高等数学第一节函数.ppt

高等数学,课本,（本科少学时类型）（第三版）上册,同济大学应用数学系 编,高等教育出版社,一、什么是高等数学？,1、高数简介,高等数学是大学的一门重要的基础理论课程。通过这门课程的学习，要使学生系统地获得微积分方面的基本知识（基本概念，必要的基础理论和常用的运算方法），培养学生具有比较熟练的运算能力、抽象思维和形象思维能力、逻辑推理能力、自学能力以及一定的数学建模能力，正确领会一些重要的数学思想方法，使学生在受到数学分析基本概念、理论、方法以及运用这些概念、理论、方法解决几何、物理及其它实际问题的初步训练的基础上，提高抽象概括问题能力和应用数学知识解决实际问题的能力，同时为学习后继课程和知识自我更新奠定必要的基础。,2、研究对象 （函数关系）,3、研究方法 极限方法,4、主体内容,1）微积分学理论（一元与多元）；,2）空间解析几何与向量代数、无穷级数、常微分方程。,5、高等数学与初等数学的区别,二、为什么要学习高等数学？,1、训练思维的需要（数学是思维的体操）；,2、数学是科学技术的载体，为学习后继课程提供必须的数学工具；,3、实现理想的需要（考研、考公都会用到）。,三、怎样才能学好高等数学？,四、几点要求：,1、一专：上课专心听课认真做笔记；,2、二要：要及时预习按时到课，作业要按时完成；,3、三记：记重点、难点，记分析思路，记补充内容；,4、四带：教材、笔记本、练习本、笔。,第一章 函数与极限,微积分的研究对象是函数，和初等数学讨论函数不 同的是，微积分是以极限的方法来考察和认识函数的变 化过程及内在属性。,本节概要,自然界的各种事物都是在不断变化着的， 反映这种变化过程的量是变量。各种事物的变 化又是相互联系和相互制约的，反映和表示这 种既相互联系又相互制约的变化过程的数量关 系的就是所谓的函数。,第一节 函数,集合是数学中最基本的概念之一，所谓最基本概 念就是不能由其它概念来定义，只能通过常识来描述。 指定的具有“某种属性”的有限多个或无限多个一 类事物的全体称为一个集合，构成集合的每一个事物称 为该集合的一个元素。 若事物 a 是集合 M 的一个元素，记作 a M，若事 物 a 不是集合 M 的元素，则记作 a M,(1) 集合的定义,具有“某种属性”，简单地讲，就是能给定一条 规则以区分集合中的元素，即任意给出一个事物，根 据这个条规则能确定该事物是否属于这一集合。,由有限个元素组成的集合称为有限集，由无穷多个 元素组成的集合称为无限集。 表示集合的方法通常有两种： 列出集合中所有元素，其形式为 A = A中的所有元素 . 列出集合中元素的属性，其形式为 M = x x 所具有的特征 ., 枚举法,(2) 集合的表示, 元素属性表示法,设有集合 A、B，若对 a A，都有a B，则称 A 是 B 的子集，记作：A B . 不含任何元素的集合称为空集，记作: 空集可认为是任何集合的子集。, 子集的概念,(3) 集合间的关系, 空集的概念,设有集合 A、B，若有 A B ，且 B A，则称 A、 B 相等，记作：A = B 例如，若 A = 1 ,2 ，B = x x 2 - 3x + 2 = 0 ， 则有 A = B . 两集合相等的意义就是彼此相互包含，这一定义实 际也给出了集合相等 的证明方法，即证明 两集合相等就是证明 它们相互包含。, 集合相等的概念,设有集合 A、B，由至少属于 A、B 中一个的元素 的全体所构成的集合称为集合 A、B 并，记作: AB . 即有 AB = x x A 或 x B ., 集合的并,(4) 集合间的运算,设有集合 A、B，由同时属于 A、B 的元素的全体 所构成的集合称为集合 A、B 交，记作: AB . 即有 AB = x x A 且 x B ., 集合的交,区间是一类特殊的数集，它通常用来表示连续型变 量的变化范围。区间可分为两类，一类是有限区间，另 一类是无穷区间。 设 a ,b R，且 a b，则数集 x a x b 称为 开区间，记作:( a ,b )，即( a ,b )= x a x b ., 开区间,(1) 有限区间,设 a ,b R，且 a b，则数集 x a x b 称为闭 区间，记作: a ,b ，即 a ,b = x a x b . 由开区间和闭区间的概念容易理解，下列数集均称 为半开半闭区间： ( a ,b = x a x b ， a ,b )= x a x b . 数 b - a 称为上述这些区间的长度，长度为有限值 的区间称为有限区间。上述这些区间的长度均为有限 数，故均是有限区间。, 闭区间, 半开半闭区间,长度为无穷大的区间称为无穷区间。 