;三是在解决实际问题时,常涉及最值问题,通常是 通过建立目标函数,利用求函数最值的方法加以解决;四是中学数学 中的某些数学模型(如数列的通项或前n项和)可转化为函数问题,利 用函数相关知识或借助处理函数问题的方法进行解决.,运用方程思想解决问题主要从以下四个方面着手:一是把问题中对 应的已知量与未知量建立相等关系,统一在方程中,通过解方程解决;,对点集训,(2012年上海)在平行四边形ABCD中,A= ,边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点,且满足 = ,则 的取值范围是 .,二是从分析问题的结构入手,找出主要矛盾,抓住某一个关键变量,将 等式看成关于这个主变元(常称为主元)的方程,利用方程的特征解 决;三是根据几个变量间的关系,符合某些方程的性质和特征(如利 用根与系数的关系构造方程等),通过研究方程所具有的性质和特征 解决;四是中学数学中常见的数学模型(如函数、曲线等),经常转化 为方程问题去解决.,热点一:构造函数性质解题,在解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等 问题时,常通过构造函数,借助有关初等函数的性质求解.,对点集训,【解析】(法一)如图,由已知AB=2,AD=1,A= 可得ADBD,又因 为 = 可得|CN|=2|BM|,若设|BM|=x(0x1),则|CN|=2x, =(1- x) , =x , =1,可知 =( + )( + )=( +x ) +(1-x) =1+x(1-x)+4(1-x)+x=-x2-2x+5=-(x+1)2+6,在0x1时,为 减函数,所以2 5,答案为2,5.,(法二)由法一,可知如图建立平面直角坐标系xDy,对点集训,设|BM|=a(0a1),则|CN|=2a,|DN|=2(1-a),故A(0,1),C( ,-1),M( , -a), =( ,-a-1), = +(1-a) =(0,-1)+(1-a)( ,-1)=( - a,a-2),可 得 =-a2-2a+5=-(a+1)2+6,可得2 5.,【答案】2,5,【归纳拓展】本题将向量数量积转化为以x或a为变量的函数,然后 通过函数的值域求出取值范围.利用函数求最值时要注意自变量的 取值范围,如本题中如果忽视0x或a1,将得出错误的范围.,对点集训,热点二:构造函数模型解题,在解决应用问题时,将变量间的等量关系转化为函数关系,通过建立 函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数问题, 达到化难为易,化繁为简的目的.,(2012年湖南)某企业接到生产3000台某产品的A,B,C 三种部件的订单,每台产品需要三种部件的数量分别为2,2,1(单位: 件).已知每个工人每天可生产A部件6件,或B部件3件,或C部件2件.该 企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B部件 的人数与生产A部件的人数成正比,比例系数为k(k为正整数).,对点集训,(1)设生产A部件的人数为x,分别写出完成A,B,C三种部件生产需要 的时间;,(2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数k的值,使完成订 单任务的时间最短,并给出时间最短时具体的人数分组方案.,【解析】(1)设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间(单位:天) 分别为T1(x),T2(x),T3(x),由题设有T1(x)= = ,T2(x)= ,T3(x)= ,其中x,kx,200-(1+k)x均为1到200之间的正整数.,(2)完成订单任务的时间为f(x)=maxT1(x),T2(x),T3(x),其定义域为x| 0x ,xN*.,对点集训,易知,T1(x),T2(x)为减函数,T3(x)为增函数.,注意到T2(x)= T1(x),于是当k=2时,T1(x)=T2(x),此时f(x)=maxT1(x),T3(x)=max , .,由函数T1(x),T3(x)的单调性知,当 = 时f(x)取得最小值,解得x= .由于44 45,而f(44)=T1(44)= ,f(45)=T3(45)= ,f(44)f(45).故当x=44时完成订单任务的时间最短, 且最短时间为f(44)= .,当k2时,T1(x)T2(x),由于k为正整数,故k3,对点集训,此时 = .,记T(x)= ,(x)=maxT1(x),T(x),易知T(x)是增函数,则f(x)=maxT1(x),T3(x)maxT1(x),T(x)=(x)=max , .,由函数T1(x),T(x)的单调性知,当 = 时,(x)取最小值,解得x= .