2018_2019学年高中数学第一章三角函数3弧度制学案北师大版必修4.docx

3弧度制内容要求1.了解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数(重点).2.掌握弧度制下的弧长公式，会用弧度解决一些实际问题(难点)知识点1弧度制(1)角度制与弧度制的定义角度制用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的弧度制长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制(2)角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，那么角的弧度数的绝对值是|.【预习评价】(正确的打“”，错误的打“”)(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位()(2)1的角是周角的，1 rad的角是周角的()(3)1的角比1 rad的角要大()(4)1 rad的角的大小和所在圆的半径的大小有关()知识点2角度制与弧度制的换算常见角度与弧度互化公式如下：角度化弧度弧度化角度3602 rad2 rad360180 rad rad1801 rad0.017 45 rad1 rad57.30【预习评价】请填充完整下表，一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系有：角度0130456090120135150180270360弧度02知识点3扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，(02)为其圆心角，则度量单位类别为角度制为弧度制扇形的弧长lL|R扇形的面积SSlR|R2【预习评价】1.一个扇形的半径为2 cm，圆心角为，则该扇形所对的弧长l_cm.答案2.一个扇形的半径为2 cm，其对应的弧长为2.则该扇形的面积为_cm2.答案2知识点4利用弧度制表示终边相同的角在弧度制下，与终边相同的角连同在内可以表示为2k(kZ)，其中的单位必须是弧度【预习评价】1.与30终边相同的角为()A2k(kZ)B2k(kZ)C360k(kZ)D2k30(kZ)答案B2.终边在x轴上的角的集合用弧度制表示为_答案|k，kZ题型一角度与弧度的互化【例1】将下列角度与弧度进行互化：(1)20；(2)15；(3)；(4).解(1)2020 rad rad.(2)1515 rad rad.(3) rad180105.(4) rad180396.规律方法角度制与弧度制互化的原则、方法以及注意点(1)原则：牢记180 rad，充分利用1rad和1 rad进行换算(2)方法：设一个角的弧度数为，角度数为n，则 rad180；nnrad.(3)注意点：用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写；用“弧度”为单位度量角时，“常常把弧度数写成多少的形式，如无特别要求，不必把写成小数；度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度【训练1】将下列各角度与弧度互化：(1)；(2)；(3)15730.解(1)18075；(2)180210；(3)15730157.5157.5 rad rad.题型二用弧度制表示终边相同的角【例2】(1)把1 480写成2k(kZ)的形式，其中02；(2)若4，0)，且与(1)中终边相同，求.解(1)1 48010，02，1 480252(5).(2)与终边相同，2k，kZ.又4，0)，1，2.【训练2】用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断2 015是不是这个集合的元素解因为150.所以终边在阴影区域内角的集合为S.因为2 015215536010，又.所以2 015S，即2 015是这个集合的元素方向1求弧长【例31】已知扇形OAB的圆心角为120，半径长为6.求的长；解120，r6，的长l64.方向2求圆心角【例32】已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角解设圆心角是，半径是r，则或(舍)故扇形圆心角为.方向3求面积的最值【例33】已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解设扇形的圆心角为，半径为r，弧长为l，面积为S，则l2r40，l402r.Slr(402r)r20rr2(r10)2100.当半径r10 cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2，此时rad2 rad.当扇形的圆心角为2 rad，半径为10 cm时，扇形的面积最大为100 cm2.规律方法灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题.课堂达标1与120角终边相同的角为()A2k(kZ)B.C2k(kZ)D(2k1)(kZ)解析120且2k(2k4)(kZ)，120与2k(kZ)，终边相同答案C2化为角度应为()A345B15C315D375解析180345.答案A3已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为_解析由弧长公式lR得.答案4下列结论不正确的是_(只填序号) rad60；10 rad；36 rad； rad115.解析 rad180112.5，错答案5一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数解设扇形的半径为R，弧长为l，则2Rl4，l42R，根据扇形面积公式SlR，得1(42R)R，R1，l2，2，即扇形的圆心角为2 rad.课堂小结1角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应2解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180 rad”这一关系式3在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.基础过关1在半径为10的圆中，240的圆心角所对弧长为()A.B. C. D.解析240240 rad rad，弧长l|r10，故选A.答案A2下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是()A2k45(kZ)Bk360(kZ)Ck360315(kZ)Dk(kZ)答案C3若3，则角的终边在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析3，3是第三象限角答案C4若三角形三内角之比为456，则最大内角的弧度数是_答案5如果一扇形的弧长变为原来的倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的_解析由于SlR，若ll，RR，则SlRlRS.答案6把下列各角化为2k(02，kZ) 的形式且指出它是第几象限角，并写出与它终边相同的角的集合(1)；(2)1 485；(3)20.解(1)82，它是第二象限角，终边相同的角的集合为.(2)1 485536031552，它是第四象限角终边相同的角的集合为.(3)2042(820)，而8202.20是第四象限角，终边相同的角的集合为|2k(820)，kZ7直径为20 cm的圆中，求下列两个圆心角所对的弧长及扇形面积(1)；(2)165.解(1)l|r10(cm)，S|r2102(cm2)(2)165165 rad rad.l|r10(cm)Slr10(cm2)能力提升8时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为()A.B C.D解析显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的，用弧度制表示就是42.答案B9如图是一个半径为R的扇形，它的周长为4R，则这个扇形所含弓形(阴影区域)的面积是()A.(2sin 1cos 1)R2B.R2sin 1cos 1C.R2D(1sin 1cos 1)R2解析l4R2R2R，2.S弓形S扇形S|R2(2Rsin )(Rcos )2R2R2sin 1cos 1R2(1sin 1cos 1)答案D10已知是第二象限角，且|2|4，则的集合是_解析是第二象限角，2k2k，kZ，|2|4，62，当k1时，当k0时，2，当k为其他整数时，满足条件的角不存在答案(，)(，211若24，且与角的终边垂直，则_.解析2k2k，kZ，24，k2，；或者2k2k，kZ，20，la2r0，0r，当r时，Smax.此时，la2