下列数集均为无穷区间： ( a ,+ )= x a x ， a ,+ )= x a x ； ( - ,b )= x x b ， ( - ,b = x x b .,(2) 无穷区间,邻域是一类特殊的区间，它在数轴上表示以一点为 中心，以某正数为半径的点的全体。邻域可分为两类， 一类是实心邻域，另一类是空心邻域。 设 a , 是两个实数， 0 ，数集 x x - a 称为点 a 的 邻域，记作:U( a , )，即 U( a , )= x x - a =( a - ,a - )., 实心邻域,(3) 邻域,在点 a 的 邻域中去掉中心点 a 后所得点集，称为 点 a 的 空心邻域，记作: 函数在一点的性状不仅和该点的函 数值有关，还和函数在该点邻近点处的 函数值有关。 邻域的重要性就在于用以讨论函数 在一点的性状与其邻近点处性状的关系。, 空心邻域,(1) 函数关系举例,客观事物总是变化着的，而其变化过程必然总是伴 随着各种不同量的变化，且不同量在各自的变化范围内 变化时常常是既相互联系又相互 制约的。这种不同变量间既相互 联系又相互制约的关系就是所谓 函数关系。,例：某一天的气温和时间的关系是一种函数关系。 在此问题中包含两个变量：气温 C ，时间 t . 两变量在各自的变化范围内变化，变化时彼此间既相互 联系又相互依存，因而气温 C 和时间 t 构成函数关系。,例：设有边长为 a 的正方形金属薄板，在其四角各剪去 一个边长为 x 的小正方形做成无盖正方体小合，试考察 小正方形边长 x 与金属合的容积 V 间的函数。 问题中包含两个变量： 小正方形的边长 x，容积 V ， 两变量在一定的范围内变化， 变化时两变量间有对应关系 V = x( a - 2 x )2. 因而小正方形的边长 x 和所做成的金属合的容积 V 构成函数关系。,例：在解析式 中，变量 x，y 构成 函数关系。 此解析式包含两个变量：x 、y 两变量各在一 定范围内变化，变化时两变量 x 、y 间有对应关系： 因此两变量 x 、y 间构成函数关系。,例：表达式 给出了变量 x，y 间的一个 函数关系。 此解析式包含两个变量：x 、y 两变量各在一 定范围内变化， x 、y 变化时其对应关系以一个由多个 式子组成的分段表达式给出。因此两变量 x 、y 间构成 函数关系。,函数关系的特点及构成函数关系一般条件,由以上的例可见，构成函数关系需满足以下条件: 在一个变化过程中至少存在两个变量，两个变量各在 一定范围内变化。 当一个量变化时，另一个也随之发生 变化，当一个变量取定某一定值时， 另一个也随之确定。 各变量在其各自变化范围内变化时， 遵守确定的对应法则。,设 x、y 是两个变量，D 是一个给定数集，如果按 照某个法则 f ，对于每个数 x D，变量 y 都有唯一确定 的值和它相对应，则称这个对应法则 f 为定义在 D 上的 函数。数集 D 叫做称为该函数的定义域，x 称为自变量, y 称为因变量。 与自变量 x 对应的因变量 y 的值记作 f( x )，称为函 数 f 在点 x 处的函数值。比如当 x 取值 x 0 D 时，y 对 应的值就是 f( x 0 ). 当 x 遍取定义域 D 的所有值时，对 应全体函数值所组成的集合 W 称为函数的值域，即 W = y y = f( x )，x D .,(2) 函数定义,(3) 函数定义说明,函数定义可简单地归结为构成函数的两个要素： 定义域 D f ： 自变量的变化范围。 对应法则 f ：自变量与因变量的对应规则。 函数的值域可由其定义域和对应规则确定，即 R f = y y = f( x )，x D f = f( D f ). 函数的两个要素实际也给出了判别 两函数是否相同的方法，即若两函数的 定义域相同，对应法则也相同，这两函 数就是相同的，否则就是不同的。, 构成函数的两个要素, 记号的双重身份法,需注意定义中记号的双重身份，x 既表示自变量又 表示自变量的值；y 既表示因变量又表示因变量的值。 因此在以后抽象命题的讨论中，应注意区分字母 x 、y 在所论命题中的意义。 定义中记号 f 表示自变量 x 与因变量 y 间的对应法 则，记号 f( x )表示自变量 x 所对应函数值。但在一些 问题的讨论中，为叙述方便，也常用记号 f( x )，x D, 或 y = f( x )，x D 来表示定义在 D 上的函数值。, 记号 f 与 f( x ) 的区别, 对应法则与函数记号,函数记号是可以任意选取的，除常用的 f 外，还可 用其它英文字母或希腊字母表示，如 g、F、 等。相 应地，函数可记作 y = g( x )，y = F( x )，y = ( x )等。 