由于36 37,而(36)=T1(36)= ,(37)=T(37)= .此时完成订单任务的最短时间大于 .,对点集训,当k2时,T1(x)T2(x),由于k为正整数,故k=1,此时f(x)=maxT2(x),T3(x)=max , .,由函数T2(x),T3(x)的单调性知,当 = 时f(x)取最小值,解得x= ,类似讨论,此时完成订单任务的最短时间为 ,大于 .,综上所述,当k=2时,完成订单任务的时间最短,此时,生产A,B,C三种 部件的人数分别为44,88,68.,【归纳拓展】本题为函数的应用题,考查分段函数、函数单调性、,最值等,考查运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力. 其中根据题目变量关系,建立函数模型是解决本题的关键.,对点集训,热点三:函数、方程、不等式的转化,在解决函数、方程、不等式问题时,我们经常利用三者的联系进行 转化.若将变量间的等量关系看成函数关系,则可以将等量关系式转 化成函数,这时妙用函数的有关性质(值域、与坐标轴交点情形等) 就可解决问题;若将等量关系式看成关于某个未知量的方程,则利用 解方程或考虑根的情形可求得变量;若可将变量间的不等量关系式 看成关于某个未知量的不等式,则解这个不等式可求得这个变量的 取值范围.,对点集训,已知f(x)=xln x,g(x)=-x2+ax-3,若对一切的x(0,+),2f(x) g(x)恒成立,则实数a的取值范围为 .,【解析】2xln x-x2+ax-3,则a2ln x+x+ ,设h(x)=2ln x+x+ (x0),则h(x)= ,当x(0,1)时,h(x)0,h(x)单调递减;,当x(1,+)时,h(x)0,h(x)单调递增.,h(x)min=h(1)=4.,对点集训,对一切x(0,+),2f(x)g(x)恒成立,ah(x)min=4.,【答案】,【归纳拓展】本题将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题,然,后通过导数判断单调性,求出最值.在多个字母变量的问题中,选准 “主元”往往是解题的关键.一般地,在一个含有多个变量的数学问 题中,确定合适的变量和参数,从而揭示函数关系,使问题更明朗化. 或者含有参数的函数中,将函数自变量作为参数,而参数作为函数,更 具有灵活性,从而巧妙地解决有关问题.,对点集训,热点四:方程在解析几何中的应用,在解析几何中,我们经常将直线与圆、圆锥曲线的位置关系,转化为 对应的方程,从方程的角度来研究、分析问题.,(2012年广东)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1: + =1(ab0)的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上.,(1)求椭圆C1的方程;,(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程.,对点集训,【解析】(1)由题意得 ,故所求的椭圆方程为 +y2=1.,(2)由题意可知切线的斜率一定存在,设直线l的方程为y=mx+n,由 y2=4 my2-4y+4n=0,由题意得(-4)2-4m4n=0mn=1, ,对点集训,又由 x2+2(mx+n)2=2,(1+2m2)x2+4mnx+2(n2-1)=0.,又由题意得(4mn)2-4(1+2m2)2(n2-1)=0n2=2m2+1, ,由、得 或,故直线l的方程为y= x+ 或y=- x- .,【归纳拓展】本题利用方程的曲线将曲线有切点的几何问题转化 为方程有实解的代数问题.一般地,当给出方程的解的情况求参数的,对点集训,范围时可以考虑应用“判别式法”,其中特别要注意解的范围.,总结:,(1)函数和方程是密切相关的,对于函数y=f(x),当y=0时,就转化为方程 f(x)=0,也可以把函数式y=f(x)看做二元方程y-f(x)=0;,(2)函数与不等式也可以相互转化,对于函数y=f(x),当y0时,就转化为 不等式f(x)0,借助于函数图象与性质解决有关问题,而研究函数的 性质,也离不开解不等式;,(3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数,用函数的观点 处理数列问题十分重要;,对点集训,(4)函数f(x)=(1+x)n (nN*)与二项式定理是密切相关的,利用这个函 数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题;,(5)解析几何中的许多问题,例如直线和二次曲线的位置关系问题,需 要通过解二元方程组才能解决,涉及二次方程与二次函数的有关理 论;,(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要运用列 方程或建立函数表达式的方法解决.,【化归与转化的思想】,转化与化归的思想,就是在研究和解决数学问题时采用某种方式,借,对点集训,助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转 化,进而达到解决问题的思想.等价转化有一些模式可以遵循,总是将 抽象转化为具体,化复杂为简单(高维向低维的转化,多元向一元的转 化,高次向低次的转化等)、化未知为已知.,化归与转化思想的实质是揭示联系,实现转化.除极简单的数学问题 外,每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的.从这个 意义上讲,解决数学问题就是从未知向已知转化的过程,是一步步转 化的过程.历年高考,等价转化思想无处不见,我们要不断培养和训练 自觉的转化意识,这将有利于强化解决数学问题的应变能力,提高思 维能力和技能.,对点集训,热点一:一般问题与特殊问题的化归,“特殊”问题往往比“一般”问题显得简单、直观和具体,容易解 决,并且在特殊问题的解决过程中,常常孕育着一般问题的解决方法. 有些数学问题,由于其特殊数量或位置关系,孤立地考察问题本身,造 成我们只见“树木”不见“森林”,难以解决.因此解题时,我们常常 将一般问题与特殊问题进行转化.,(1)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn等于 ( ),对点集训,(A)2n-1. (B)( )n-1.,(C)( )n-1. (D) .,(2)(2012年山东)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为 线段AA1,B1C上的点,则三棱锥D1-EDF的体积为 .,对点集训,【解析】(1)由Sn=2an+1可得Sn=2(Sn+1-Sn),即Sn+1= Sn,S1=a1=1,故Sn是首 项为1,公比为 的等比数列,故Sn=( )n-1.,(2) = = 111= .,【答案】(1)B (2),【归纳拓展】(1)选取数列的特殊项,(2)选取了特殊的E,F位置,显然, 当一般成立时,利用一般到特殊的转化更简单.,对点集训,热点二:正向思维与逆向思维的化归,在数学解题中,通常的思维方式是从已知到结论,然而有些数学题按 照这种思维方式解则比较困难,而且常常伴随着较大的运算量,有时 甚至无法解决.在这种情况下,我们要多注意定理、公式、规律性例 题的逆用,正难则反往往可以使问题更简单.,试求常数m的范围,使曲线y=x2的所有弦都不能被直线y =m(x-3)垂直平分.,对点集训,【解析】假设抛物线上两点(x1, ),(x2, )关于直线y=m(x-3)对称,显然 m0,于是有 ( + )=m (x1+x2)-3, =- ,则2 + x1+ +6m+1=0,因为存在x1R使上式恒成立,=( )2-8( +6m+1)0,即(2m+1)(6m2-2m+1)0,因为6m2-2m+10恒成立,所以2m+10,所以m- ,对点集训,即当m- 时,抛物线上存在两点关于直线y=m(x-3)对称,所以当m- 时,曲线y=x2的所有弦都不能被直线y=m(x-3)垂直平分.,【归纳拓展】在解答问题时,正难则反是转换的一种有效手段,通常 适用于正面情况比较多或者不容易求解时,如本题中问题的反面是 存在一条弦能被直线y=m(x-3)垂直平分,解出问题反面m的范围,则原 问题就出来了 .,对点集训,热点三:命题与等价命题的化归,由命题A(或问题A)可推出命题B(或问题B),反之,命题B(或问题B)亦 可推出命题A(或问题A).即A与B互为充要条件时,称为A与B等价.