有时还可直接用因变量记号来表示函数，即把函数记作 y = y( x ). 一般而言，不同的字母表示不同 的对应法则。特别是在同一问题中， 在讨论到几个不同函数时，需用不同 记号来表示不同的函数。, 函数性质与自变量、因变量所用字母无关,函数的性质取决于其定义域与对应法则，在表示形 式上体现在定义域与对应法则所用的字母，而与自变量 和因变量用什么字母无关。 y = f( x )，x D ；y = f( x )，x E ； y = g( x )，x D ，y = g( x )，x E ， 通常表示不同的函数。 y = f( x )，x D ； u = f( x )，x D ； y = f( t )，t D ； u = f( t )，t D ； 却表示同一个函数。,例如：y = f( x )= sin x，x R =( - ,+ )； y = f( x )= sin x，x D =( - , ) 表示不同的函数，因为它们的定义域不同。 y = f( x )= lg x 2，x D =( - , 0 )( 0 ,+ ) ； y = g( x )= 2lg x，x E =( 0 ,+ ) ； 表示不同的函数，因为它们的定义域不同。 y = f( x )= sin x，x R =( - ,+ ) ； y = f( t )= sin t，t R =( - ,+ ) ； u = f( t )= sin t，t R =( - ,+ ) ； 均表示同一个函数，因为它们的定义域 和对应法则都相同。,函数定义域是构成函数的两要素之一，确定函数定 义域一般根据三条原则： 由问题的实际意义确定定义域 V = x( a - 2 x )2，0 1 x x -1 =( 1 ,+ ).,(4) 函数概念的进一步讨论, 函数定义域的确定,对应法则应是自变量和因变量间确定的对应规则。 这种“确定性”包含两层意思： 一层意思是，对于给定的自变 量 x 的取值 x 0 ，因变量的值 f( x 0 ) 必须是确定的； 另一层意思是，对于给定的自 变量的一个取值 x ，对应的因变量 的值 f( x )通常是一个， 若对应因 变量的值不止一个，但其取值的个 数及取值形式必需是确定的。, 对应法则是确定的对应规则,例如：在长途汽车行驶过程中，汽车行驶的“速度”与 某乘客的“饭量”是同一过程中的两个变量，但二者不 构成函数关系。因为它们之间的关系不是确定的。 又如：在用老虎机赌博过程中，赌徒投入老虎机的“钱 数”与老虎机吐出的“钱数”是 同一过程中的两个变量，但二者 不构成函数关系。因为它们之间 的关系不是确定的。,例：若约定以 x 表示自变量，y 表示因变量，则式子 x = C 不构成 x、y 间的函数关系。因为此时因变量 y 的 取值及值的个数都不是确定的。 另一方面，式子 y = C 却构成 x、y 间的函数关系， 因为对于任意的 x，总有唯一确定的 y = C 与之对应。,对应法则是确定的自变量和因变量间的对应规则， 它可由多种不同形式给出。 在气温和时间的函数关系问题中，时间和气温间的 对应法则 C = C( t )常由曲线图给出。, 对应法则形式可以是多样的,例：设有方程 y 3 + x y 2 + x 2y + x 3 + 1 = 0，则此方程确定 了 x、y 间的一个函数关系，对应法则即为给定方程。 若任意给定 x = x 0 ，则由方程解的存在性知， 必存在相应的 y = y 0 ，满足 由函数定义，方程确定了 y 是 x 的函数。 一般地，对于形如 F( x ,y )= 0 的方程，只要 其满足一定的条件都可确 定一个函数 y = f( x ).,例：设“y 是不超过 x 的最大整数”，则对任意 x R， 按照这句话可构成 x ，y 间的一个函数关系，记作： y = f( x )= x，这一函数称为 取整函数。 显然对于任意实数 x n,n +1 R，都有 y = x= n . 例如，取 x = 5/7，则有 y = 5/7 = 0 ， 取 x = - ，则有 y =- = -4 ， 即这句话可构成 x ，y 间的一个函数关系，因此对 应法则也可由一句话给出。,当函数以解析式给出时，函数的对应法则可以不是 一个解析式，有时一个函数的对应法则要用几个式子才 能表示，这种在自变量的不同变化范围内，对应法则用 不同式子表示的函数称为分段函数。 例如，绝对值函数 就是一个分段函数。它的 定义域为 D =( - ,+ )， 值域为 R f = 0 ,+ ).,又如，符号函数 也是一个分段函数。它的定义域为 D =( - ,+ )，值 域为 R f = -1 ,0 ,1 . 