利 用这种等价性将原命题(或原问题)转化成易于处理的新命题(或新 问题)的方法可以把不熟悉的问题向熟悉的问题转化.,(2012年江苏)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方 程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆 心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值为 .,对点集训,【解析】直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的 圆与圆C有公共点等价于直线y=kx-2与圆(x-4)2+y2=4相切于T,以切点 T为圆心,1为半径的圆T与圆C相外切,即有公共点,如图,tan A=tan BCA= ,所以k的最大值tanTBC=tan 2A= .,【答案】,【归纳拓展】本题通过等价转化,将两圆的位置关系转化为圆心距 关系,然后转化为点到直线的距离,最终求出最值.,对点集训,总结:,常见的化归方法:,(1)换元法:例如利用“换元”将无理式化为有理式,高次问题化为低 次问题;,(2)数形结合法:把形(数)转化为数(形),数形互补、互换获得问题的 解题思路;,(3)向量法(复数法):把问题转化为向量(复数)问题;,(4)参数法:通过引入参数,转化问题的形式,易于解决;,(5)建模法:构造数学模型,把实际问题转化为数学问题或把一类数学 问题转化为另一类数学问题;,对点集训,(6)坐标法:以坐标为工具,实现“数”、“形”的对应、转化;,(8)特殊化法:将一般问题特殊化,从特殊问题的解题思路中,寻找一 般问题的解题策略;,(9)一般化方法:有时问题的本质特征可能被具体问题所掩盖,这时应 把特殊问题一般化,寻找解题思路;,(10)加强命题法:即把命题结论加强为原命题的充分条件;,(11)正与反的转化;,(12)函数与方程、不等式之间的转化;,(13)空间与平面之间的转化;,(14)整体与局部的转化等等.,对点集训,【分类讨论的思想】,在研究和解决数学问题时,当问题所给对象不能进行统一研究,我们 就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点,将对象区分为 不同种类,然后逐类进行研究和解决,从而达到解决整个问题的目的,这一思想方法,我们称它为“分类讨论的思想”.,解答分类讨论问题时,我们的基本方法和步骤是:首先要确定讨论对 象以及所讨论对象的全体的范围;其次确定分类标准,正确进行合理 分类,即标准统一、不漏不重、分类互斥(没有重复);再对所分类逐 步进行讨论,分级进行,获取阶段性结果;最后进行归纳小结,综合得 出结论.,对点集训,热点一:根据数学概念、公式、定理、性质的条件分类讨论,当问题中涉及的数学概念、定理、公式和运算性质、法则有范围 或条件限制,或者是分类给出的,在不同的条件下有不同的结论,或在 一定的限制条件下才成立,需要分类讨论.,(1)(2012年全国新课标)当0x 时,4xlogax,则a的取 值范围是 ( ),对点集训,(A)(0, ). (B)( ,1).,(C)(1, ). (D)( ,2).,(2)(2012年江西)在实数范围内,不等式|2x-1|+|2x+1|6的解集为 .,【解析】(1)由题意得,当0a1时,要使得4xlogax,(0x ),即当0x 时,函数y=4x在函数y=logax图象的下方,又当x= 时, =2,即函数y=4x过点( ,2),对点集训,把点( ,2)代入函数y=logax得a= ,即 a1,当a1时,不符合题意,舍去,所以实数a的取值范围是 a1,故选B.,(2)原不等式可化为 ,或 ,或 ,解得- x ,即原不等式的解集为x|- x .,【答案】(1)B (2)x|- x ,【归纳拓展】(1)中由于对数函数的概念中底数不同,函数单调性不 同,进行了分类讨论,(2)中因为去绝对值进行了分类讨论.类似的还,有:直线的斜率、三种圆锥曲线的定义及位置、等比数列公比等.,对点集训,热点二:根据参数的变化情况分类讨论,一般地,遇到题目中含有参数的问题,常常结合参数的意义和对结果 的影响而进行分类讨论,如函数性质的应用、求最值、一元二次方 程根的判断、直线斜率等.,(2012年广东)设a0,B=xR|2x2-3 (1+a)x+6a0,D=AB.,(1)求集合D(用区间表示);,(2)求函数f(x)=2x3-3(1+a)x2+6ax在D内的极值点.,对点集训,【解析】(1)设g(x)=2x2-3(1+a)x+6a,=9a2-30a+9=3(a-3)(3a-1),当 a1时,方程g(x)=2x2-3(1+a)x+6a=0的判别式=9a2-30a+90, D=(0,+).,当a= 时,=0,此时B=x|x1,D=(0,1)(1,+).,当a0,方程g(x)=2x2-3(1+a)x+6a=0,有解为x1= ,x2= ,且x10x2,D=(x2,+),对点集训,=( ,+);,当00,g(0)=6a0,0,方程g(x)=2x2-3(1+a)x+ 