需注意的是，分段函数是用多个式子表示的一个函 数，而不是多个函数。,例：某市的出租车按如下规定收费：当行驶里程不超过 3km 时，一律收起步费 10 元；当行驶里程超过 3km 时, 除起步费外，对超过 3km 但不超过 10 km 的部分，按每 千米 2 元计费，对超过 10 km 的部分按每千米 3 元计费, 试写出车费 C 与行驶里程 s 之间的函数关系。 由于出租车按里程的不同有不同的计费标准， 因而车费 C 与行驶里程 s 间的函数关系应是分段函数。 为写出此分段函数的表达式，首 先应写出对各不同行车里程的车费 C 与里程 s 间的函数表达式，再 将其综合成一个统一的表达式。,以 C = C( s )表示这个函数，其中 s 的单位是 km，C 的单位是元。按问题的规定： 当 0 3 时，C = 10 + 2( s 3 )+ 3( s 10 )= 3s 6 . 上述车费 C 与行驶里程 s 间的函数关系可写为：,例：设收音机每台售价为 90 元，成本为 60 元。厂方为 鼓励销售商大量采购，决定凡是订购量超过 100 台以上 的，每多订购一台，销售价就降低一分，但最低价为每 台 75 元。试考虑以下问题： ( 1 ) 将每台收音机的实际价格 p 表为订购量 x 的函数； ( 2 ) 将厂方所获得的利润 P 表示为订购量 x 的函数； ( 3 ) 某一商行订购了1000台，厂方可获利多少？ 由于每台收音机的实际价格是随 采购量 x 的大小而变化的，因此其实际 价格 p( x )及厂方所得利润 P( x ) 均是采购量 x 的分段函数。,对于分段函数表达式的确定，应先根据问题的条件 逐段写出其对应的式子，再综合成总的表达式。 按厂方的销售定价，此时每台收音机的价格为 p( x )= 90， 厂方所获得的利润 P( x ) 与订购量 x 的关系为 P( x )=( 90 - 60)x = 30 x ., 0 x 100,C. P. U. Math. Dept. 杨访,按厂方的销售计划，此时每台收音机的价格为 p( x )= 90 -( x - 100 ) 0.01 可解得 x 1600 . 厂方相应的利润为 按厂方的销售计划，此时每台收音机的价格为 p( x )= 75， 厂方相应的利润为 P( x )=( 75 - 60 )x = 15 x ., 100 x 1600, x 1600,综上讨论，求得厂方每台收音机的实际价格 p( x ) 及利润 P( x )与采购量 x 关系的分段函数为 令：x = 1000，可求得 即订购 1000 台，厂方可获利 2100 元。,微积分用形数结合的方法研究函数性质，通过函数 图形考察函数性质是研究函数的基本手段之一，作给定 函数图形是研究函数的基本方法。 设有函数 y = f( x )，x D，任取 x D，由对应法 则 f 可确定数 y ，由此可得有序数组( x ,y )，于是在直 角坐标系下可确定 xOy 平面上的点 P( x ,y )，让 x 遍取 D 中的值可得一个点集 C = P( x ,y ) y = f( x ),x D ， 该点集就称为函数 y = f( x )的图形。,(5) 函数的图形, 函数图形的概念,研究函数性质既要注意不同函数具有的特性，也应 了解它们可能具的有某些共同性质，理解和掌握函数的 共性对函数的研究和讨论是必不可少的。 函数有界性概念是函数在数集上的一种总体性质， 它所描述的是在自变量的一定变化范围内函数值的变化 范围大至“有多大”。由于确定函数的值域常较麻烦， 而确定函数的有界性相对方便，因而函数的有界性对函 数各类问题的讨论有重要意义。,设函数 y = f( x )的定义域为 D，数集 X D ，如果 存在正数 M ，使得对任一 x X，都有 f( x ) M， 就称函数 y = f( x )在 X 内 有界。 如果这样的正数 M 不存在，则 称函数 f( x )在 内无界。,(1) 函数有界性的定义,(2) 函数有界性的几点说明,“界”的不唯一性,函数只要有界，则其“界”总不是唯一的。因为 对数集 X 而言，若存在一个 M 0 ，使得 f( x ) M, 则必有 f( x ) M + 1 ，从而 M + 1 也是 f( x )的一个 “界”。因此考虑函数有界性，关键在于确定其“界” 的存在性，至于界 M 的具体值通常并不特别重要的。 例如，就函数 y = sin x 而言，对数集 X =( - ,+ ), 存在数 M = 1，使得 sin x 1 . 因此，数 M = 1 是函 数 y = sin x 在数集 X 上的一个界，但同时有 sin x 2, 即 M = 2 也是函数 y = sin x 在数集 X 上的一个界。