6a=0,有解为x1= ,x2= ,且0x1x2.,D=(0,x1)(x2,+),=(0, ),对点集训,( ,+);,当a0时,x1+x2= (1+a)0,g(0)=6a0,方程g(x)=2x2-3(1+a)x+6a =0,有解为x1= ,x2= ,且x10x2,D=(x2,+),=( ,+).,(2)f(x)=6x2-(1+a)x+a=6(x-a)(x-1),又a1,f(x)在R上的单调性如下,对点集训,表:,当 a1时,D=(0,+),f(x)=2x3-3(1+a)x2+6ax在D内有两个极值点a和1.,当a= 时,由(1)知D=(0,1)(1,+),所以f(x)的极大值点为x= .,当0a 时, 1显然成立, 1,对点集训,不成立,若a 成立,则3-a ,解得a(a-3)0a(0, ),f(x)=2x3-3(1+a)x2+6ax在D内有一个极大值点a;,当a0时,只须考虑 矛盾;f(x)=2x3- 3(1+a)x2+6ax无极值点.,综上,当a0时,f(x)在D内无极值点;,对点集训,当0a 时,f(x)在D内有一个极值点a;,当a= 时,f(x)在D内有极大值点 ;,当 a1时,f(x)在D内有两个极值点a和1.,【归纳拓展】本题进行了三次分类讨论,第一次是因为一元二次方 程是否有根对的讨论,第二次是因为求两集合交集对两根是否大 于0的讨论,第三次是因为判断极值点的讨论.虽然每次都进行讨论, 但是因为分类标准不同,因此对参数的讨论也不同.,对点集训,热点三:根据图形位置或形状变动分类讨论,一般由图形的位置或形状变动引发的讨论包括:二次函数对称轴位 置的变动;函数问题中区间的变动;函数图象形状的变动;直线由斜率 引起的位置变动;圆锥曲线由焦点引起的位置变动或由离心率引起 的形状变动;立体几何中点、线、面的位置变动等.,(2011年湖北)平面内与两定点A1(-a,0)、A2(a,0)(a0) 连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹,加上A1、A2两点所成的 曲线C可以是圆、椭圆或双曲线.,(1)求曲线C的方程,并讨论C的形状与m值的关系;,对点集训,(2)当m=-1时,对应的曲线为C1:对给定的m(-1,0)(0,+),对应的曲 线为C2.设F1、F2是C2的两个焦点.试问:在C1上,是否存在点N,使得 F1NF2的面积S=|m|a2?若存在,求tanF1NF2的值,若不存在,请说明理由.,【解析】(1)设动点为M,其坐标为(x,y),当xa时,由条件可得 = = =m,即mx2-y2=ma2(xa),又A1(-a,0)、A2(a,0)的坐标满足mx2-y2=ma2,故依题意,曲线C的方程为mx2-y2=ma2.,当m-1时,曲线C的方程为 + =1,C是焦点在y轴上的椭圆;,当m=-1时,曲线C的方程为x2+y2=a2,C是圆心在原点的圆;,对点集训,当-1m0时,曲线C的方程为 + =1,C是焦点在x轴上的椭圆;,当m0时,曲线C的方程为 - =1,C是焦点在x轴上的双曲线.,(2)由(1)知,当m=-1时,C1的方程为x2+y2=a2;,当m(-1,0)(0,+)时,C2的两个焦点分别为F1(-a ,0),F2(a ,0).,对于给定的m(-1,0)(0,+),C1上存在点N(x0,y0)(y00)使得S=|m|a2 的充要条件是,对点集训,由得0|y0|a,由得|y0|= .,当0 a,即 m0,或0m 时,存在点N,使S=|m|a2;,当 a,即-1 时,不存在满足条件的点N.,当m ,0)(0, 时,对点集训,由 =(-a -x0,-y0), =(a -x0,-y0),可得 = -(1+m)a2+ =-ma2.,令| |=r1,| |=r2,F1NF2=,则由 =r1r2cos =-ma2,可得r1r2=- ,从而S= r1r2sin =- =- ma2tan ,于是由S=|m|a2,可得- ma2tan =|m|a2,即tan =- .,综上可得:,对点集训,当m ,0)时,在C1上,存在点N,使得S=|m|a2,且tanF1NF2=2;,当m(0, 时,在C1上,存在点N,使得S=|m|a2,且tanF1NF2=-2;,当m(-1, )( ,+)时,在C1上,不存在满足条件的点N.,【归纳拓展】在求解直线与圆锥曲线问题时,首先要判断圆锥曲线 的类型,当不能作出判断的,要进行分类讨论.,总结:,常见的分类讨论问题有:,(1)由数学概念引起的分类讨论:如绝对值的定义、不等式的定义、,对点集训,二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的倾斜角、两条直 