,对给定的函数，通常并不能一般性地说其有界或无 界，而必需在指定数集上考虑其有界性。因为即使该函 数在某一数集上无界，在另一数集上却可以是有界的。 例如，函数 y = tan x 在数 集( - / 2, / 2 )内虽然无界， 但其在数集( - /4, /4 )内却 是有界的。, 函数的有界性是和数集相联系的,又如，函数 y = 1/x 在区间( 0,1 )内无界，但其在 点 x 0 = 1/100 的某邻域 U( x 0 , )内却是有界的。,(1) 函数单调性的定义,设函数 f( x )的定义域为 D，区间 I D . 如果对于区间 I 上的任意两点 x 1 、x 2，当 x 1 f( x 2 )，则称 函数 f( x )在区间 I 上是单调减小的。,(2) 函数单调性的几点说明, 函数的单调性是对区间而言的,对于微积分的讨论而言，在连续分布的数集上比较 函数值的大小才有实际意义，故通常是在区间上而非在 离散数集上定义和考察函数的单调性，这是和函数的有 界性的定义不同之处。 数列是一类特殊函数，其自变量是下标(在自然数 集内取值)，故其单调性是对下标而言的。对给定数列 x n ，若对一切 n 有 x n x n +1 )，则称此数 列是单调增加的(减小)。, 数列的单调性是对下标而言的,由于要求 x1 、x 2 必须是任意的，直接验证不等式 f( x1 ) f( x 2 )常是困难的。因此，函数单调性的定义通 常并不能提供判别函数单调性的一般方法。 应用一般将其转化为证函数增量的保号性，即设法 证明有 f = f( x 2 )- f( x1 ) 0,( 或 f 0 ). 函数增量保号性证明的一般 方法将在微分学应用中讨论。, 函数单调性的证明, 函数的单调性与“1-1对应”关系,函数单调性的一个重要应用就是判别函数的定义域 与值域之间的“1-1对应”关系。 函数是否是“1-1对应”的对函数性质的讨论常是 重要的，籍此可确定函数的单值性及反函数的存在性。 然而对于给定函数，直接判断其是否具有这种“1-1对 应”关系往往是困难的。函数的单调性给出了判别是否 具有“1-1对应”关系的充分条件，即若 y = f( x )在其 定义域 D f 上单调，则有,(1) 函数奇偶性的定义,设函数 f( x )的定义域 D 关于原点对称，若对于任 意的 x D , f( -x )= f ( x )恒成立，则称 f( x )为偶函数; 若对于任意 x D , f( -x )= - f( x )恒成立，则称 f( x ) 为奇函数。 需注意的是，函数的奇偶性是定义在以原点为对称 的区间上的，非对称区间上不能定义奇偶性。 例如，不能说函数 y = sin x，x 0, 是奇函数。,奇函数和偶函数有明显的几何特征：奇函数的图形 对称于原点；偶函数的图形对称于 y 轴。,奇函数图形,偶函数图形, 奇、偶函数的几何性质,对于形式较为复杂的函数，直接根据定义判别其 奇、偶性有时较麻烦。应用中常可考虑通过奇、偶函数 的运算性质判别其奇、偶性。 奇、偶函数经四则运算后仍可在一定条件下保持相 应的奇、偶性。 例如：奇奇 = 奇，偶偶 = 偶； 奇奇 = 偶，偶偶 = 偶。, 奇、偶函数的运算性质,C. P. U. Math. Dept 杨访,奇偶性是函数一种基本性质，利用这种基本性质常 可方便地对函数的其它性质进行讨论。然而，对于定义 在对称区间上的函数而言，其未必总具有奇偶性。因此 若能将定义在对称区间上的函数表示为奇函数与偶函数, 则可使其部分地具有奇函数与偶函数的性质。 具体有如下结果： 定义在对称区间上的函数总可 分解为奇函数与偶函数之和，且分 解形式是唯一的。, 函数分解为奇函数和偶函数, 证可分解性,设有定义在对称对称区间 - a ,a 上的函数 f( x )， 假定 f( x )可分解为两个函数之和，即 f( x )= F( x )+ G( x ) 其中 F( x ), G( x )分别为 - a ,a 上的偶函数和奇函数, 为证可分解性只需求出 F( x ), G( x )的具体形式。 由于 F( x ), G( x )分别是 - a ,a 上的偶函数和奇 函数，故有 F( -x )= F( x )，G( -x )= - G( x ). 代入式 f ( x )= F( x )+ G( x )得 f ( -x )= F( - x )- G( - x )= F( x )- G( x ) ,由 、 两式解得 设 f( x )另有分解式 f( x )= F1( x )+ G1( x ) F1( x )、G1( x )分别为 - a ,a 上的偶函数和奇函数。 