线所成的角等;,(2)由数学运算要求引起的分类讨论:如除法运算中除数不为零、偶 次方根为非负、对数中真数与底数的要求、不等式中两边同乘以 一个正数、负数对不等号方向的影响等;,(3)由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论;,(4)由图形的不确定性引起的分类讨论;,(5)由参数的变化引起的分类讨论,某些含参数的问题,由于参数的取 值不同会导致所得结果不同,或者由于不同的参数值要运用不同的,对点集训,求解或证明方法;,(6)其他根据实际问题具体分析进行分类讨论,如排列、组合问题,应 用问题等.,【数形结合的思想】,数形结合思想,就是把问题的数量关系和图形结合起来考查的思想 方法,即根据解决问题的需要,可以把数量关系的问题转化为图形的 性质和特征去研究,或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题 去研究.数形结合思想,不仅是一种重要的解题方法,而且也是一种重 要的思想方法,在高考中经常考查.,对点集训,数形结合的思想方法应用广泛,常见的如在解方程和解不等式问题 中,在求函数的值域、最值问题中,在求三角函数问题中,运用数形结 合思想,不仅直观易发现解题途径,而且能避免复杂的计算与推理,大 大简化了解题过程.,对点集训,热点一:代数问题几何化以形助数,以形助数就是根据数学问题中“数”的结构,构造出与之相应的几 何图形,并利用几何图形的特征,规律来研究解决问题,这样可以化抽 象为直观,易于显露出问题的内在联系,同时借助几何直观审题,还可 以避免一些复杂的数字讨论.“以形助数” 中的“形”,或有形或无 形.若有形,则可为图表与模型,若无形,则可另行构造或联想.因此 “以形助数”的途径大体有三种:一是运用图形;二是构造图形;三是 借助于代数式的几何意义.,对点集训,(1)(2012年天津)已知函数y= 的图象与函数y=kx-2的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是 .,(2)(2012年江苏)已知正数a,b,c满足:5c-3ab4c-a,cln ba+cln c, 则 的取值范围是 .,【解析】,对点集训,所以0k1或1kkBA=4,k的取值范围为(0,1)(1,4).,(法二)直接法:要使函数y=,= 与直线y=kx-2恰好有两个交点,必须使直线y=kx-2与 函数两段每段各有一个交点,所以,当x(-,-1)(1,+)时,方程x+1=k1x-2得k1=1+ ,在(-,-1)与(1,+ )单调递减,故k1(-2,1)(1,4);,当x-1,1),由-x-1=k2x-2(k2-1),(1)(法一)数形结合图象法,要使函数y= = 与直线y =kx-2恰好有两个交点,如图,因为y=kx-2过定点B(0,-2).,对点集训,有x= ,-1 0或k2-2,所以k1(-,-2(0,+),则直线y=kx与y= = 在每一段函数有且只有一个 交点,那么k同时满足,故k(0,1)(1,4).,(2)由题中条件可转化为:,令 =x, =y,对点集训,题目转化为:已知x,y满足 求 的取值范围.作出如图所示的 可行域,其中C(0.5,3.5),可以求出过原点O与函数y=ex的相切的切线 是y=ex,且切点P在A,B之间,所以e kOC=7,所以 的取值范围是e,7.,【答案】(1)(0,1)(1,4) (2)e,7,对点集训,【归纳拓展】(1)利用图象判断两函数的交点,或构造两函数判断方 程解的问题时,要注意图象的准确性和全面性.(2)本题中参数比较 多,如果采用代数法很难求解.如果利用 的几何意义,视为直线的斜 率,就可以利用线性规划知识求解.,对点集训,热点二:几何问题代数化以数辅形,以数辅形就是根据几何图形的特征,建立直角坐标系(或空间直角坐 标),构造出与之相应的代数方程或函数解析式,并利用代数方程的运 算来求解几何问题,运用代数方法研究几何问题.“以数辅形” 中的 “数”,一般是坐标的运算.