因此有 F( x )+ G( x )= F1( x )+ G1( x ) 为说明分解的唯一性只需证有 F( x )= F1( x )，G( x )= G1( x ) 在式中用 - x 代 x 得 F( -x )+ G( -x )= F1( -x )+ G1( -x ) , 证分解的唯一性,由所设 F( x )、F1( x )为- a ,a 上的偶函数， G( x )、G1( x )为- a ,a 上的奇函数，即有 F( -x )= F( x )， G( -x )= - G( x )， F1( -x )= F1 ( x )， G1( -x )= - G 1( x ). 代入式得 F( x )- G( x )= F1( x )+ G1( x ) 结合 式 F( x )+ G( x )= F1( x )+ G1( x ) 解得 F( x )= F1( x )， G( x )= G1( x ). 即 f( x )的奇、偶分解式是唯一的。,(1) 函数周期性的定义,设函数 f( x )的定义域为 D，如果存在不为零的数 l 使得对 x D，有 x l D，且 f( x + l )= f( x )恒成 立，则称 f( x )为周期函数， l 称为 f( x )的周期。 通常所说的周期函数的周期 是指其最小正周期。,(2) 关于定义的说明, 周期函数定义域的无界性,若 f( x )为数集 D 上的周期函数，则 D 必为无界数 集。因为由周期函数的定义，对任意自然数 n 有 x D x l D x n l D 从而 D 既无上界又无下界。由此可推出，若 f( x ) 的定义域为有界数集，则 f( x )不可能是周期函数。 尽管通常所说的周期函数周期指的是最小正周期， 但这往往是对初等函数而言的。事实上，对一般周期函 数而言，并非总有最小正周期。, 最小正周期问题,例：考虑迪利赫勒函数 的周期性。 就 x 为有理数和无理数分别进行讨论： 由有理数的运算性质知，对任一有理数 q ， 若 x 为有理数，则 x + q 为有理数，于是 ( x + q )= 1 = ( x )； 若 x 为无理数，则 x + q 为无理数，于是 ( x + q )= 0 = ( x ) 由此可知，任何有理数 q 均是函数 ( x )的周期， 因此它没有最小正周期。,周期函数的判别是较为困难的。其原因在于，根据 周期函数定义，要说明 f( x )是数集 D 上的周期函数， 需证明方程 f( x + l )- f( x )= 0 有正数公式解 l ，而由 方程理论知，即使对于简单的多项式方程，五次以上的 方程没有公式解，因此要说明 l 的存在性常有困难。 常用的确定函数周期性的方法有： 用定义进行判别； 通过性质进行判别； 利用零点进行判别； 利用几何方法进行判别。, 周期函数的判别,函数 y = f( x )反映了一个变化过程中两个变量 x 和 y 间的对应关系，根据问题的具体情况选择一个变量 x 作为自变量，另一个就是因变量。当自变量 x 在定义域 D 内取定一个值后，因变量 y 的值也随之唯一确定。 然而，自变量与因变量的选择并不是绝对的，往往 是根据讨论的需要确定的。数学上，如果把一个函数中 的自变量和因变量对换后能得到新的函数，就把这个新 函数称为原来函数的反函数。,(1) 反函数的概念,(2) 反函数的定义,设函数 y = f( x )的定义域是数集 D ，值域是数集W, 若对于每个 y W ，都有唯一确定的 x D ，适合关系 f( x )= y，那么就把此 x 值作为取定的 y 值的对应值， 从而得到定义在 W 上的新函数，这个新的函数称为函 数 y = f( x )的反函数，记作：x = f -1( y ). 这个函数定义域为W，值域为D . 相对于反函数 x = f -1( y )来说， 原来的函数 y = f( x )称为直接函数。,直接函数与反函数的映射关系图,(3) 函数对应法则的映射概念,函数的映射概念就是将函数的对应法则视作数集 D 与数集 W 间的一种映射关系，即将一数集 D 中的点通 过映射转换到另一数集 W 中。,(4) 反函数相关问题, 反函数的相对性,反函数并不是一个独立概念，而只是相对于直接函 数的一种称呼，它与直接函数实际是同一函数关系的两 种不同表达形式。对给定的函数 x = ( y )，不能说它是 或不是反函数，而只能说它是或不是某函数 y = f ( x )的 反函数，这就是反函数的相对性。 由此相对性概念，直接函数 y = f( x )也是其反函数 x = f -1( y ) 的反函数。,S,t,反函数概念虽是相对的，但从性质考虑，它又具有 自身的独立性。因此，在具体研究函数性质时，常将直 接函数与其反函数作为两个不同的函数看待。 例如，指数函数 y = a x 与对数 函数 y = log a x 互为反函数，但二 者都有其自身的独特性质。因此， 在研究函数性质时，通常将指数函 与对数函数看作两类不同的函数。, 反函数性质的独立性, 反函数的表示记号,由于直接函数与反函数的关系既具有相对性又具有 各自的独立性，因此根据讨论问题的要求不同，反函数 可有两种不同的表示方法。 若从直接函数与反函数是同一函数关系的两种不同 表达形式考察二者的联系，对给定的 y = f( x ), x D， 常将其反函数记作 x = f -1( y ), y f( D ). 若分别考察直接函数与反函数各自的性质，对给定 的 y = f ( x ), x D，则仍按照以 x 表示自变量的习惯， 将其反函数记作 y = f -1( x ), x f( D )., 反函数与直接函数图形的对应关系,由于对于给定的直接函数，其反函数有两种不同表 示法，反函数相应的图形也不同，它们与直接函数的图 形也有两种不同的对应关系。 具体讲，对于给定的直接函数 y = f ( x ), x D . 若其反函数记作 x = f -1( y )，y f( D )，则二者的 图形为同一条曲线。 若其反函数记作 y = f -1( x ), x f( D )，则二者的 图形关于直线 y = x 对称。,直接函数图形,对应反函数图形,直接函数图形,对应反函数图形,直接函数图形,对应反函数图形,设有函数 y = f( x )在 D 内单调增加(单调减小)，则 其必存在单值反函数 y = f -1( x )，且 y = f -1( x )在 f( D ) 内也是单调增加(单调减小)的。,C. P. U. Math. Dept. 杨访,任取 y1 ,y2 f( D )，且 y1 x 2，则由于 f( x )是单调增加的，故必有 y1 = f( x 1 ) f( x 2 )= y2 ； 如果 x 1 = x 2，则由函数定义 y1 = f( x1 )= f( x2 )= y2 . 这两种情形都与假设 y1 y2 不符，故必有 f -1( y1 )= x1 x2 = f -1( y2 ). 即 f -1 在 f( D )内是单调增加的。, f( x )为单调增加的情形, f( x )为单调减小的情形,任取 y1 ,y2 f( D )，且 y1 y2，按函数 f 的定义， 对 y1，在 D 内存在唯一的原像 x1，使得 f( x1 )= y1， 于是 f -1( y1 )= x1 . 同理，对 y2，在 D 内存在唯一的原 像 x2，使得 f( x2 )= y2，于是 f -1( y2 )= x 2 . 如果 x1 x2，则由于 f( x )是单调减小的，故必有 y1 = f( x1 ) y2 不符，故必有 f -1( y1 )= x1 x2 = f -1( y2 ). 即 f -1 在 f( D )内是单调减小的。,实际应用中，给定函数 y = f( x )在其定义域 D 内常 常并不是单调的，因而并不能直接应用反函数存在定理 确定其反函数的存在性。 对于这种情形，可考虑 将函数定义域分割为若干个 单调区间，再在各单调区间 上逐段应用反函数存在定理 以确定其反函数的存在性。, 反函数存在定理的应用问题,正弦函数 y = sin x , x ( - ,+ ), y -1,1 是多 叶函数，且对于 y -1,1，在( - ,+ )内都有无穷 多个 x 的值，满足 sin x = y . 因此不能确定函数 y = sin x 在( - ,+ )内存在反函数。 如果将正弦函数的定义域按其单调区间进行分割， 即将( - ,+ )分割为 2k - /2, 2k + /2 - /2 , /2 ， 则 y = sin x 在各单调区间上均存在反函数。 例如，若将 x 限制在 - /2 , /2内，可确定 y = sin x 相应的反函数，这个反函数称为反正弦函数， 记作：y = arcsin x .,单调区间内的函数图形,对应反函数图形,类似地可定义，正切函数 y = tan x，y ( - ,+ ), x ( k - /2, k + /2 ),k = 0,1, 2,， 在其单调区间( - /2, /2 )内的反函数，反正切函数 y = arctan x，x ( - ,+ ), y ( - /2, /2 ). 