因此“以数辅形”的途径大体有三种:一 是解析几何,二是向量法,三是函数.,(1)(2012年四川)函数y=ax- (a0,且a1)的图象可能 是 ( ),对点集训,(2)(2012年江苏)如图,在矩形ABCD中,AB= ,BC=2,点E为BC的中 点,点F在边CD上,若 = ,则 的值是 .,对点集训,【解析】(1)(法一)当a1时,函数单调递增,由于01, 此时函数图象向下平移超过1个单位,也即是与y轴交点应该在x轴下 方,所以选择D.,(法二)由解析式知函数图象过点(-1,0),所以选D.,(2)以AB作x 轴,AD作y 轴建立坐标系xOy,则A(0,0),B( ,0),C( ,2),E ( ,1),设F(x,2), =(x,2), =( ,0),因为 = ,所以 x= ,x=1, =( ,1), =(1- ,2),所以 =(1- ) +2= .,【答案】(1)D (2),对点集训,【归纳拓展】(1)根据函数图象,判断函数解析式时,要从函数的单调 性、对称性、正负性、变换趋势、特殊点等性质入手.(2)本题如果 采用基向量法很麻烦,但是利用向量的坐标运算,将各向量用坐标表 示出来,转化为代数运算,问题变很简单了.,总结:,应用数形结合的思想,应注意以下数与形的转化,(1)集合的运算及韦恩图;,(2)函数及其图象;,(3)数列通项及求和公式的函数特征及函数图象,对点集训,(4)方程(多指二元方程)及方程的曲线以形助数常用的有借助数轴; 借助函数图象;借助单位圆;借助数式的结构特征;借助于解析几何方 法以数助形常用的有借助于几何轨迹所遵循的数量关系;借助于运 算结果与几何定理的结合.,对点集训,1.已知i为虚数单位,复数z1=a+i,z2=2-i,且|z1|=|z2|,则实数a的值为 ( ),(A)2. (B)-2. (C)2或-2. (D)2或0.,【解析】由|z1|=|z2|得 = ,解得a=2.,【答案】C,一、选择题,对点集训,2.已知 =1,(a、b、cR),则有 ( ),(A)b24ac. (B)b24ac.,(C)b24ac. (D)b24ac.,【解析】依题设有5a- b+c=0, 是实系数一元二次方程ax2-bx+c =0的一个实根,=b2-4ac0,b24ac,故选B.,【答案】B,对点集训,3.(2012年大纲全国)已知为第二象限角,sin = ,则sin 2= ( ),(A)- . (B)- .,(C) . (D) .,【解析】由sin = 及在第二象限可知cos =- ,故sin 2=2sin cos =2 (- )=- .,【答案】A,对点集训,4.函数f(x)=x2-2x在区间 上的值域是 ,则点(a,b) 的轨迹是图中 的 ( ),(A)线段AB和线段AD.,对点集训,(B)线段AB和线段CD.,(C)线段AD和线段BC.,(D)线段AC和线段BD.,【解析】作出函数f(x)=x2-2x的图象,易知f(1)=-1, f(-1)=f(3)=3,若a=-1, 则b ;若b=3,则a ,轨迹为线段AB和线段AD.,【答案】A,对点集训,5.设a1,则双曲线 - =1的离心率e的取值范围是 ( ),(A)( ,2). (B)( , ).,(C)(2,5). (D)(2, ).,【解析】e2=( )2= =1+(1+ )2,所以当a1时,0 1,所以2e2 5,即 e .,【答案】B,对点集训,6.(2012年重庆)设x,yR,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且ac,bc, 则|a+b|= ( ),(A) . (B) .,(C)2 . (D)10.,【解析】因为ac,所以ac=0,即2x-4=0,解得x=2.由bc,得-4=2y,解 得y=-2,所以a=(2,1),b=(1,-2),所以a+b=(3,-1),所以|a+b|= = .,【答案】B,对点集训,7.椭圆两焦点为F1(-4,0),F2(4,0),P在椭圆上,若PF1F2的面积的最大 值为12,则该椭圆的标准方程为 ( ),(A) + =1. (B) + =1.,(C) + =1. (D) + =1.,【解析】根据题意可设 + =1(ab0),再设P(x0,y0),则PF1F2的面 积为 |F1F2|y0|= 8|y0|=4|y0|4b.所以,此时4b=12,解得b=3,又c=4,所 以a2=b2+c2=25,故椭圆的标准方程为 + =1.,【答案】A,对点集训,8.若f(x)=- x2+bln (x+2)在(-1,+)上是减函数,则b的取值范围是 ( ),(A)-1,+). (B)(-1,+).,(C)(-,-1. (D)(-,-1).,【解析】由题意知:f(x)=-x+ 0在x(-1,+)上恒成立, 所以b x2+2x.因为y=x2+2x在(-1,+)上是增函数,所以x2+2x-1,故b-1,选C.,【答案】C,对点集训,9.已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x-4)+f(x)=0,且在区间0,2上是 增函数,则 (