余切函数 y = tan x，y ( - ,+ ), x ( k,( k +1) ),k = 0,1,2,， 在其单调区间( 0, )内的反函数反余切函数 y = arctan x，x ( - ,+ ), y ( - /2, /2 ).,单调区间内的函数图形,对应反函数图形,从计算的角度讲，由给定直接函数 y = f( x )求其反 函数 y = f -1( x )，就是由方程 y = f( x )解出 x 的过程。 但若要求单值反函数，则需考虑函数 y = f( x )的单调区 间及确定相应的单值枝。 例：求函数 的反函数。 易求得给定函数的定义域与值域分别为 x D =( - ,-11,+ )， y R f = 0,+ )., 由直接函数方程解出 x, 求给定函数的单值反函数,给定方程两边取指数函数有 由直接函数与其反函数的定义域与值域的关系有 x D = R f -1 =( - ,-1 1,+ )， y R f = Df -1 = 0,+ )., 对调 x、y 的位置,(1) 函数复合问题与复合函数的概念,设有作直线运动的物体，其质量为 m ，速度为 v， 则物体的速度 v 与其动能 E 的函数关系为 若物体所作的是自由落体运动，则其下落速度 v 与 时间 t 的函数关系为 v = g t . 通过变量 v 的联系使得物 体下落时间 t 与动能 E 构成函数关系。可求得该作自由 落体运动的物体下落时间 t 与动能 E 的函数关系为, 复合函数的概念,从运算角度看，时间 t 与动能 E 的关系的建立就 是将物体下落时间 t 与速度 v 的函数关系式 v = v( t )代 入动能 E 与速度 v 的函数关系式 E = E( v )而得的。 这种将一个函数代入另一个相关函数形成新函数 的过程称为函数的复合，通过函数复合所得的函数称为 复合函数。 上述函数复合过程一般形式为： 设有函数 y = f( u )，u D1 ，y W1； u = ( x ), x D2 ，u W2 通过代入法便可得到新的函数形式 y = f( x ).,由函数复合的概念会产生如下问题： 是否任意两个函数 y = f( u )，u = ( x )通过代入法 总可复合成新的函数 y = f( x )？或者说，在什么 条件下两函数可复合为新的函数 y = f( x )? 如果两个函数 y = f( u )，u = ( x )能复合为新的函 数 y = f( x )， 其定义域是什么？ 复合函数的定义域与原先函数的 定义域有什么关系？, 函数复合的条件,例：设有函数 y = f( u )= arcsin u，其中 u = ( x )= a x + a - x， x D =( - ,+ )，u W = 2 ,+ ). 考察两函数能否通过代入法复合成新的函数。 将 u = ( x )= a x + a- x 代入 f( u )= arcsin u， 可得形式函数 y = f( x )= arcsin( a x + a - x ). 然而这一形式函数并不构成 x、 y 间的函数对应关 系。因为对 x D =( - ,+ )，u = a x + a - x 2，即 u = ( x )= a x + a - x D f ，故形式函数 y = f( x )= arcsin( a x + a - x )无意义。,两函数 y = f( u )，u = ( x )能否通过代入法复合 成新函数，取决于二者定义域与值域的相互关系。 具体可分为三种情形： 若 W D f 则 y = f( u )，u = ( x )能通过代入法构成复合函数 y = f ( x )，且有 D f = D ；, 若 W D f ，但 W D f 则 y = f( u )，u = ( x ) 也能通过代入法构成复合函数 y = f ( x )，但 f ( x )的定义域 D f 一般要小于 内层函数的定义域 D ，即有 D f D ., 若 W D f = 则 y = f( u )，u = ( x ) 不能通过代入法构成复合函数 y = f ( x ) . 由上讨论知，要判别两函数 y = f( u )，u = ( x )能 否通过代入法构成复合函数，关键要看是否有,例：设有函数 y = f( u )= lg u ，其中 u D f =( 0 ,+ )，y W f =( - ,+ )， u = ( x )= sin x， x D =( - ,+ )，u W = -1 ,1 . 考察两函数能否通过代入法复合成新的函数。 如果能，试确定复合函数的定义域。 将 u = sin x 代入 f( u )= lg u， 可得形式函数 y = f ( x )= lg sin x . 为判断此形式函数能否构成 x 、 y 间